旋转专题训练(提优)

人教版数学四年级下册第七单元《图形的运动（二）》提优作业卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．下面图形中，只有1条对称轴的是( )，有2条对称轴的是( )，图形⑦有( )条对称轴。

2．下图中，图形⑦向( )平移( )格得到图形⑦；图形⑦先向( )平移( )格，再向( )平移( )格得到图形⑦。

3．观察下图，其中图形( )和图形( )面积相等，都是( )2cm。

二、选择题4．下面现象不是平移运动的是（）。

A．拉动抽屉B．开关伸缩门C．合上书本D．运行的升降电梯5．下面各组图形中，全是轴对称图形的是（）。

A．B．C．D．6．像下面这样把一张长方形纸连续对折两次后剪去一部分，得到的图案是（）。

A．B．C．D．7．小彩虹在玩“俄罗斯方块”游戏，她要将图中上面的图形平移后，和下面的图形拼成一个正方形，正确的平移方法是（）。

A．先向下平移3格，再向左平移5格B．先向下平移5格，再向左平移5格C．先向左平移5格，再向下平移3格D．先向左平移5格，再向下平移5格8．下列说法正确的是（）。

A．经过平移后的图形，它的大小和形状都发生了变化B．轴对称图形中对称点到对称轴的距离相等C．三角形中只有等边三角形是轴对称图形D．正方形在方格纸上向右平移5格，平移前后两个图形间的格子数就是5格三、解答题9．操作题。

（1）根据对称轴补全下面这个轴对称图形。

（2）画出这个轴对称图形先向右平移6格，再向下平移3格后的图形。

（3）在方格纸上画一个平行四边形，运用平移的知识求出这个平行四边形的面积。

10．奶奶家有一块不规则的菜地，如下图。

奶奶想用篱笆把菜地围起来，应该准备多长的篱笆?(单位:m)11．一块长方形草地长30m，宽20m，中间有两条小路（如下图）。

这两条小路的总面积是多少？现在要给这两条小路铺上一层鹅卵石，平均每平方米约需30kg鹅卵石，大约共需多少千克鹅卵石？12．下图是小明家的长方形花坛，空白部分用于种花，涂色部分（一大一小的正方形）用于种草。

专题14 六种旋转全等模型归类训练（原卷版）类型一半角模型1．（2022秋•南海区期末）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交对角线BD于点M、N，则下列结论：①∠AEB＝∠AEF；②△ABN∽△MDA；③AM•AE ＝AN•AF；④BM2+DN2＝MN2.其中正确的结论有（）A．①②④B．②③④C．①③D．①②③④2．（2022秋•集贤县期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于点E、F．当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证：AE+CF＝EF．（不必证明）（1）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．类型二 对角互补模型3．（2021秋•越秀区期中）如图，等边△ABC 的边长为2，点O 是△ABC 的中心，∠FOG ＝120°，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ；②四边形ODBE 的面积始终等于√33；③S △ODE ＝S △BDE ；④△BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是 （填序号）．4．已知如图，点P 是∠MON 角平分线上的一点，∠APB 分别交直线OM ，ON 于点A ，B ，∠APB ＝120°，∠MON ＝60°．（1）求证：P A ＝PB ；（2）若OA ＝3，OB ＝6，求OP 的值；（3）当点A 在射线OM 的反向延长线上时，请探究线段OA ，OB ，OP 之间的数量关系．类型三“手拉手”模型——旋转全等5．（2022春•东营期末）（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，请求出∠AEB的度数，写出线段BE，AE，DE之间的数量关系，并给出证明．6．（2021秋•马尾区校级期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，AD＝AE＝2．连接CD，BE，F，G，H分别是BE，CD，DE的中点，连接GF，FH，GH．（1）如图1，当B，A，E三点共线，且D在AC边上时，求线段FH，GH的长；（2）如图2，当△ADE绕点A旋转时，求证：△GFH是等腰直角三角形，并直接写出△GFH面积的最大值．7．（2017•锦州）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．类型四中点旋转模型8．（2023春•宣汉县期末）如图所示，在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC外侧作等腰Rt △ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、DF、EF、FN、EN．则下列结论：①四边形ADFE是平行四边形；②MD＝EF；③∠DMF＝∠EFN；④FM⊥FN，其中正确结论的序号是．9．（齐齐哈尔中考）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．类型五错位手拉手模型10．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．（1）求证：①△PDF的面积S=12PD2；②EA＝FD；（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．类型六构造旋转模型11．（2022•回民区二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD的面积为（）A．28+8√3B．14+4√3C．12D．2412．等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，若∠BPC＝150°，BP＝3，AP＝5，则CP＝．13．（2020春•郫都区校级期中）如图，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．14．（2022春•顺德区月考）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．（1）则线段AP、BP、CP构成的三角形是三角形（填“钝角、直角、锐角”）；（2）将△BP A绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的△BP1A1，并由此求出∠BP1A1的度数；（3）求三角形ABC的面积．。

2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题09图形的旋转【典型例题】1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC 绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；①当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【答案】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．①如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC12=•CD•BN，S△ACE12=•AC•EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【专题训练】一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点P①m①m①n）与点Q①①2①3）关于原点对称，则点M①m①n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A2．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A3．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【答案】C4．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把①ADE绕点A顺时针旋转90°到①ABF的位置，若四边形AECF的面积为25①DE=3，则AE的长为()A B．5C．8D．4【答案】A5．（2020·河南初三三模）如图，将△ABC绕点C①0①-1①旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a①b），则点A′的坐标为① ①A ．①-a ①-b ①B ．①-a ①-b -1①C ．①-a ①-b +1①D ．①-a ①-b -2①【答案】D6．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段BD ，过点A 作AE ⊥射线CD 于点E ，则∠CAE 的度数是（ ）A ．90﹣αB ．αC ．902α-D ．2α 【答案】C7．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠︒＝，一个三角尺的直角顶点与BC 边的中点O 重合，且两条直角边分别经过点A 和点B ，将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB ，AC 分别交于点E ，F 时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE AF AC =＋B ．180BEO OFC ∠∠=︒＋C ．2OE OF BC +=D ．12ABC AEOF S S ∆=四边形【答案】C二、填空题8．点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n＝_____．【答案】19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A1），将OA绕原点逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为_____①【答案】10．如图，在△ABC中，∠CAB①65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′①AB，则∠B′AB等于_____①【答案】50°11．如图，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转角为_____°．【答案】82°12．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD 上，且DE =EF ，则AB 的长为_____．【答案】13．（2020·河北其他）如图，将Rt ABC ∆的斜边AB 绕点A 顺时针旋转()090αα︒︒<<得到AE ，直角边AC绕点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AF ，连结EF ．若=3AB ，=2AC ，且B αβ+=∠，则=EF _____．【答案】14．四边形ABCD 、四边形AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°（45BAE ∠=︒）时，如图，连接DG ，BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH DG ⊥．若4AB =，AE =则线段BH的长是________．三、解答题15．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．(1)指出它的旋转中心；(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；(3)分别写出点A，B，C的对应点．【答案】解：（1）它的旋转中心为点A①①2）它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；①3）点A①B①C的对应点分别为点A①E①F.16．（2020·浙江台州·初三月考）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B1A1C＝30°）按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．（1）求证：∠BCE∠∠B1CF.（2）当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直吗？请说明理由． 【答案】解：（1）证明：两块大小相同的含30°角的直角三角板，所以①BCA =①B ′CA ′ ①①BCA -①A ′CA =①B ′CA ′-①A ′CA 即①BCE =①B ′CF①{B B BC B CBCE B CF∠=∠'='∠=∠'，①①BCE ①①B ′CF （ASA ）；（2）解：AB 与A ′B ′垂直，理由如下： 旋转角等于30°，即①ECF =30°， 所以①FCB ′=60°， 又①B =①B ′=60°，根据四边形的内角和可知①BOB ′的度数为360°-60°-60°-150°=90°， 所以AB 与A ′B ′垂直．17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A ①1①1①①B ①4①1①①C ①3①3①① ①1）将△ABC 向下平移5个单位后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1① ①2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2① ①3）判断以O ①A 1①B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；①2）如图所示，△A2B2C2即为所求；①3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA11B即OB2+OA12=A1B2①所以三角形的形状为等腰直角三角形．18．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．（1）试猜想AE与GC的数量关系与位置关系；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）答：AE=GC，AE⊥GC；证明：如图1中，延长GC交AE于点H．在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2，AE=GC，∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHG=180°-(∠1+∠3)=180°-90°=90°，∴AE⊥GC．故答案为：AE=GC，AE⊥GC；（2）答：成立；证明：如图2中，延长AE和GC相交于点H．在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，∴∠1=∠2=90°-∠3；∴△ADE≌△CDG，∴∠5=∠4，AE=CG，又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∴∠6=∠7，又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，∴∠CEH+∠7=90°，∴∠EHC=90°，∴AE⊥GC．19．将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中∠A＝45°，∠D＝30°，设旋转角为α，（0°＜a＜80°）（1）当DE∥AC时（如图2），求α的值；（2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F，求α的值；（3）当0°＜α＜90°时，连结AE（如图4），直线AB与DE相交于点F，试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由．【答案】①1①∵DE∥AC①∴∠D①∠ACD①30°①①∵∠BCA①90°①∴∠BCD①∠BCA①∠ACD①60°①①α①60°①①2①∵DE∥AB①∴∠E①∠CF A①60°①①∵∠CF A①∠B+∠BCE①∴∠BCE①15°①∴∠BCD①∠ECD+∠BCE①105°①①α①105°①①3①①①①①①①①①105°①∵∠ACD+∠CAB①∠D+∠AFD①∠CAB①45°①∠D①30°①∴∠AFD①∠ACD①15°①①∵∠1+∠2①∠AFD①∠3①90°①∠ACD①∴∠1+∠2+∠3①∠AFD+90°①∠ACD①90°+15°①105°.。

