绝对值化简(哈佛达教师版)

内容基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，中考要求例题精讲绝 对 值 化 简对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．板块一：绝对值代数意义及化简【例1】 （2级）⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b⑶ 下列式子中正确的是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥-⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值范围．【例2】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值 【例3】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围【巩固】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【例4】 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【巩固】 已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【例5】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． 【例6】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【例7】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【巩固】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例8】 （6级）（1）（第10届希望杯2试）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）（第12届希望杯2试）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<（3）（第7届希望杯2试）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．a-ba+b这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【巩固】 （8级）（第9届希望杯1试）若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】 211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->，222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【补充】（8级）若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】 法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++- 135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++- 111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重 要作用．【例9】 （10级）设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值 【解析】 因为020b x <≤≤，所以0200200x b x x b ----<≥，≤，，进而可以得到： 2220A x b x x x =--=--≥≥，所以A 的最小值为20-【例10】 （8级）若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【巩固】 （8级）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围． 【解析】 要使式子的值为常数，x 得相消完，当10041005x ≤≤时，满足题意．【例11】 （2级）数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--【解析】 ()()()2a b b a b a a a b b a b a b ++-+--=-++-+--=．【巩固】 （2级）实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【解析】 由题意可知：0000a c b a b a c <->+<-<，，，，所以原式2c a =-【巩固】 （2级）若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【解析】 若a b <-且0ab>，0,0a b <<，0,0a b ab +<>2a b a b ab a b a b ab ab a -+++=-+--+=-【例12】 （8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【例13】 （6级）如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--. 【解析】 1010101020x m x x m x m x m x x -+-+--=-+-++-=-.【巩固】 （2级）化简：⑴3x -； ⑵12x x +++【解析】 ⑴原式()()3333x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥；⑵原式()()()232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥【巩固】 （6级）若a b <，求15b a a b -+---的值. 【解析】 15154b a a b b a a b -+---=-++--=-.【巩固】 （8级）（第7届希望杯2试）若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．【解析】 0a <，0ab <，可得：0b >，所以0b a ->，0a b -<，15154b a a b b a a b -+---=-++--=-．【巩固】 （2级）已知15x <≤，化简15x x -+-【解析】 因为15x <≤，所以1050x x --<≤，，原式154x x =-+-=【例14】 （8级）已知3x <-，化简321x +-+.【解析】 当3x <-时，3213213333x x x x x x +-+=+++=++=--=-=-.【巩固】 （8级）（第16届希望杯培训试题）已知112x x ++-=，化简421x -+-． 【解析】 由112x x ++-=的几何意义，我们容易判断出11x -≤≤．所以421x -+-421434311x x x x x =-+-=--=-+=+=+．【例15】 （8级）若0x <，化简23x x x x---．【解析】 223333x x x x xx x xx x----===----+．【巩固】 （8级）（四中）已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a ba b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++--∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、【例16】 （8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知a b c d ，，，是有理数，916a b c d --≤，≤，且25a b c d --+=，求b a d c ---的值【解析】 因916a b c d --≤，≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，所以916a b c d -=-=，，故原式7=-板块二：关于a a的探讨应用【例17】 （6级）已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例18】 （10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知a b c abc x a b c abc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值 【解析】 4或0或4-【巩固】 （10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=--【巩固】 （2级）若0a >，则_____aa=；若0a <，则_____a a =.【解析】 1；1-.重要结论一定要记得.【巩固】 （6级）当3m ≠-时，化简33m m ++【解析】 3m ≠-，30m +≠，当3m >-，即30m +>时，33m m +=+，所以313m m +=+； 当3m <-，即30m +<时，3(3)m m +=-+，所以313m m +=-+.【例19】 （8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．3- D ．4-【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取0.5a =, 1.5b =-代入计算即可．【巩固】 （2级）下列可能正确的是（ ）A ．1a ba b+= B ．2a b c a b c ++=C ．3c da b a b c d+++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd +++++++= 【解析】 选D ．排除法比较好或特殊值法1，1，1，1-．【巩固】 （6级）如果20a b +=，则12a ab b-+-等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 B【例20】 （8级）如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3 【解析】 易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例21】 （8级）已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc++的值． 【解析】 ∵0abc ≠，∴a 、b 、c 三个数都不为零．若a 、b 、c 三个数都是正数，则ab 、ac 、bc 也都是正数，故原式值为3． 若a 、b 、c 中两正、一负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若a 、b 、c 中一正、两负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若 a 、b 、c 中三负，则ab 、ac 、bc 中三正，故原式值为3．