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概率论与数理统计(8)假设检验第八章假设检验第一节假设检验问题第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的检验第四节大样本检验法第五节 p值检验法第六节假设检验的两类错误第七节非参数假设检验第一节假设检验问题前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。
由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.一、统计假设某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题：问题1引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？问题2记H0: =10-4，H1: ，则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个，测得其寿命值（样本），如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？记问题3则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？记问题4则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？问题5记服从指数分布，不服从指数分布．则问题也等价于检验H0成立，还是H1成立．在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设．如上述各问题中的H0和H1都是假设.利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。
交大概率论与数理统计教材
交通大学概率论与数理统计教材参考资料如下：
1. 《概率论与数理统计》（第三版）- 王宏志，北京航空航天大学出版社，2006年。
2. 《概率论与数理统计教程》（第三版）- 曾国藩等，高等教育出版社，2010年。
3. 《概率论与数理统计》（第三版）- 罗昌智，高等教育出版社，2013年。
4. 《概率论与数理统计教程》（第五版）- 朱启勇，高等教育出版社，2017年。
5. 《概率论与数理统计》（第四版）- 长江师范学院出版社，2019年。
6. 《概率论与数理统计》（第六版）- 郑经堂等，高等教育出版社，2021年。
以上教材都是经典的概率论与数理统计教材，适合学习交大相关课程。
但具体使用教材可能因不同讲师而异，建议以授课教师的要求为准。
第七章 参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。
解：μ，σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。
2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0，θ为未知参数。
（5）()p p m x p px X P x m xmx ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解：（1）X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX Xθ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp令mp = X ，解得mXp=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn n ni ix x x cθx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni i θn n ni ix θθnθL x x x θx f θL 11211ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini ix n θxθn θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。
概率论与数理统计国外教材
概率论与数理统计是一门重要的数学学科，涉及到人们日常生活、科学研究和社会发展中的各个方面。
在国外，概率论与数理统计的教学和研究已经形成了相对成熟的体系，并且有着丰富的教材资源。
在美国，一些著名的概率论与数理统计教材包括《概率论与统计》(Probability and Statistics)、《数理统计学》(Mathematical Statistics)、《概率与随机过程》(Probability and Stochastic Processes)等。
这些教材不仅在内容上涵盖了概率论和数理统计的基础知识和高级理论，而且在教学方法和应用实例方面也做出了很多创新和改进，使得学生在学习过程中能够更好地理解和应用这门学科。
另外，在英国、加拿大、澳大利亚等国家也有着很多优秀的概率论与数理统计教材，如《概率、随机过程和统计》(Probability, Random Processes, and Statistical Analysis)、《统计推断》(Statistical Inference)、《数理统计导论》(An Introduction to Mathematical Statistics)等。
这些教材不仅受到本国学生和研究者的欢迎，而且在全球范围内都具有较高的影响力和学术地位。
总之，国外的概率论与数理统计教材不仅具有丰富的知识内容和教学资源，而且在课程设置、教学方法、应用实例等方面也具有很多创新和改进，为我们学习和研究这门学科提供了重要的参考和借鉴。
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概率论与数理统计教学实验教材