中考数学复习考点知识专题训练19 因旋转产生的角度问题（提优篇）1．如图1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）填空：∠BAN＝°；（2）如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置，射线BP绕点B 开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？（3）如图2，若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线AM到达AN 之前．若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．2．（1）①如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE之间的数量关系，并说明理由．②将图1中射线BA绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA交射线DC于F，得到图2，形成四边形BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD之间有何数量关系，并说明理由．（2）在图3中，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点N，∠ABM=23∠ABN，∠CDM=23∠CDN，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．3．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图2，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转至原位置，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B 转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值．（2）如图1，若两灯同时转动，在灯A射线第一次转到AN之前，两灯射出的光线交于点C，若∠C＝70°，求∠BAC的度数．（3）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次转到BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光线互相平行？4．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC 交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．5．如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B 和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．6．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|+√b−1=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN ＝45°（1）求a，b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC 交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．7．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a＝27＝32•3b．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC＝．8．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+b2﹣2b+1＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN ＝45°．（1）则a＝，b＝；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是（请直接写出结论）．9．辽宁汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线白BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，假定这带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）请直接写出a＝，b＝．（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动秒，两灯的光束互相平行．（请直接写出答案）10．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（∠AED＝30°的Rt△），将三角板ABC（∠ACB＝45°的Rt△）绕点A顺时针旋转一个大小为α的角（0°＜c≤45°），试问：（1）当α＝度时，能使图2中的AB∥DE；（2）当α＝度时，能使图3中的AB与AE重合；（3）当0°＜a≤45°时，连接BD（如图12﹣4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．11．（1）如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是，并说明理由．（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用（1）中的结论（可以直接套用），求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（3）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（3）的“飞旋镖”，经测量发现∠P AC＝30°，∠PBC ＝35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．12．已知：如图，直线MN⊥PQ于点C，△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°，斜边AB交直线PQ于点D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分线交EC的延长线于点F，∠A＝36°．（1）如图1，当AB∥MN时，求∠F的度数．（2）如图2，当△ACB绕C点旋转一定的角度（即AB与MN不平行），其他条件不变，问∠F的度数是否发生改变？请说明理由．13．一副直角三角板叠放如图①，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC 绕顶点A顺时针旋转角α（α＝∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直．（1）如图②，α＝°时，BC⊥AE；（2）请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角α，并用符号表示出垂直的边．14．如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连P A和PC，作∠P AB和∠PCD 的平分线相交于点Q．（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P的位置，使∠APC＝180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？并证明你的结论．15．将一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在△AOB中，∠A＝60°，∠B＝30°，∠AOB＝90°；在△COD中，∠C＝∠D＝45°，∠COD＝90°．（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC＝45°时，①试说明CO平分∠AOB；②试说明OA∥CD（要求书写过程）；（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AOB，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC ＝45°是否成立，并说明理由．16．将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．（1）如图1所示，边OA与OC重合，此时，AB∥CD，则∠BOD＝；（2）三角板△COD的位置保持不动，将三角板△AOB绕点O顺时针方向旋转，如图2，此时OA ∥CD，求出∠BOD的大小；（3）在图2中，若将三角板△AOB绕点O按顺时针方向继续旋转，在转回到图1的过程中，还存在△AOB中的一边与CD平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠BOD的大小．17．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．19．将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，（1）图1中∠BEC的度数为（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．20．取一副三角尺按图1拼接，固定三角尺ADC．（1）在图1中，连接BD，计算∠DBC+∠BDC＝；（2）将三角尺ABC绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC1，试问：①当α＝时，能使AB∥CD；②当α＝45°时，∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝；③当0°＜α≤45°时，如图2所示，连结BD，探寻∠DBC1+CAC1+∠BDC的值的大小变化情况，并给出你的证明．。

全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：图形的旋转–点评一. 教材分析“图形的旋转”是初中数学的重要内容，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

本节课的内容是在学生已经掌握了图形的平移、缩放等基本变换的基础上进行的，通过学习图形的旋转，使学生能够更深入地理解图形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析初中学生在这一阶段已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，但对于图形的旋转的理解还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出旋转的数学模型，并通过大量的实践操作来加深学生对旋转的理解。

三. 教学目标1.理解旋转的定义，掌握旋转的基本性质。

2.能够运用旋转的知识解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.旋转的定义和旋转的基本性质。

2.如何运用旋转的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出旋转的数学模型。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画演示和实际操作，帮助学生理解旋转的概念和性质。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.旋转的实际例子和图片。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际例子，如摩天轮、地球自转等，引导学生思考这些现象与数学中的旋转有什么关系。

让学生感受到旋转在日常生活中的重要性，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍旋转的定义和基本性质，通过多媒体动画演示，使学生直观地理解旋转的概念。

同时，给出一些旋转的性质，如旋转不改变图形的大小和形状，旋转中心对应点不变等。

3.操练（10分钟）让学生进行一些旋转的操作练习，如将一个图形绕某一点旋转一定的角度，观察旋转前后的图形。

通过实际操作，使学生更好地理解旋转的性质。

4.巩固（10分钟）给出一些实际问题，让学生运用旋转的知识来解决。

五年级下册数学第5单元综合能力提优测试卷时间：70分钟总分：100分+20分一、填空题。

（第4题4分，其余每空1分，共27分）1.下面现象是平移的周“☐”，是旋转的画“△”。

(1)手拧动水龙头。

( )(2)电梯的上下运动。

( )(3)飞机的螺旋桨的运动。

( )(4)电风扇扇叶的运动。

( )(5)拉动抽屉。

( )2.下图中，图形B可看作是图形A先绕点O( )时针旋转( )，再向( )平移( )格得到的；图形C可看作是图形D先绕点P( )时针旋转( )，再向( )平移( )格，最后向( )平移( )格得到的。

3.指针从3绕点O顺时针旋转30°到( )。

指针从6绕点O顺时针旋转60°到( )。

指针从6绕点O逆时针旋转90°到( )。

指针从9绕点O顺时针旋转150°到( )。

指针从3绕点O逆时针旋转90°到( )。

指针从9绕点O顺时针旋转( )到3。

指针从9绕点O逆时针旋转( )到6。

4.(1)图形OABC绕点O顺时针旋转90°，在上图中标出点C的对应点C’。

(2)图形OABC绕点O顺时针旋转( )°，得到图形1.(3)图形OABC绕点O顺时针旋转( )°，得到图形3。

(4)图形2绕点O逆时针旋转( )°，得到图形3。

5.涂色的图形1绕点A逆时针旋转90°，涂色部分可以组成( )形。

二、判断题。

（每题1分，共5分）1.如左图，指针从12绕点O顺时针旋转60°到2。

（）2.一个三角形绕着它的一个顶点顺时针旋转90°，它的位置发生了变化，大小和形状都不变。

（）3.下图中三角形OA＇B＇是三角形OAB绕点O逆时针旋转90°后得到的图形。

（）4.任何一个图形，绕一点旋转后，图形的形状、大小都不变。

（）5.轴对称图形中对称的点离对称轴的距离相等。

（）三、选择题。

（每题1分，共8分）1.下面的图案中，可以由一个基本图形连续旋转90°得到的是（）。

苏教版四年级数学下册第一、二单元图形的平移、旋转和轴对称以及认识多位数练习一、填空题。

(每空1分，共32分)1．大数据时代来了!据统计，互联网一天产生的全部内容可以制作成一亿六千八百万张DVD，横线上的数写作（），改写成用“万”作单位的数是（），省略“亿”后面的尾数写出的近似数是（）。

