旋转专题

(10朝阳一模)12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．

(10朝阳一模)22．（本小题满分5分）

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD绕点C 顺时针旋转90°得到矩形CGEF．

（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长（结果保留π和根号）；

（2）点P为线段BC上一点（不包括端点），且AP⊥EP，求△APE的面积．

(10朝阳一模)23．（本小题满分7分）

请阅读下列材料

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为7．问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

图3 图1 图2

解：（1）如图，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=2；

连接PP′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，

∴PP′=2，∠BP′P=45°；（2分）

在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，

∵12+22=（5）2，即AP′2+PP′2=AP2；

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，

∴∠BPC=∠AP′B=135°．（4分）

（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；

∴∠EP′B=45°，

∴EP′=BE=1，

∴AE=2；

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；（7分）

∴∠BPC=135°，正方形边长为5．

(10海淀一模)15. 如图, △OAB和△COD均为等腰直角三角形，90AOBCOD, 连接AC、BD.求证: ACBD.

DCOBA(10海淀一模)24. 点P为抛物线222yxmxm(m为常数，0m)上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点.

（1）当2m，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；

（2）设点(,)Qab，用含m、b的代数式表示a；

（3) 如图，点Q在第一象限内, 点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分AQC，2AQQC，当QDm时，求m的值.

(10海淀一模)25.已知：AOB△中，2ABOB，COD△中，3CDOC,ABODCO∠∠. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

PNMDCABO PNMDCBAO

图1 图2

(1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且60ABO∠，则PMN△的形ABCDE状是________________，此时ADBC________；

(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO∠，证明PMNBAO△∽△，并计算ADBC的值（用含的式子表示）；

(3) 在图2中，固定AOB△，将COD△绕点O旋转，直接写出PM的最大值.

（10东城一模）15.如图，ABC与ADE均为等腰直角三角形，90BACEAD，求证：BAECAD.

（10西城一模）24．如图1，在□ABCD中，AEBC于点E，E恰为BC的中点，tan2B．

（1）求证：ADAE；

（2）如图2，点P在线段BE上，作EFDP于点F，连结AF．

求证：2DFEFAF；

（3）请你在图3中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连结AF．线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．

图1EDCBA图2PFABCDE图3ABCDExyoC1A1

（10东城一模）23. 已知抛物线C1：22yxx的图象如图所示，把C1的图象沿y轴翻折，得到抛物线C2的图象，抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3．

（1）求抛物线C1的顶点A坐标，并画出抛物线C2的图象；

（2）若直线ykxb与抛物线2(0)yaxbxca有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线yxb与抛物线C1相切，求b的值；

（3）结合图象回答，当直线yxb与图象C3 有两个交点时，b的取值范围．

（10东城一模）24．如图，在平面直角坐标系中，A（23，0），B（23，2）.把矩形OABC逆时针旋转30得到矩形111OABC.

（1）求1B点的坐标；

（2）求过点（2，0）且平分矩形111OABC面积的直线l方程；

（3）设（2）中直线l交y轴于点P，直接写出1PCO与11PBA的面积和的值及1POA与11PBC的面积差的值.

备用图 FEQPNMDCBAABCDM

（10东城一模）25．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点.

（1）求证：ME=MF；

（2）若将原题中的正方形改为矩形，且24BCAB，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系.

（10丰台一模）24．（本小题满分7分）

直线CD经过BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA．

（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若90,90BCA，则EF BEAF（填“”，“”或“”号）；

②如图2，若0180BCA，若使①中的结论仍然成立，则 与BCA

应满足的关系是 ；

（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

A B

C E F D D

A B

C E F A

D F C E B

图1 图2 图3

（10石景山一模）24．我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.

已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，90CAB，直线m过点O,过CBA、、三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点FED、、.

(1)当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段CFBE、和AD三者之间的数量关系并证明；

(2) 当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段CFBEAD、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．

23.已知：MAN，AC平分MAN

（1）在图1中，若120MAN，90ADCABC，ACADAB___。（填写“”或“”或“”）

（2）在图2中，若120MAN，180ADCABC，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）在图3中：

①若60MAN，180ADCABC，判断ADAB与AC的数量关系，并说明理由；

②若)1800(MAN，180ADCABC，则ACADAB_____（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）

mOFEDCBAABCDEFOmmABC(D)EFO图1 图2 图3

25.已知：如图，在平面直角坐标系中，点0P的坐标为(1，0)，将线段0OP按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP的2倍，得到线段1OP；又将线段1OP按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP的2倍，得到线段2OP；如此下去，得到线段3OP，4OP，„，nOP（n为正整数）

（1）求点6P的坐标；

（2）求65OPP的面积；

（3）我们规定：把点nP（nx，ny）（,3,2,1,0n）的横坐标nx，纵坐标ny，都取绝对值后得到的新坐标（||nx，||ny），称之为nP的“绝对坐标”。根据图中nP的分布规律，请你猜想点nP的“绝对坐标”，并写出来。