概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它研究的是物体的随机变化，它既包括统计学，又包括概率论。
它在经济、社会发展、科学技术发展以及人们日常生活中都起着重要的作用。
概率论与数理统计教学实验教材有助于学生能够更好地理解、掌握概率论与数理统计的基本理论，学会运用数理统计方法解决实际问题，从而帮助学生提高计算机的运用能力，提升自己的分析能力。
概率论与数理统计教学实验教材是以实验设计的方式，以实验的形式来探究、讨论概率论和数理统计的基本概念。
其中引入了有关概率论和数理统计的概念、规则、方法和算法，涉及到概率分布、抽样、推断、回归分析、多元统计分析等基本概念，并以实验的形式，引导学生运用计算机软件，用实际的数据进行操作，以及实际的实验操作来检验计算的结果，从而达到理解概率论和数理统计的基本概念，熟悉其基本计算方法的目的，增强学生的实际操作能力。
概率论与数理统计教学实验教材通过实验设计，让学生掌握概率论和数理统计的基本概念，及其基本计算方法，为后续研究和实践提供坚实的基础。
同时，概率论与数理统计教学实验教材还可以提高学生的综合能力，培养学生的分析思维能力，让学生掌握数理统计的基本原理，有效地解决实际问题。
概率论与数理统计教学实验教材是数学教学中一个重要的组成部分，它不仅能够提高学生的实际操作能力，还能够培养学生的分析思维能力，为学生掌握概率论和数理统计的基本理论，学会运用数理统计方法解决实际问题提供有效的支持。
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j ji A A 11)]([=≠=; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为n j i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式： (1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂(6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
概率论与数理统计教程第二版《概率论与数理统计教程（第二版）》是一本经典的教材，适用于数理统计和概率论等专业的大学生和研究生。
本书全面介绍了概率论和数理统计的基本概念、原理和应用方法。
下面将从内容、特点和优势这三个方面对本书进行评述。
首先，本书内容系统全面。
《概率论与数理统计教程（第二版）》主要分为三个部分：概率论基础、数理统计基础和应用统计学基础。
其中，概率论基础部分介绍了概率论的基本概念、概率分布、随机变量和随机过程等内容；数理统计基础部分重点介绍了参数估计、假设检验和方差分析等重要内容；应用统计学基础部分深入探讨了统计模型、回归分析和时间序列等实际应用。
这些内容的有机组合使本书成为一本理论与实践相结合的教材。
其次，本书具有深入浅出的特点。
作者在编写本书时，不仅注重概念的严谨性和准确性，还注重表达的简明易懂。
无论是对于概率论还是数理统计的概念和原理，作者都以清晰、简单的语言进行解释，并结合典型的例题进行阐述。
例如，在讲解概率分布时，作者通过举例讲解了均匀分布、正态分布和泊松分布等，使读者更容易理解和掌握相关知识。
最后，本书的优势在于实用性强。
《概率论与数理统计教程（第二版）》不仅介绍了概率论和数理统计的基本理论，还将其应用于实际问题中。
在应用统计学基础部分，作者通过介绍统计模型、回归分析和时间序列等方法，让读者了解如何将概率论和数理统计的知识应用于科学研究和实际工作中。
这对于培养学生的实际分析和解决问题的能力非常有帮助。
综上所述，《概率论与数理统计教程（第二版）》是一本内容全面、深入浅出且具有实用性的教材。
它不仅适用于数理统计和概率论等专业的学生学习，也适用于从事相关研究和实践的专业人士。
本书的出版对于概率论和数理统计的教学和研究具有重要的推动作用。
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计概论概率论与数理统计是一门涉及随机事件发生规律以及数据分析与推断的学科。
它主要包括概率论和数理统计两个部分。
概率论研究的是随机现象的规律，而数理统计则是通过数据来推断总体特征并进行决策。
概率论和数理统计的基本概念和方法广泛应用于各个领域，例如工程、社会科学和医学等。
在高等学校的教学中，概率论与数理统计是理工科、经济学、管理学等专业的重要基础课程之一。
本文将从教材的角度讨论概率论的基础知识、重点内容和教学方法。
教材选择在高等学校的概率论与数理统计课程中，教材的选择是非常关键的。
一本好的概率论教材应该具有以下特点：1.知识体系完整：教材应该系统地介绍概率论的基本概念、概率分布、随机变量等内容，并给出数理统计的基本思想和方法。
2.难度适中：教材在内容上应该符合学生的认知水平和学科知识的发展规律，易于理解和掌握。
3.示例丰富：教材应该提供大量的例题和习题，以帮助学生巩固所学的概念和方法，并能够培养学生的问题解决能力。
4.理论与应用结合：教材应该注重理论和实际应用的结合，通过真实的案例和数据分析来引导学生理解概率论和数理统计的应用意义。
综合考虑上述因素，《概率论与数理统计》概率论教材是一本很好的选择。
该教材系统地介绍了概率论的基础概念、概率分布、随机变量和数理统计的基本思想和方法。
该教材还提供了大量的例题和习题，涵盖了各个难度层次。
教材还通过生动的案例和数据分析，将理论与应用紧密结合起来，帮助学生更好地理解和应用概率论和数理统计的知识。
教学方法概率论与数理统计是一门理论实际的学科，在教学中需要注重理论和实践的结合。
以下是一些有效的教学方法：1.理论讲解与案例分析相结合：教师可以通过理论讲解概率论的基本概念和数理统计的基本思想，然后用具体的案例和数据来进行分析，帮助学生更深入地理解和应用所学的知识。
2.互动式教学：教师可以采用问答、讨论等互动进行教学，鼓励学生积极参与课堂，提高学生的学习兴趣和学习效果。