2．一个数由1个亿、7个千万、5个十万和9个百组成，这个数是（）。

3．“果林果乐”水果店的台秤上放8千克的水果后，指针顺时针旋转了180度，如果想让指针逆时针旋转90°，需要从台秤上拿掉( )千克的水果。

4．一个十位数减去1，得到一个九位数。

这个十位数是( )，这个九位数是（）。

5．在圆圈里填上“＞”“＜”或“＝”。

99999999○111111111 36万○35999 745万○7450000 1263080000○13亿 19999万○2亿最大的八位数○9999万6．从6:00到12:00，钟面上时针转动了( )°；从4:00到4:20，钟面上分针转动了( )º。

7．如图，如果指针逆时针旋转90°，从指向A点旋转到指向( )点；如果指针顺时针旋转90°，从指向D旋转到指向( )点。

8．如图，将图形①先绕点O( )时针旋转90°，再向( )平移( )格得到图形④；将图形②先绕点O( )时针旋转90°，再向( )平移( )格得到图形③。

9．10□800≈10万，方框里可以填的数字有（）；33□4000≈336万，方框里应填（）10．把绕点B( )时针旋转( )°后是。

11．纳米是个很小的长度单位，10亿纳米等于1米，1000万纳米等于1厘米，想一想，1毫米等于( )纳米。

12．丁飞写了一个数，改写成用“万”作单位的数是328500万，那么省略“亿”后面的尾数约是（），13．100粒大米约重4克，照这样计算，10000粒大米约重( )克，( )粒大米约重4千克，1亿粒大米约重( )吨。

九年级（人教版）数学上册期末综合复习专题提优训练（三）一．选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．“翻开数学书，恰好翻到第16页”，这个事件是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．确定事件3．一元二次方程x2＝3x的解为（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝0 且x＝3 4．男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x支球队，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝6 B．x（x+1）＝6 C．D．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（）A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 6．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①3a+2b+c＜0；②3a+c＜b2﹣4ac；③方程2ax2+2bx+2c﹣5＝0没有实数根；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题9．将抛物线y＝4x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到图象的函数表达式是．10．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为x，则可列出关于x的一元二次方程．11．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，已知圆柱的体积是圆锥的9倍，圆锥的高是8.1cm，则这个圆柱的高是cm．12．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是．13．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．14．以原点为中心，把点M（3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为．15．已知边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，使AB边与弦MN重合，如图所示，将正方形在圆中逆时针滚动，在滚动过程中，点M、D之间距离的最小值是．三．解答题16．解下列方程．（1）x2+2x﹣35＝0；（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x．17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．18．如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB＝90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF．（1）在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程；（2）若AE＝12，AB＝13，求EF的长．19．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：摸球的次数200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是．（精确到0.01），由此估出红球有个．（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．已知OB＝OC，点B的坐标为（3，0），抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的表达式；（2）直接写出点A、M的坐标，并在下图中画出该抛物线的大致图象；A；M．（3）根据图象直接回答：不等式x2+bx+c＞3的解集为．21．如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．22．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．23．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y 与a的关系式．24．已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AE上一动点，当△PBC周长最小时，求点P坐标；（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，求点Q的坐标；（4）在y轴上是否存在一点M，使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．2．解：“翻开数学书，恰好翻到第16页”确实有可能刚好翻到第16页，也有可能不是翻到第16页，故这个事件是随机事件．故选：A．3．解：方程移项得：x2﹣3x＝0，分解因式得：x（x﹣3）＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：C．4．解：设该小组有x支球队，则共有x（x﹣1）场比赛，由题意得：x（x﹣1）＝6，故选：C．5．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c 的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞2．故选：D．6．解：连接OB，OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°．故选：B．7．解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选：C．8．解：由图象可知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣1，a＜0，∴b＝2a＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，∴3a+b+c＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴3a+c＜0＜b2﹣4ac，故②正确；∵2ax2+2bx+2c﹣5＝0，∴ax2+bx+c＝，结合图象可知，不能确定抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝的交点情况，故③不正确；∵当x＝m（m≠﹣1）时，y＝am2+bm+c，且当x＝﹣1时，函数y取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴m（am+b）+b＜a，故④正确；综上，正确结论有①②④共3个，故选：B．二．填空题（共7小题）9．解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝4x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y＝4（x+3）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝4（x+3）2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝4（x+3）2+2．故平移后的抛物线的函数关系式是：y＝4（x+3）2+2．故答案为y＝4（x+3）2+2．10．解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：（29+2x）（22+2x）＝×29×22．故答案为：（29+2x）（22+2x）＝×29×22．11．解：设这个圆柱的高是xcm，圆锥和圆柱的底面积都为S，根据题意得S•x＝9××S×8.1，解得x＝24.3（cm），即这个圆柱的高是24.3cm．故答案为24.3．12．解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则＝﹣1，解得x＝1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣3，x2＝1．故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．13．解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，∵半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，∴OD＝OE＝1cm，OC＝2cm，∠AOC＝45°，∴CF＝，∴空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积＝﹣×＝π﹣（cm2）三角形ODE的面积＝OD×OE＝（cm2），∴图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积＝﹣（π﹣）﹣＝π+﹣（cm2）．故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．故答案为：（π+﹣）．14．解：如图，∵点M（3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．15．解：如图，点D的运动轨迹是图中的红线．观察图象可知M、D之间的最小距离是线段AD′的长＝AE﹣D′E＝2﹣，故答案为2﹣．三．解答题（共9小题）16．解：（1）x2+2x﹣35＝0，（x+7）（x﹣5）＝0，x+7＝0或x﹣5＝0，∴x1＝﹣7，x2＝5．（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x，4x（2x﹣1）+（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（4x+1）＝0，（2x﹣1）＝0或（4x+1）＝0，，17．解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，解得：k≤﹣1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．∵+＝k﹣2，∴＝＝k﹣2，∴k2﹣6＝0，解得：k1＝﹣，k2＝．又∵k≤﹣1，∴k＝﹣．∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．18．解：（1）如图所示：连接AC，BD，交于点O．连接EO并延长到点F，使OF＝OE，连接DF，CF，（2）如图所示：过点O作OG⊥OE与EB的延长线交于点G，∵四边形ABCD为正方形∴OA＝OB，∠AOB＝∠EOG＝90°∴∠AOE＝∠BOG在四边形AEBO中∠AEB＝∠AOB＝90°∴∠EAO+∠EBO＝180°＝∠EBO+∠GBO∴∠GBO＝∠EAO，∴在△EAO和△GBO中，∵∴△EAO≌△GBO（ASA），∴AE＝BG，OE＝OG．∴△GOE为等腰直角三角形，∴OE＝EG＝（EB+BG）＝（EB+AE）∵AE＝12，AB＝13，∴BE＝5，∴EB+AE＝17，∴OE＝∴EF＝．19．解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．故答案为：0.33，2；（2）列表如下：白红红白﹣﹣﹣（红，白）（红，白）红（白，红）﹣﹣﹣（红，红）红（白，红）（红，红）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，则P（1个白球，1个红球）＝＝；所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．20．解：（1）∵OB＝OC，点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上∴点C的坐标为（0，3），∵抛物线y＝x2+bx+c过B、C两点，∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）y＝x2﹣4x+3，＝（x﹣2）2﹣1，故顶点坐标为：M（2，﹣1），当y＝0，则0＝x2﹣4x+3，解得：x1＝1，x2＝3，故A（1，0）；如图所示：故答案为：（1，0），（2，﹣1）；（3）根据图象即可得出当x＜0或x＞4，y＝x2﹣4x+3＞3，即不等式x2+bx+c＞3的解集为：x＜0或x＞4．故答案为：x＜0或x＞4．21．解：（1）如图②中，A（4，0），C（0，4），设抛物线解析式为y＝ax2+k，由题意，得，解得：，∴抛物线表达式为．（2）2+＝2.2，当x＝2.2时，y＝﹣×2.22+4＝2.79，当y＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29 （m）．答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m．22．（1）证明：连接OD，∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，∴∠OAD＝∠BAC＝60°，∵OD＝OA，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，∴∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥DC，∵OD为半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴OD＝OA＝AC＝AB＝2，由勾股定理得：CD＝＝＝2，∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π．23．解：（1）依题意得S＝x（28﹣x），当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；（3）依题意得：，解得：6≤x≤28﹣a，S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，又6≤x≤28﹣a，∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．24．解：（1）∵直线与y轴交于A，∴A点的坐标为（0，2），∵B点坐标为（1，0）．∴∴；（2）作出C关于直线AE的对称点F，由B和F确定出直线BF，与直线AE交于P点，设F（m，n），由题意D（﹣4，0），C（4，0），A（0，2），AF＝AC＝2，DF＝DC＝8，∴，解得或，∴F（，），∴直线BF的解析式为：y＝﹣32x+32，，可得：P（）；（3）根据题意得：x+2＝x2﹣x+2，解得：x＝0或x＝6，∴A（0，2），E（6，5），∴AE＝3，设Q（x，0），①若Q为直角顶点，则AQ2+EQ2＝AE2，即x2+4+（x﹣6）2+25＝45，此时x无解；②若点A为直角顶点，则AQ2+AE2＝EQ2，即x2+4+45＝（x﹣6）2+25，解得：x＝1，即Q（1，0）；③若E为直角顶点，则AQ2＝AE2+EQ2，即x2+4＝45+（x﹣6）2+25，解得：x＝＝，此时求得Q（，0）；∴Q（1，0）或（，0）（4）假设存在，设M坐标为（0，m），则OM＝|m|，∵OC＝4，AO＝2，OD＝4，∴MC＝MD，∴当MD⊥AD时，满足条件，∴在直角三角形AOD中，根据勾股定理得：AD＝2，且AM＝2﹣m，CM＝，∵MD＝MC，∴根据勾股定理得：＝，即（2﹣m）2﹣（2）2＝m2+16，解得m＝﹣8，则M（0，﹣8）．。

