2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第13课时)知识过关检测 理 新人教A版

第14讲 定积分与微积分基本定理1．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝∫10(x 2－x)dxB ．S ＝∫10(x －x 2)dxC ．S ＝∫10(y 2－y)dyD ．S ＝∫10(y －y)dy解析：选B .两函数图像的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故积分上限是1，下限是0.由于在[0，1]上，x ≥x 2，故曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x.2．(2016·开封诊断考试)若⎠⎛01(x 2＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知，⎠⎛01(x 2＋mx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22⎪⎪⎪1＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 3．(2016·太原八校联考)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1解析：选A .由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x)′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e lnx d x ＝(x ln x －x)⎪⎪⎪e1＝(eln e －e )－(1×ln 1－1)＝1.4．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：选C .由题意知电视塔高为∫21gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g.5．(2016·金华十校联考)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45C.56 D ．不存在解析：选C .如图，⎠⎛02f(x)d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.6．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t<1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12 C ．1D ．2解析：选A .设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t 0(t 2－x 2)d x ＋∫1t (x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝12为S(t)在区间(0，1)上的最小值点，此时S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.7．(2016·江西省八校联考)计算⎠⎛－33(x 3cos x)d x ＝________．解析：令f(x)＝x 3cos x ，则f(x)是奇函数，所以，由定积分的几何意义知∫3－3(x 3cos x)d x ＝0. 答案：08．若m>1，则f(m)＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f(m)＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ⎪⎪⎪m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．答案：－19．(2016·南昌调研测试卷)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪230＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－0＝481.答案：48110.⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝________．解析：⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2⎪⎪⎪1－1＝0，所以⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝π2.答案：π211．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)d x.解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22|21－x 33|21＋ln x|21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e xd x＝sin x|0－π＋e x |0－π＝1－1e π.12．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．解：作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，(0，0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，(0，0)，因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01(3x －x)d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝x 2⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.。

第14讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．1．辨明三个易误点(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.1.教材习题改编⎠⎛242xd x ＝________．⎠⎛242x d x ＝2x ln 2⎪⎪⎪42＝24ln 2－22ln 2＝12ln 2. 12ln 22．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e]，所以⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43. 433．(2017·山西省第二次四校联考)定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________．令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，点(x ，y )的轨迹为半圆，⎠⎛0416－x 2d x 表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×42＝4π.4π4．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．y ＝e x和y ＝ln x 互为反函数，所以阴影部分的面积为2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x)⎪⎪⎪10＝2，又因为正方形的面积为e 2，所以落到阴影部分的概率为2e 2.2e2定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ； (3)⎠⎛02|1－x |d x ；(4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x . 【解】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛121d x＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π0＝2.(3)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2.若本例(3)变为“⎠⎛03|x 2－1|d x ”试求之．⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪31 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＝223.计算一些简单定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差；(2)把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿­莱布尼茨公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．分段函数的定积分要分段积分，特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义，其所求的值可正可负．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ；(3)⎠⎛02e x2d x .(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )⎪⎪⎪3－1＝24.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝32－ln 2.(3)⎠⎛02e x 2d x ＝2e x2⎪⎪⎪20＝2e －2.利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度： (1)根据条件求平面图形面积； (2)利用平面图形的面积求参数．(1)(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．(2)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．【解析】 (1)如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1，1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16.(2)由题意知⎠⎛0a x d x ＝a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，则23x 32⎪⎪⎪a＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49. 【答案】 (1)16 (2)49角度一 根据条件求平面图形面积1．(2017·唐山市统一考试)过点(－1，0)的直线l 与曲线y ＝x 相切，则曲线y ＝x 与l 及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．因为y ＝x 的导数为y ′＝12x ，设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，即切线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋1）－x d x ＋12×1×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋12x －23x 32⎪⎪⎪10＋14＝13.13角度二 利用平面图形的面积求参数2．曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2， 则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k 0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，所以k ＝2. 2定积分在物理中的应用设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位：N)．【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J)． 【答案】 342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .