集合(知识总结+真题汇总)教师版

集合总复习 1 集 合 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋ Z Q R

2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图

子集 集合A中所有元素都在集合B中 A⊆B或B⊇A

真子 集

集合A是集合B的子集，且

集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB或BA

集合 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 A⊆B且B⊆A⇔A＝B

3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集

符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形 表示

意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 4.空集 (1)空集是任何集合的子集，∅⊆A； (2)空集是任何非空集合的真子集，∅A； (3)空集只有一个子集，即它自身； (4)A∩∅＝∅，A∪∅＝A. 集合总复习 2 1．集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同吗？它们的元素分别是什么？ 提示：这4个集合互不相同，A是以方程x2＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函数y＝x2的定义域，即B＝R；C是函数y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x2上的点组成的集合． 2．集合∅，{0}，{∅}中有元素吗？∅与{0}是同一个集合吗？ 提示：∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅与{0}不是同一个集合． 3．若A中含有n个元素，则A有多少个子集？多少个真子集？ 提示：有2n个子集，2n－1个真子集．

1．(2013·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1} 解析：选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}． 2．(2013·重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( ) A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4} 解析：选D 因为A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}． 3．(教材习题改编)设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为( ) A．3 B．1 C．±1 D．1或3 解析：选D 因为A∩B＝5，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3. 4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________． 解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7. 5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．

考点一 集合的基本概念 [例1] (1)(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 ( C) A．1 B．3 C．5 D．9 (2)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是 (B)

解析：阴影部分是A∩∁RB.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁RB＝{x|x≥1}，所以A∩∁RB＝{x|1≤x＜2}． 集合总复习

3 A．0 B．1 C．2 D．3 (3)已知集合}6,4,2{A，若Aa，则Aa6,那么a的值为（B ） A.2 B.2或4 C.4 D.0

【互动探究】

若将本例(1)中的集合B更换为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有多少个元素？ 解：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0,1,2. 故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．

【方法规律】 解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．如本例(1)中集合B中的元素为实数x－y，在“互动探究”中，集合B中的元素为点(x，y)． (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．

1．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2 015＝________. 答案：－1或0

2．已知集合A＝x ax－1x－a＜0，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围是___13，12∪(2,3]

解析：因为2∈A，所以2a－12－a＜0，即(2a－1)(a－2)＞0，解得a＞2或a＜12.① 若3∈A，则3a－13－a＜0，即(3a－1)(a－3)＞0，解得a＞3或a＜13，所以3∉A时，13≤a≤3.② 由①②可知，实数a的取值范围为13，12∪(2,3]． 考点二 集合间的基本关系 [例2] (1)(2014·西安模拟)已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为( D ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．0或1或－1 (2)已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_(－∞，－4)∪(2，＋∞)．． [自主解答] (1)因为M∩N＝N，所以N⊆M.当a＝0时，N＝∅，M＝{0}，满足M∩N＝

N；当a≠0时，M＝{a}，N＝1a，所以1a＝a，即a＝±1.故实数a的值为0，±1. 集合总复习 4 (2)当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可 得 a＋3≥2a，a＋3＜－1或 a＋3≥2a，2a＞4，解得a＜－4或2＜a≤3.

图2 1．A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a≥2} B．{a|a＞2} C．{a|a≥1} D．{a|a≤1} 解析：选A 借助数轴可知a≥2，故选A. 2．若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________． 解析：①若A＝∅，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2； ②若1∈A，则12＋a＋1＝0，解得a＝－2，此时A＝{1}，符合题意；

③若2∈A，则22＋2a＋1＝0，解得a＝－52，此时A＝2，12，不合题意． 综上所述，实数a的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2)

高频考点 考点三 集合的基本运算 [例3] (1)(2012·山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( ) A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} (2)(2013·浙江高考)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( ) A．(－2,1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞) (3)(2010·辽宁高考)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} (4)(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________. [解答: (1)由题意知∁UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}． (2)∁RS＝{x|x≤－2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，故(∁RS)∪T＝{x|x≤1}． (3)法一：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故选D. 集合总复习 5 法二：如图所示，得A＝{3,9}，故选D.

(4)A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}， 由A∩B＝(－1，n)，可知m＜1，则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.

1．(2014·抚州模拟)已知集合M＝{－1，0,1}，N＝{0,1,2}，则如图所示的Venn图中的阴影部分所表示的合为( ) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{－1,2} D．{－1,0,1,2} 解析：选C 由图可知，阴影部分为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}，又M∪N＝{－1,0,1,2}，M∩N＝{0,1}，所以{x|x∈M∪N且x∉M∩N}＝{－1,2}． 2．(2014·厦门模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B∩A＝{3}，B∪A＝{1,2,3,4,5}，则集合B的子集的个数为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C 由题意知B＝{3,4,5}，集合B含有3个元素，则其子集个数为23＝8. 3．(2014·日照模拟)设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )

A.0，34 B.34，43 C.34，＋∞ D．(1，＋∞) 解析：选B A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a＞0，f(－3)＝6a＋8＞0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这

个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)＞0，即 4－4a－1≤0，9－6a－1＞0，所以 a≥34，a＜43，即34≤a＜43.

以集合为载体的创新型问题 1．以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力． 2．解决此类问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，将其转化