在生活中迈步犹如在泥泞中行走.雨果专题复习训练卷五㊀轴对称㊁平移与旋转(时间:６０分钟㊀满分:１００分)一㊁选择题(每题３分,共３０分)１．下列图形是中心对称图形的是(㊀㊀)．２．以下长度(单位:c m )的三条线段,如果首尾顺次连结,不能构成三角形的是(㊀㊀)．A．１０,１５,２４B ．１２,１６,２２C ．１６,６,４D．８,１０,１２３．正方形是轴对称图形,它的对称轴共有(㊀㊀)．A．１条B ．２条C ．３条D．４条４． 个图形无论经过平移还是旋转,有以下说法:①对应线段平行;②对应线段相等;③对应角相等;④图形的形状和大小都没有发生变化．其中正确的说法是(㊀㊀)．A．①②③B ．①②④C ．①③④D．②③④５．如图,在R t әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øB ＝６０ʎ,әA B ᶄC ᶄ可以由әA B C 绕点A 顺时针旋转９０ʎ得到(点B ᶄ与点B是对应点,点C ᶄ与点C 是对应点),连结CC ᶄ,则øC C ᶄB ᶄ的度数是(㊀㊀)．A．４５ʎB ．３０ʎC ．２５ʎD．１５ʎ６．如图,әA B C 与әA ᶄB ᶄC ᶄ关于直线l 对称,则øB 的度数为(㊀㊀)．(第６题)A．５０ʎB ．３０ʎC ．１００ʎD．９０ʎ７．若一个三角形的两个内角是５５ʎ和６５ʎ,则这个三角形的外角不可能是(㊀㊀)．A．１１５ʎB ．１２０ʎC ．１２５ʎD．１３０ʎ８．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是(㊀㊀)．A．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D．不能确定９．如图,在әA B C 中,øA C B ＝９０ʎ,把әA B C 沿直线A C 翻折１８０ʎ,使点B 落在B ᶄ的位置,则关于线段A C 的说法中,正确的个数是(㊀㊀)．①A C 是әA B B ᶄ的中线;②A C 是әA B B ᶄ的高;③A C 是әA B B ᶄ的内角øB A B ᶄ的平分线;④A C 所在的直线是әA B B ᶄ的对称轴．A．１B ．２C ．３D．４(第９题)㊀㊀(第１０题)１０．如图,在әA B C 中,øC A B ＝７０ʎ．在同一平面内,将әA B C 绕点A 旋转到әA B ᶄC ᶄ的位置,使得C C ᶄʊA B ,则øB A B ᶄ等于(㊀㊀)．A．３０ʎB ．３５ʎC ．４０ʎD．５０ʎ二㊁填空题(每题３分,共２４分)１１．如图所示:(第１１题)(１)不是轴对称图形的是㊀㊀㊀㊀;(２)仅有一条对称轴的图形是㊀㊀㊀㊀．(只填图形序号)１２．在әA B C 中,øA ＝４１ʎ２８ᶄ,øB ＝７２ʎ２５ᶄ,则øC ＝㊀㊀㊀㊀．１３．如图,øA B C 是øO 经过平移而得的角,若øO ＝６５ʎ,则øA B C ＝㊀㊀㊀㊀ʎ．(第１３题)１４．如图,四边形E F G H 与四边形A B C D 是全等图形,若A D ＝５,øB ＝７０ʎ．则E H ＝㊀㊀㊀㊀,øF ＝㊀㊀㊀㊀．专题复习训练卷五㊀轴对称㊁平移与旋转他山之石,可以攻玉. «诗经»(第１４题)㊀㊀(第１５题)１５．如图所示的图形是旋转对称图形,它是绕它的旋转中心旋转㊀㊀㊀㊀度后与自身重合的．１６．如图,将әO A B 绕点O 按逆时针方面旋转至әO A ᶄB ᶄ,使点B 恰好落在边A ᶄB ᶄ上．已知A B ＝４c m ,B B ᶄ＝１c m ,则A ᶄB 的长是㊀㊀㊀㊀c m ．(第１６题)㊀㊀(第１７题)１７．如图,在３ˑ３的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有㊀㊀㊀㊀㊀㊀种．１８．如图,在平面直角坐标系中,对әA B C 进行循环往复的轴对称或中心对称变换,若原来点A 坐标是(a ,b ),则经过第２０１１次变换后所得的点A 的坐标为㊀㊀㊀㊀．(第１８题)三㊁解答题(第１９~２２题每题９分,第２３题１０分,共４６分)１９．如图,在每个正三角形的网络中的两个阴影小等边三角形都是轴对称的,分别在各图中直接画出它们的对称轴．(第１９题)２０．试确定әA B C 关于直线l 反射后生成的像的位置．(第２０题)２１．已知әA B C 在如图所示的网格图中,将әA B C 沿直线y 翻折得到әA １B １C １,再将әA １B １C １绕点O 旋转１８０ʎ得到әA ２B ２C ２．请依次画出әA １B １C １和әA ２B ２C ２．(第２１题)２２．如图,әA B C ɸәA D E ,øB A D ＝５２ʎ．(１)求øE A C 的度数．(２)әA B C 怎样运动才能和әA D E 重合?(第２２题)２３．如图,正方形A B C D 中,E 在B C 上,әD E C 按顺时针方向转动一个角度后成әD G A ．(１)图中哪一个点是旋转中心?(２)旋转了多少度?(３)求øG D E 的度数并指出әD G E 的形状．(第２３题)１６．３㊀１７．５㊀１８．(a ,－b )１９．作图略２０．画出әA B C 关于直线l 对称的三角形即为所求的三角形．２１．答案如图所示:(第２１题)２２．(１)由әA B C ɸәA D E ,得øB A C ＝øD A E ,øB A C －øB A E ＝øD A E －øB A E ,即得øE A C ＝øB A D ＝５２ʎ．(２)әA B C 绕点A 顺时针旋转５２ʎ即可与әA D E 重合．２３．(１)点D ㊀(２)９０ʎ㊀(３)øG D E ＝９０ʎ,әD G E 是等腰直角三角形．专题复习训练卷五㊀轴对称㊁平移与旋转１．D ㊀２．C ㊀３．D ㊀４．D㊀５．D ㊀６．C ㊀７．D８．A㊀９．D㊀１０．C１１．(１)(２)㊀(２)(４)㊀１２．６６ʎ７ᶄ１３．６５㊀１４．５㊀７０ʎ１５．４５n (n 为正整数)。

平移和旋转优秀教学设计平移和旋转优秀教学设计1教学目标：1、结合生活实例，通过判断、举例等感知平移与旋转现象，体会平移和旋转的特点，并会直观地区分这两种现象。

2、能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、垂直方向平移后的图形，感受平移的几何特征3、在学习的过程中培养同学善于观察的习惯和动手实践、发挥想象的能力，在解决实际问题中使同学体验学习数学的乐趣和应用价值。

教学重、难点：正确区分平移和旋转现象正确判断平移的方向和距离，初步感悟平移的实质。

教学准备：教学课件，学具教学过程：一、导入新课（玩儿华容道的游戏和欣赏陀螺旋转的视频）师：华容道通过三国时期故事演变而来的一种益智类游戏，你还记得怎么玩吗？谁愿意来试试看？（上下移动，左右移动）——————平移板书师：请大家回顾欣赏一段视频，玩华容时我们所看到的是平移现象，陀螺的运动方式就是旋转、（板书）二、讲授新课1、分一分师：（出示六幅图）老师把生活中这样的场景录了下来，大家一起来看看，可以用手动作比划一下、师：接下来，请6名小朋友到黑板前，选择一个你喜欢的，先用动作进行表演再将它把所选项目的图片贴在黑板上、师：为什么会把升国旗、推窗户、推箱子分到平移，到底什么才是平移？小结；物体沿直线运动的现象称为平移。