(2017·聊城模拟)以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403m D.203m A 由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m)．)——定积分与其他知识的交汇(2015·高考福建卷)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．【解析】 由题意知，阴影部分的面积S ＝⎠⎛12(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)|21＝53，所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.【答案】512(1)本题将求几何概型的概率问题转化为求函数的定积分问题，是新增考点定积分与常规考点交汇命题的一种趋势．(2)利用定积分的几何意义，考查几何概型也是近几年高考的考查热点．1.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －5），x ＞0，2x ＋∫π60cos 3t d t ，x ≤0，则f (2 019)＝( ) A.13 B.16 C.56D.12C f(2 019)＝f(2 019－5×403)＝f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝2－1＋∫π60cos 3t d t .因为∫π60cos 3t d t ＝13sin 3t ⎪⎪⎪⎪π60＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－sin 0＝13，所以f (2 019)＝2－1＋13＝56.2．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－5，0)，(5，0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛－55⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝（6＋10）×22＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.1.21．定积分⎠⎛01(3x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12D ⎠⎛01(3x ＋e x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e.2．(2017·金华十校联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B.45C.56D ．不存在C 如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.3．与定积分⎠⎛03π1－cos x d x 相等的是( )A.2⎠⎛03πsin x2d x B.2⎠⎛03π⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎠⎛03πsin x 2d x D ．以上结论都不对B 因为1－cos x ＝2sin 2x2，所以⎠⎛03π1－cos x d x ＝⎠⎛03π2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x＝2⎠⎛03π⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x .4．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16D 原式＝⎠⎛－60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，即在y 轴两侧的图象对称． 所以对应的面积相等，即⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16. 5．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时F (x )所做的功等于( )A.e 10＋25B.e 10－25C ．－e 10＋25D ．－e 10－25 D 由题意知W ＝－⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋x d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 6．若定积分⎠⎛－2m－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 A 根据定积分的几何意义知，定积分⎠⎛－2m －x 2－2x d x 的值，就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是圆心(－1，0)，半径为1的上半圆，其面积等于π2，而⎠⎛－2m－x 2－2x d x ＝π4，即在区间上该函数图象应为14的圆，于是得m ＝－1. 7．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________． ⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23. 238.⎠⎛－11(|x |－1)d x ＝________．⎠⎛－11(|x |－1)d x ＝⎠⎛01(x －1)d x ＋⎠⎛－10(－x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－x ⎪⎪⎪0－1＝－1. －19．(2017·河北邯郸收官考试)若函数f (x )在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________．f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，f ′(1)＝－3，即f (x )＝x 3－3x 2，所以⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－x 3⎪⎪⎪20＝－4. －410．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 3311．求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)d x . (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋ ⎠⎛121x d x ＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e xd x ＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ. 12．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，(0，0)， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，(0，0)， 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.。

第2章函数学案4函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念(1)函数定义设A，B是两个非空的________，如果按某种对应法则f，对于集合A中的____________，在集合B中______________，称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)函数的三要素________、________和__________．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.(4)函数相等如果两个函数的定义域和____________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的__________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的______，值域是各段值域的______．2．映射的概念(1)映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素，在集合B中__________确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：A→B叫集合A到集合B的________．(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集．自我检测1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)．2．(2010·湖北改编)函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________．3．(2010·湖北改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ， x ≤0，则f (f (19))＝________.4．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________(填序号)．①y ＝x 2x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log 2x .5．函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 下列对应法则是集合P 上的函数的是________(填序号)． (1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应法则f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；(2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应法则：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应法则f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．变式迁移1 已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．探究点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域是___________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，求f (x )．变式迁移3 给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ； (2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围为______________．1．与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②y 1＝x ＋1x －1，y 2＝(x ＋1)(x －1)； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2；④f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1； ⑤f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是________． 3．(2011·南京模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为________．4．(2009·江西改编)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________． 5．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为____________．