2我说你做师：（贴图）请生移动，老师说口令向上平移……生接着说指令：向左平移。

向右平移。

向左上怎么移？移动的时候注意什么？（在平移过程中，老师有意识地引导同学们观察图片自身的方向，学生欣喜地发现了原来在平移过程中，图片自身的方向始终没有发生变化。

完成表格）总结：通过我们的感受、体验、观察、发现平移是物体沿直线运动的现象称为平移。

在平移的过程中物体形状、大小、方向不变。

只有位置发生变化。

3、做一做做一个平移的动作：生自己做并展示4、说一说生活中你还见到过那些平移现象？（请生走过来这就是平移运动，回座位）平移现象在生活中随处可见，就拿回座位这么简单平常的事儿，没有这两种运动方式的，连回座位都成了难事儿。

【导语】爱玩是幼⼉的天性，在科学探索活动中，我们应该⿎励幼⼉在玩中发现⾝边的科学，并尝试发现问题。

以下是为⼤家精⼼整理的内容，欢迎⼤家阅读。

【篇⼀】中班科学优质课有趣的转动教案 活动⽬标： 1、在操作、探索活动中，发现转动的很多有趣现象。

2、积累有关转动的经验，了解转动是运动的⼀种⽅式。

3、为⾃⼰和同伴的成功⽽⾼兴，在活动中获得成功的喜悦。

4、愿意⼤胆尝试，并与同伴分享⾃⼰的⼼得。

5、激发幼⼉对科学活动的兴趣。

活动准备： 1、玩具汽车、塑料玩具、⽛签、圆纸⽚、风车、线圈、棍⼦、卷笔⼑、各种瓶盖、钟表、纸杯、⾬伞等 2、录⾳机、DVD、电视、电脑 3、榨汁机、瓶⽔ 活动过程： （⼀）、我⾸先设计情节来引出转动并揭⽰课题： 1、⽼师想喝⽔了，谁能帮我把瓶盖打开？刚才你是怎样把盖⼦打开的？ 2、教师再次演⽰⼏样能转动的物体，（伞、钟）让幼⼉找找他们的共同点，让幼⼉找的同时引出“转动”。

（⼆）、让幼⼉参观“转转转”展览会（准备：伞、钟、⾃⾏车、纸杯、风车、硬纸⽚、⽛签等） 幼⼉通过操作、探索，直接感性地获得经验。

但是在操作前我提了⼏个要求，让幼⼉带着问题去操作，培养幼⼉边操作边思考问题的习惯。

我设计的题问是：（1）哪些东西能够转动？（2）它们⼜是怎样转动的？ 1、幼⼉分组探索、操作时，教师适时介⼊，观察引导。

2、等幼⼉操作完后进⾏交流，请部分幼⼉上来说说你是怎么玩的，把幼⼉的玩法呈现出来，初步让幼⼉了解转动原理。

3、最后教师进⾏⼩结：这些物体的转动都是围着⼀个转动轴作圆周运动。

（但考虑到中班幼⼉对转动轴不是很理解，于是我再次演⽰伞的转动，让幼⼉找找转动轴在哪⾥，以加深印象。

） （三）、提问： 1、⽣活中有哪些东西运⽤了转动？引导幼⼉说出电风扇、钟、⾃⾏车、门等。

然后我制作了课件，让幼⼉从图⽚中更直观地得到启发。

2、转动给⼈们带来了哪些好处？ （四）、运⽤转动的原理，享受现代科技带给我们的好处。

第三章中心对称图形（一）第1课时图形的旋转（附答案）【基础巩固】1．下列现象属于旋转的是 ( )A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车2．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．在图形旋转中，下列说法错误的是 ( )A．图形上各点的旋转角度相同B．旋转不改变图形的大小、形状C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到D．对应点到旋转中心的距离相等4．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转a角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角a的大小可以是 ( )A．30° B．45° C．60°D．90°5．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，则∠A的度数为 ( )A．45°B．55° C．65° D．75°6．点A0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135°到点B，那么点B的坐标是_______．7．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD旋转，得到△ACP，则旋转中心是_______，旋转角等于_______度，△ADP是_______三角形．8．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，图中的三角形_______和三角形_______可以旋转_______度互相得到．9．一个正方形绕着它的中心旋转一定角度后，就能与它自身重合，这个角度至少是__________度．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝3，AC＝2，求∠BAD的度数及AD的长．【拓展提优】11，如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的．测得AB＝BC，OA＝OC，OA⊥OC，∠ABC＝36°，则∠OAB的度数是( ) A．116° B．117° C．118° D．119°12．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，点B落在点B'位置，点A落在点A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是 ( )A．50° B．60° C．70° D．80°13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，若AD＝3，BC＝4，AB＝2，把线段CD 绕点D逆时针旋转90°到DE的位置，连接AE，则AE的长为_______．14．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB'C 'D'，如果CD＝2DA＝2，那么CC'＝_______．15．如图①，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．(1)将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图②中作出旋转后的△OAB（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．(2)在图①中，你发现线段AC、BD的数量关系是___________；直线AC、BD相交成_______度角．(3)将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角．得到图③，这时(2)中的两个结论是否成立？作出判断，并说明理由，若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．16．如图①，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．(1)当把△ADE绕A点旋转到图②的位置时，CD＝BE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ADE绕A点旋转到图③的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB＝2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．参考答案【基础巩固】1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．(－1，－1) 7．点A 60°等边8．BCE ACD 60 9．90 10．∠BAD＝60°，AD＝5【拓展提优】11．B 12．C 13 14 15．(1)略(2)AC＝BD 90 (3)成立16．(1)CD＝BE成立，理由略(2)△AMN是等边三角形。

全等三角形角6090旋转 易错题难题提优专项训练试题一、全等三角形角6090旋转1．数学课上，王老师出示了问题：如图1，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，若60ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒，则（1）线段BC ，CD ，AC 三者之间存在等量关系为：______________________； （2）经过思考：小丽、小明和小亮三位同学分别展示了三种正确的思路：如图2，在AC 上取一点E ，使CE CB =，连接BE ；如图3，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ；如图4，将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转60︒．在此基础上，请你选择一种合适的方法证明上述等量关系．（3）小强同学提出：如图5，如果把“60ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒”改为“45ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小强提出的问题，请你写出结论，并给出证明．2．如图，在等腰ABC 中，AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，E 是BC 上一点，将E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，连接DE 、CD ．（1）求证：ABE ACD △≌△；（2）当BC ＝6，CE ＝2时，求DE 的长．3．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的动点，且∠EAF ＝45°，求证：EF ＝DF+BE ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，如果点E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的动点，且∠EAF ＝45°，则EF 、BE 、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE ＝35，求AF 的长．4．如图1，ABC 与CDE △都是等腰直角三角形，直角边AC ，CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE ，BD ，PM ，PN ，MN ．（1）观察猜想：图1中，PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：将图1中的CDE △绕着点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到图2，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 任意旋转，若4AC =，2CD =，请直接写出PMN 面积的最大值． 5．已知，四边形ABCD 中，,,,120,60AB AD BC CD BA BC ABC MBN ︒︒⊥⊥=∠=∠=，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交,AD DC （或它们的延长线）于E ，F ．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时，如图（1），易证：AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．6．如图，BC 为等边△ABM 的高，AB ＝52，点P 为射线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PD ，连接MD ，BD ． （1）如图①，当点P 在线段BC 上时，求证：BP ＝MD ；（2）如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，求证：BP ＝MD ；（3）若点P 在线段BC 的延长线上，且∠BDM ＝30°时，请直接写出线段AP 的长度．7．如图1，已知△ABC 是边长为8的等边三角形，∠EBD ＝30°，BE ＝DE ，连接AD ，点F 为AD 的中点，连接EF ．将△BDE 绕点B 顺时针旋转．（1）如图2，当点E 位于BC 边上时，延长DE 交AB 于点G ．①求证：BG ＝DE ；②若EF ＝3，求BE 的长；（2）如图3，连接CF ，在旋转过程中试探究线段CF 与EF 之间满足的数量关系，并说明理由．8．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，9．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．10．已知90ACD ∠=︒，MN 是过点A 的直线，AC DC =，DB MN ⊥于点B ，如图（1）所示.易证BD AB 2CB +=，过程如下：过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E90ACB BCD ∠+∠=︒，90ACB ACE ∠+∠=︒，BCD ACE ∴∠=∠.四边形ACDB 内角和为360︒，180BDC CAB ∴∠+∠=︒.180EAC CAB ∠+∠=︒，EAC BDC ∴∠=∠.又AC DC =，ACE DCB ∴∆≅∆，AE DB ∴=，CE CB =，ECB ∴∆为等腰直角三角形BE 2CB ∴=.又BE AE AB =+，BE BD AB ∴=+，BD AB 2CB ∴+=.（1）当MN 绕A 旋转到如图（2）所示和如图（3）所示两个位置时，BD 、AB 、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对如图所示给予证明.（2）MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，2BD =时，则CD =______，CB =______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角6090旋转1．（1）BC CD AC +=；（2）见解析；（3）2BC CD AC +=，见解析【分析】（1）与（2）中的证明一证法一样；（2）添加不同的辅助线证明一：如图2，在AC 上取一点E ，使CE CB =，连接BE ；证明二：延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ；证明三：将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转60︒，分别证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质及等量代换即可得证；（3）先证出ABE ADC ∠=∠，再证明ABE ∆≌ADC ∆，最后利用勾股定理得出结果．【详解】（1）BC CD AC +=；（2）3种证明方法均可证明一：如图2，在AC 上取一点E ，使CE CB =，连接BE∵60ACB ∠=︒，∴BCE ∆为等边三角形，∴,60BE BC CE CBE ==∠=︒，又∵60ABD ADB ∠=∠=︒，∴ABD ∆为等边三角形，∴AB BD =，60ABE EBD DBC ∠=︒-∠=∠，在ABE ∆和DBC ∆中,AB BD ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ∆≌DBC ∆，∴AE CD =∴BC CD CE AE AC +=+=；证明二：如图3，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE若AC 与BD 交于O 点，∵60ABD ACD ∠=∠=︒，AOB DOC ∠=∠∴12∠=∠，∴31160ACB ∠=∠+∠=∠+︒，2260ADC ADB ∠=∠+∠=∠+︒，∴3ADC ∠=∠在AEB ∆和ACD ∆中，,3AB AD ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB ∆≌ACD ∆∴AE AC =，而60ACE ∠=︒，∴ACE ∆为等边三角形，∴CE AC =又∵CE BC BE BC CD =+=+，∴AC BC CD =+．证明三：如图4：将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转60︒．由旋转的性质得：ADE ∆≌ABC ∆，∴AE AC =，BC DE =又∵60ACE ∠=︒，∴ACE ∆为等边三角形，∴AC CE =，∴CE CD DE CD BC =+=+，∴AC BC CD =+（3）线段BC ，CD ，AC 三者的等量关系为： 2BC CD AC +=．证明：延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ，∵45ABD ACD ∠=∠=︒，∴AB AD =，180454590BAD ∠=︒-︒-︒=︒∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴454590BCD ∠=︒+︒=︒在四边形ABCD 中，180BAD BCD ∠+∠=︒，∴180ABC ADC ∠+∠=︒又∵180ABC ABE ∠+∠=︒，∴ABE ADC ∠=∠在ABE ∆和ADC ∆中，,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ∆≌ADC ∆，∴AE AC =，∵45ACB ∠=︒，∴45E ACB ∠=∠=︒，∴90EAC ∠=︒， ∴CE =，∵CE BC BE BC CD =+=+， ∴BC CD +=． 【点睛】不同考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道综合性较强的题目．2．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，可得AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，进而可以证明△ABE ≌△ACD ；（2）结合（1）△ABE ≌△ACD ，和等腰三角形的性质，可得∠DCE ＝90°，再根据勾股定理即可求出DE 的长．【详解】（1）证明：∵E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，∴AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∵∠CAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠EAB ，∵AC ＝AB ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）；（2）∵等腰△ABC 中，AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∠DCA ＝∠ABE ＝45°，∴∠DCE ＝90°，∵BC ＝6，CE ＝2，∴BE ＝4＝CD ，∴DE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．3．（1）见解析；（2）EF ＝DF ﹣BE ，见解析；（3）【分析】（1）把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，由“SAS”可证△EAF ≌△GAF ，可得出EF ＝FG ，则结论得证；（2）将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF ＝FM，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE＝AG＝35，EF＝FG，BE＝DG，由勾股定理可求DG的长，FD的长，AF的长．【详解】（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；（3）如图，由（1）可得AE ＝AG ＝35EF ＝FG ，BE ＝DG ，∵DG 2245363AG AD -=-=，∴BE ＝DG ＝3，∴EC ＝BC ﹣BE ＝3，∵EF 2＝EC 2+CF 2，∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF ）2，∴DF ＝2，∴AF 22AD DF +436+10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，此题为半角模型，∠EAF 是∠BAD 的一半，故命名半角模型，半角模型必旋转，再证全等即可．4．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN 的形状为等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN 的面积的最大值为92． 【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，易证ΔACE ≌ΔBCD ，得AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，进而得∠BHA=90°，结合中位线的性质，得PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ， PN//AE ，进而得PM=PN ，PM ⊥PN ；（2）设AE 交BC 于⊙O ，易证ΔACE ≌ΔBCD ，得AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，进而得∠BHA=90°，结合中位线的性质，得PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ， PN//AE ，进而得PM=PN ，PM ⊥PN ；（3）易证ΔPMN 是等腰直角三角形，PM=12BD ，当B 、C 、D 共线时，BD 的值最大，进而求解．【详解】解：（1）如图1，延长AE 交BD 于点H ，∵ΔACB 和ΔECD 是等腰直角三角形，∴AC=BC ，EC=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE ，∴∠ACE=∠BCD ，∴ΔACE ≌ΔBCD （SAS ），∴AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，又∵∠AEC=∠BEH ，∴∠BHA=∠ACE=90°，∵点P 、M 、N 分别为AD 、AB 、DE 的中点，∴PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ，PN//AE ， ∴PM=PN ，∴PM ⊥AH ，∴PM ⊥PN ．（2）如图中，设AE 交BC 于O ．∵ACB △和ECD 是等腰直角三角形，∴AC BC =，EC CD =，90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠∴ACE BCD ∠=∠.∴ACE BCD ≅∴AE BD =，CAE CBD ∠=∠又∵AOC BOE ∠=∠，CAE CBD ∠=∠，∴90BHO ACO ∠=∠=︒∵点P 、M 、N 分别为AD 、AB 、DE 的中点，∴12PM BD =，//PM BD ； PN AE =，//PN AE .∴PM PN =∴180MGE BHA ∠+∠=︒∴90MGE ∠=︒∴90MPN ∠=︒∴PM PN ⊥（3）PMN 的面积的最大值为92． 由（2）可知PMN 是等腰直角三角形，12PM BD =， ∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，PMN 的面积最大，∴当B 、C 、D 共线时，BD 的最大值6BC CD =+=，∴3PM PN ==，∴PMN 的面积的最大值193322=⨯⨯=． 【点睛】 本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质和判定定理，掌握旋转全等三角形模型，是解题的关键．5．图（2）成立，图（3）不成立；图（2）中有AE CF EF +=，理由见解析；在图（3）中，有结论EF AE CF =-，理由见解析【分析】根据已知可以利用SAS 证明△ABE ≌△CBF ，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE ＝∠CBF ＝30°，△BEF 为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE +CF ＝EF ．同理图2可证明是成立的，图3不成立．【详解】解：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，AE ＝CF ，在△ABE 和△CBF 中，90AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）；∴∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ；∵∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∴∠ABE ＝∠CBF ＝30°，∴AE ＝12BE ，CF ＝12BF ； ∵∠MBN ＝60°，BE ＝BF ，∴△BEF 为等边三角形；∴AE +CF ＝12BE +12BF ＝BE ＝EF ； 图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC 至点K ，使CK ＝AE ，连接BK ，在△BAE 和△BCK 中，90AB CB A BCK AE CK =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩则△BAE ≌△BCK ，∴BE ＝BK ，∠ABE ＝∠KBC ，∵∠FBE ＝60°，∠ABC ＝120°，∴∠FBC +∠ABE ＝60°，∴∠FBC +∠KBC ＝60°，∴∠KBF ＝∠FBE ＝60°，在△KBF 和△EBF 中，BK BE KBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△KBF ≌△EBF ，∴KF ＝EF ，∴KC +CF ＝EF ，即AE +CF ＝EF ．图3不成立，AE 、CF 、EF 的关系是AE ﹣CF ＝EF ．理由如下：延长DC 至G ，使CG ＝AE ，同理可知，△BAE≌△BCG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△GBF≌△EBF，∴EF＝GF，∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．【点睛】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP＝52【分析】（1）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；（2）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；（3）由△BAP≌△MAD和BC为等边△ABM的高，计算得∠DBM＝60°，从而证明点D在BA的延长线上，再利用Rt△BMD和特殊角度三角函数，计算得到答案．【详解】（1）如图①，连接AD∵△ABM是等边三角形∴AB＝AM，∠BAM＝60°由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°∴△APD是等边三角形∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°∴∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP，∠MAD＝∠PAD﹣∠CAP ∴∠BAP＝∠MAD∵AB AMBAP MADAP AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAP≌△MAD（SAS）∴BP＝MD；（2）如图②，连接AD∵△AMB是等边三角形∴AB＝AM，∠BAM＝∠AMB＝60°由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°∴△APD是等边三角形∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠MAD＝∠PAD+∠CAP ∴∠BAP＝∠MAD在△BAP与△MAD中∵AB AMBAP MADAP AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAP≌△MAD（SAS）∴BP＝MD；（3）∵BC为等边△ABM的高∴∠ABC＝30°∵△BAP≌△MAD∴∠ABP＝∠AMD＝30°∴∠BMD＝∠AMB+∠AMD＝90°∴∠BMD＝90°∵∠BDM＝30°∴∠DBM＝60°∴点D在BA的延长线上如图③∵∠BDM＝30°,∠BMD＝90°∴BD＝2BM＝2∴AD＝BD﹣AB＝2∵PA＝PD＝AD∴AP＝AD＝2．【点睛】本题考察了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案．7．（1）①见解析；②2；（2）EC3EF，EC⊥EF，见解析【分析】（1）①想办法证明△BEG是等边三角形即可解决问题；②利用三角形的中位线定理求出AG，再求出BG即可解决问题．（2）结论：EC3，EC⊥EF．延长DF交CA的延长线于M，延长FE到K，使得EK＝EF，连接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，连接BN．证明图中，红色三角形全等，推出△CFK是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴∠GBD＝∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BGD＝60°，∴△BEG是等边三角形，∴BG＝BE，∴BG＝ED．②解：由①可知，BG＝GE＝BE＝DE，又∵AF＝DF，∴AG＝2EF＝6，∵AB＝8，∴BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2，∴BE＝BG＝2．（2）结论：EC3，EC⊥EF．理由：如图2中，延长DF交CA的延长线于M，延长FE到K，使得EK＝EF，连接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，连接BN．∵FB＝FD＝FN，∴∠DBN＝90°，∵∠DBF＝30°，∴∠FBN＝60°，∴△FBN是等边三角形，∴BN＝BF，∵∠ABC＝∠NBF＝60°，∴∠ABN＝∠CBF，∵AB＝BC，∴△ABN≌△CBF（SAS），∴AN＝CF，∵FN＝DF，AE＝ED，∴EF∥AN，AN＝2EF，∵2EF＝FK，∴AN＝FK，AN∥FK，∴四边形ANFK是平行四边形，∴AK∥DM，AK＝FN＝BN，∴∠CAK＝∠M，∵∠AOM＝∠BON，∠OAM＝∠BNO＝120°，∴∠M＝∠OBN，∴∠ABN＝∠CAK，∵AB＝AC，∴△ABN≌△CAK（SAS），∴AN ＝CK ，∴CF ＝CK ＝FK ，∴△CFK 是等边三角形，∠CFE ＝60°∵2EF ＝FK ，∴CE ⊥FK ，∵∠EFC ＝60°，∴tan ∠CFE ＝EC EF ＝3， ∴EC ＝3EF ，EC ⊥EF ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，准确应用等边三角形的性质进行分析是关键． 8．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+= ∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-= ∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．9．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．【分析】（1）利用含30的直角三角形的性质得出12BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；（3）同（2）的方法得出结论．【详解】解：（1）90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，故答案为：BC BD =；（2）BF BP BD +=，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BP BC +=，BF BP BC ∴+=，BC BD =，BF BP BD ∴+=；（3）如图③，BF BD BP =+，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠+∠=∠+∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BC BP =+，BF BC BP ∴=+，BC BD =，BF BD BP ∴=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．10．（1）详见解析；（2）2CD =，31CB =31【解析】【分析】 ()1过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E ，证明ACE ≌DCB ，则ECB 为等腰直角三角形，据此即可得到2BE CB =，根据BE AB AE =-即可证得；()2过点B 作BH CD ⊥于点H ，证明BDH 是等腰直角三角形，求得DH 的长，在直角BCH 中，利用直角三角形中30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．【详解】解：()1如图()2：2AB BD CB -=．证明：过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E ，90ACD ∠=， 90ACE DCE ∠∠∴=-，90BCD ECD ∠∠=-，BCD ACE ∠∠∴=．DB MN ⊥，90CAE AFC ∠∠∴=-，90D BFD ∠∠=-，AFC BFD ∠∠=，CAE D ∠∠∴=，又AC DC =，ACE ∴≌DCB ，AE DB ∴=，CE CB =，ECB ∴为等腰直角三角形， 2BE CB ∴=．又BE AB AE =-，BE AB BD ∴=-， 2AB BD CB ∴-=．如图()3：2BD AB CB -=．证明：过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E ，90ACD ∠=， 90ACE ACB ∠∠∴=+，90BCD ACB ∠∠=+，BCD ACE ∠∠∴=．DB MN ⊥， 90CAE AFB ∠∠∴=-，90D CFD ∠∠=-，AFB CFD ∠∠=，CAE D ∠∠∴=，又AC DC =，ACE ∴≌DCB ，AE DB ∴=，CE CB =，ECB ∴为等腰直角三角形， 2BE CB ∴=．又BE AE AB =-，BE BD AB ∴=-， 2BD AB CB ∴-=．()2MN 在绕点A 旋转过程中，有两种情况：i .如图（1）：易证ACE ≌DCB ，CE CB =，ECB ∴为等腰直角三角形，45AEC CBD ∠∠∴==，过D 作.DH CB ⊥则DHB 为等腰直角三角形．2BD BH =，1BH DH ∴==．直角CDH 中，30DCH ∠=，22CD DH ∴==，3CH =31CB CH HB ∴=+=ii .如图（2）：过D 作DH CB ⊥交CB 延长线于H ．同理可得，2CD =，31CB CH HB =-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．。