6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数为________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 (x ≥0)x 2 (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤1)2 (x >1)，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.二、解答题(共42分) 9．(12分)(2011·苏州期末)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；(3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(14分)某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．11．(16分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？答案 自主梳理1．(1)数集 每一个元素x 都有惟一的元素y 和它对应 定义域 值域 (2)定义域 值域 对应法则 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应法则 (5)定义域 对应法则 并集 并集 2.(1)都有惟一 映射自我检测 1．③解析 对于题图①：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图②：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图③：符合M 到N 的函数关系；对于题图④：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．2．(34，1) 3.14 4．③5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ， 即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．答案 (2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 (1，＋∞)解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2] 解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋lg (x ＋1)≠0得－1<x ≤2且x ≠－910.即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．点评 本题一定要注意答案的规范性，写成：－1<x ≤2且x ≠－910是错误的．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x )等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x )＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得 2f (1x )＋f (x )＝3x ，②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x (x ≠0)．变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应法则．③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．答案 3解析 方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c ，(－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0， 解得－1<x <2－1.课后练习区 1．④解析 ①定义域不同；②定义域不同；③对应法则不同；④定义域相同，且对应法则相同；⑤定义域不同．2．0或1解析 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．3. 3解析 该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.4．(－1,1) 5．∅或{1}解析 由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}． 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 3116 8．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3. ………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，…(10分)又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 当x ＝1时，y ＝48×0.9＝43.2； 当x ＝2时，y ＝48×0.85＝40.8； 当x ＝3时，y ＝48×0.8＝38.4；当3<x ≤10，x ∈N 时，y ＝48×0.75＝36. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 43.2， x ＝1，40.8， x ＝2，38.4， x ＝3，36， 3<x ≤10，x ∈N .……………………………………………………(8分)图象如图所示．……………………………………………………………………………………………(14分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.…………………………………………………………………(8分)当x >5时，有8.2－x >0，得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．………………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(13分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.…………………………………………………………(15分) 所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R(4)4＝ 2.4(万元/百台)＝240(元/台)．…………………………………………………………………………（16分）。

第14讲 定积分与微积分基本定理1．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝∫10(x 2－x)dxB ．S ＝∫10(x －x 2)dxC ．S ＝∫10(y 2－y)dyD ．S ＝∫10(y －y)dy解析：选B .两函数图像的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故积分上限是1，下限是0.由于在[0，1]上，x ≥x 2，故曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x.2．(2016·开封诊断考试)若⎠⎛01(x 2＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知，⎠⎛01(x 2＋mx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22⎪⎪⎪10 ＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 3．(2016·太原八校联考)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1解析：选A .由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x)′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e lnx d x ＝(x ln x －x)⎪⎪⎪e1＝(eln e －e )－(1×ln 1－1)＝1.4．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：选C .由题意知电视塔高为∫21gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g.5．(2016·金华十校联考)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45C.56 D ．不存在解析：选C .如图，⎠⎛02f(x)d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.6．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t<1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12 C ．1D ．2解析：选A .设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t 0(t 2－x 2)d x ＋∫1t (x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝12为S(t)在区间(0，1)上的最小值点，此时S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.7．(2016·江西省八校联考)计算⎠⎛－33(x 3cos x)d x ＝________．解析：令f(x)＝x 3cos x ，则f(x)是奇函数，所以，由定积分的几何意义知∫3－3(x 3cos x)d x ＝0. 答案：08．若m>1，则f(m)＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f(m)＝⎠⎛1m⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ⎪⎪⎪m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．答案：－19．(2016·南昌调研测试卷)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪230＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－0＝481.答案：48110.⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝________．解析：⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2⎪⎪⎪1－1＝0，所以⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝π2.答案：π211．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)d x.解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22|21－x 33|21＋ln x|21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e xd x＝sin x|0－π＋e x |0－π＝1－1e π.12．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．解：作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，(0，0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，(0，0)，因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01(3x －x)d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝x 2⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.。