相似三角形的基本六大模型考点一 （双）A 字型相似 考点二 （双）8字型相似考点三 母子型相似 考点四 旋转相似考点五 K 字型相似 考点六 三角形内接矩形/正方形考点一 （双）A 字型相似1．（2021·山东临沂·三模）如图 在△ABC 中 DE △BC 若AE ＝2 EC ＝3 则△ADE 与△ABC 的面积之比为ADEABC S S =故选：A 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质6AF AC∆；AEF ABC上AD与）见解析；（2）见解析）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得Rt ABC中从点C出发出发当有一点到达所在线段的端点时1）求运动时间为多少秒时2）若CPQ的面积为3）当t为多少时为顶点的三角形与ABC相似40Rt CPQ的面积为）分两种情况：△Rt CPQ∽△Rt CPQ∽40为顶点的三角形与ABC相似．用方程的思想解决问题是解本题的关键．AB＝9ADM交直线考点二（双）8字型相似1．（2021·海南海口·九年级期末）如图在▱ABCD中E为CD的中点连接AE、BD且AE、BD交于点F则DEFS△：EFBCS四边形为（）然后求出DEF 和△DEF SS =4BAF S =2ADF S=ABD S 的面积 再根据平行四边形的性质可得DBC ABD S S = 然后相比计算即可得解．【详解】解：四边形是平行四边形//AB DE ∴ AB=CD E 为CD 的中点DEF ∴△△DEF S ∴：(BAF S =设DEF S S = 则4BAF S =EF ：1AF =：2DEF S∴：ADF S EF =：AF 2ADF S S ∴=4ABD BAF ADF S S S S ∴=+=+BD 是平行四边形ABCD DBC ABD SS ∴= 6DBC S S ∴=DEF S ∴：EFBC S 四边形故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键13Rt ABC中⊥作MN CB得,BNM BCA CNM ABD ,可得,BN MN CN BC BD BC,因为1BNCN BC BC ,列出关于即可求出MN 的长．【详解】△MN △BC DB△MN △DB△,BNMBCA CNM ABD ,MNBN MN CN ACBC BD BC 即,23MNBN MN CN BC BC , 又△1BNCN BC BC13MN MN65MN =, 故填：65． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质）求证：ABC△DBE．BC=CE8=6）因为ABC△DBE根据相似三角形的性质可知∠【详解】证明：（1）DBE∴ABC△DBE；2）ABC△DBEDE BE=AC BCBC=CE8AC=6=-=3BE CE BC36【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD AB△CD再证明四边形BECD为平行四边形得到BD△CE根据相似三角形的判定方法由CM△DB可判断△BND△△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB△△AFD则△1=△F再根据平行线的性质得△F=△4△2=△3所以△3=△4加上△NMC=△CMD于是可判断△MNC△△MCD所以MC：MD=CN：CD然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）△四边形ABCD是平行四边形△AB=CD AB△CD而BE=AB△BE=CD而BE△CD△四边形BECD为平行四边形△BD△CE△CM△DB△△BND△△CNM；（2）△AD2=AB•AF△AD：AB=AF：AD而△DAB=△F AD△△ADB△△AFD△△1=△F△CD△AF BD△CE△△F=△4△2=△3△△3=△4而△NMC=△CMD△△MNC△△MCD△MC：MD=CN：CD△MC•CD=MD•CN而CD=AB△CM•AB=DM•CN．若GEC 的面积为可以得到CEF 即可得到ADE ECF ≌ 则答案可证；先证明CEGABG 根据相似三角形的性质得出8ABG S = AG GC BGC S =ABC ABG BCG S S S =+得ABC S △【详解】（1）证明：△四边形//B AD C AD BC =ECF在ADE 和△△()ADE ECF ASA ≌AD CF =BC CF =；（2）△四边形ABCD //AB DC 2AB EC =△CEG ABG△GEC 的面积为22ABGCEG S AB S CE ⎛⎫== ⎪⎝⎭44ABG CEG S S ==⨯△CEGABG 12AG AB GC CE == 11822BGC ABG SS ==⨯8ABC ABG BCG SS S =+=+2212ABCD ABC S S ==⨯=【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质关键是明确题意 利用数形结合的思想解答．考点三母子型相似∠=∠若1．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）如图ABC中点D在边AB上且ACD ABC在ABC中BED=︒45Rt CEF中BF DG⊥Rt CEF．Rt CEF 中 32CE3EF =DGEDG 和△中DGE CEF DEG=∠==∠首先利用相似三角形的判定得出BAD ACE ∽ 得B ∠由BAD ACE ∽可证进而得出CD CE = 再由线段之间关系．【详解】（1）证明：AB AC ECA ∠ ACE ∆∽ EAC ∠ACB ∠=ABC ∴△∽△∴AC BC CD AC=2AC BC CD ∴=．（2）解：BAD ACE ∽AEC ∠CED =∠CEAD ABC 的中线2BC CD CD =22CD CD=此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识根据已知得出BAD ACE ∽是解边上 点E 在AC）如果DEF与ABC互为母子三角形DE．12C．2或12ABC 中 与ADE 互为母子三角形．ABC 中 AD 是中线交于点F 若AGE 与△C ；（2）见解析；（3）AG GF ）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；）根据两角对应相等两三角形相似得出分当,G E 分别在线段△DEF 与ABC 互为母子三角形）AD 是BAC ∠的角平分线 BAD CAD =∠ADE B ∠=∠ ABD ADE ∴∽．又2AB AD =ABD ∴与ADE 互为母子三角形．（3）如图 当,G E 分别在线段AGE 与CD AD GE AG∴=AG DG ∴=AD 是中线BD CD ∴=又//GE BC GEF ∴∽△△DF DB GF GE ∴=3DG GF =3AG GF=．AGE 与CD AD GE AG∴=12AG ∴=AD 是中线BD CD ∴=又//GE BC GEF ∴∽△△DF DB GF GE ∴=DG GF =13AG GF =．3GF考虑全面 进行分类讨论 避免漏解．考点四 旋转相似 1．（2022·吉林长春·九年级期末）在同一平面内 如图① 将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起 点A 为公共顶点 90BAC AED ∠=∠=︒．如图② 若△ABC 固定不动 把△ADE 绕点A 逆时针旋转 使AD 、AE 与边BC 的交点分别为M 、N 点M 不与点B 重合 点N 不与点C 重合．3 3EC CDECDC=CDE绕点C顺时针旋转AF考点五K字型相似3在ABC中F在BC上BPD∠=又BPD∠=DPC∴∠+∠∠=∠DPC∠=∠设DPC∴∠=∠BPC△△ADP∴∽AD AP∴=BP BC）∠∴∽ABD DFEAB AD∴=DF DEADE是等腰直角三角形DE AD∴=2AB=22∴=4DF∠=EFD45∴∠=∠EFC∴∽EFC DECFC EC∴=EC CD=EC=,CD DF52EC FC CD FC∴=⋅=∴=1FC∴=．CD5【点睛】本题考查相似三角形的综合题在ABC中PE与边BC20n n n得到ADE△CDF再判断出ADC△DCB得到ADE△CDF再判断出ADC△CDB△（3）由(2的结论得出ADE△CDF判断出再利用勾股定理计算出即可．【详解】解：n时即：BC=90∠=ACB∴∠+∠=90A ABC⊥CD AB90∴∠+=DCB∴∠=∠A∠=FDE90∴∠-∠-∠FDE ADC∠即ADE∴△CDFADE∠=∠90A DCB∴△CDBADC△AD AC∴=DC BC()290①∠=ACB∴∠+∠=90A ABC⊥CD ABDCB ABC∴∠+∠=90∴∠=∠A DCB∠=90FDE∴∠-∠-∠FDE ADC∠即ADE∴△CDFADEDE AD∴=DF DC∠=∠90A DCB∠∴△CDBADC△AD AC n∴==DC BC m②成立.如图90∠=ACB∴∠+∠=90A ABC又CD AB ⊥90DCB ∴∠+∠A DCB ∴∠=∠90FDE ∠=∠FDE ADC ∴∠+∠+∠即ADE ∠=∠ADE ∴△CDFDE AD DF DC∴= A DCB ∠=∠ 90∠ADC ∴△CDB △AD AC n DC BC m ∴== DE n DF m∴=．()3由()2有ADE △CDF 12DE AC DF BC = 12AD AE DE CD CF DF ∴== 2CF AE ∴=如图4图6 连接EF ．在Rt DEF △Rt CEF中根据勾股定理得CE=25如图5当Rt CEF中根据勾股定理得(2[25 CE+25CE=5如图6当Rt CEF 中 根据勾股定理得(2[2CE CE +25CE = 综上：2CE = 考点六 三角形内接矩形/正方形1．（2022·山东东营·中考真题）如图 在ABC 中 点F 、G 在BC 上 点E 、H 分别在AB 、AC 上 四边是ABC 的高．24△AEF ABC ∽AM 和AD 分别是△AEH ,AM EH DM EF AD BC==AM AD DM AD =-=1CD CB2 2x-=解得30。

小学四年级数学《图形的旋转》优秀教学教案小学四年级数学《图形的旋转》优秀教学教案一教学目标1、通过实例观察，了解一个简单的图形经过旋转制作复杂图形的过程。

2、能在方格纸上将简单图形旋转90°。

教学重难点：能在方格纸上将简单图形旋转90°。

活动过程：活动一：创设情景，解决问题(1)在生活中，有各种美丽的图案，但其中有很多图案是由简单的图形经过平移或旋转获得。

本活动所介绍的是简单图形经过旋转形成复杂图案的过程。

(2)活动的导入阶段，可以出示一组图案让学生欣赏。

然后将这些图案按一定的形状进行分解，并取出其中的一小部分放在方格子上进行旋转，逐步展示简单图形经过旋转后形成复杂图案的过程。

当然，每一次的旋转，都要学生说说是什么图形绕着哪一点旋转的?旋转的角度是多少?学生也可以用学具自己操作，以便学生体验旋转的过程。

活动二：实践练习在学生独立完成的基础上，进行全班的交流，老师进行指导。

第1题本题的练习主要认识图形的旋转是围绕哪个点旋转的问题，所以，这个活动可以先让学生独立尝试，然后再讨论旋转的中心点的问题。

活动时，每个学生都可以准备一些白纸和三角形。

为让学生体会到旋转前后图形的变化，先可以请学生沿着三角形的边把手上的三角形描绘下来，接着以这个三角形的一个顶点为中心进行旋转(旋转的角度可以是任意的)，最后说一说这个三角形是围绕哪一点旋转的。

第2题同样，本题也可以先请学生根据要求进行旋转操作，并把每次旋转过程中所得图形描绘下来。

接着讨论从图形1到图形2，从图形2到图形4等旋转的角度。

数学万花筒有条件的学校，能把本题旋转的过程用多媒体演示。

如果学生有兴趣，也可以让他们自己剪一个任意的三角形，接着一边旋转，一边把旋转后所得的图形描绘下来，这样每个学生都能制作一个美丽的图案。

第2题在练习时，可以先让学生用三角形在方格子上按要求进行操作，学生比较熟练后，再请他们按要求画出旋转的图形。

第3题同样，本题的练习也请学生自己摆一摆，在摆的过程中，让学生积累一些经验，然后再涂颜色。