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，求a b ca b c ++.【解析】 若a ，b ，c ，全为正数，则原式3=；若a ，b ，c ，两正一负，则原式1=；若a ，b ，c ，一正两负，则原式1=-；若a ，b ，c ，全为负数，则原式3=-.【例22】 （6级）（第13届希望杯1试）如果20a b +=，求12a ab b-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a ab a a a===⋅--⋅，122a a a b a a ==-⋅- 若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b cabc++. 【解析】 根据条件可得a ，b ，c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1-【例23】 （8级）a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c aa b b c c a ++的值等于多少？ 【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a b b c c a a b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-．综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【巩固】 （10级）（海口市竞赛题）三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【解析】 a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【巩固】 (8级)（第13届希望杯培训试题）如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值． 【解析】 由0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，两两相加可得：0a >，0b >，0c >，所以原式结果为1．若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求1b =等于多少？从总体出发：2008()1aa =，所以原式1111=-+=．【例24】 （8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______． 【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b ca b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例25】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？ 【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【巩固】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设ab cx b c a c a b =+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【巩固】 （8级）已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a -当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例26】 （8级）（第18届希望杯2试）若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnp mnp 的值．【解析】 由1m n p m n p++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-， 222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【巩固】 （6级）已知有理数a b c ，，满足1a b c a b c ++=，则abcabc=（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定【解析】 提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即0abc <【巩固】 （8级）有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd =-，求a b c da b c d+++的值． 【解析】由1abcdabcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数： 若含有1个负数，则2a b c d a b c d +++=；若含有3个负数，则2a b c da b c d+++=-．【例27】 （6级）已知0ab ≠，求a ba b +的值【解析】 ⑴若a b ，异号，则0a bab += ⑵若a b ，都是正数，则2a ba b += ⑶若a b ，都是负数，则2a ba b+=-【巩固】 （6级）已知0ab ≠，求a b ab--的值．【解析】 分类讨论：当0a >，0b >时，110a b ab --=-=．当0a >，0b <时，1(1)2a b a b --=--=．当0a <，0b >时，112abab--=--=-．当0a <，0b <时，1(1)0abab--=---=．综上所述，a b ab--的值为2-，0，2．【例28】 （6级）若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值 【解析】 ⑴当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++= ⑵当a b c ，，都是负数时，原式3=- ⑶当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=- ⑷当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-【巩固】 （6级）（第16届希望杯培训试题）若0abc <，求a b ca b c+-的值． 【解析】 由0abc <可得，a 、b 、c 中有3个负数或1个负数，当a 、b 、c 中有3个负数时，原式11(1)1=----=-；当a 、b 中有1个是负数时，原式1111=-+-=-； 当c 是负数时，原式11(1)3=+--=．板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例29】 （4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【解析】 ⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式 ()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥【例30】 （6级）求12m m m +-+-的值．【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例31】 （4级）化简：212x x ---【解析】 由题意可知：零点为102x x ==，当12x <时，原式1x =--当122x <≤时，原式33x =- 当2x ≥时，原式1x =+【巩固】 （4级）(2005年淮安市中考题)化简523x x ++-． 【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段． 当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【巩固】 （6级）(北京市中考模拟题)化简：121x x --++.【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段． ⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【例32】 （6级）（选讲）（北京市中考题）已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5； 当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．【巩固】 （8级）（第10届希望杯2试）已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【巩固】 （6级）如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-【巩固】 （6级）（2001年大同市中考题）已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当，79x =时两者的距离 差最小为329-，即()m i n 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即m a x (13)4x x --+=． 法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x --≤≤时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．练习 1． （2级）若ab ab <，则下列结论正确的是 ( ) A. 00a b <<， B. 00a b ><， C. 00a b <>， D. 0ab < 【解析】 答案BC 不完善，选择D ．练习 2． （2级）(人大附期中考试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c++--+的值.【解析】 原式()()()0a b a c b c =-++-++=练习 3． （6级）已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值. 【解析】 由0,0x z xy <<>可得：0y z <<，又y z x >>，可得：y x z <<； 原式0x z y z x y =+---+=.练习 4． （8级）（第13届希望杯培训试题）若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【解析】 因为200122002x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=．课后练习练习 5． （6级）（2006年七台河市中考题）设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.【解析】 2020(20)(20)40y x b x x b x b x x b x =-+-+--=------=-，则20x =时，y 有最小值为20.练习 6． （4级）若0a <，化简a a --. 【解析】 22a a a a a a --=+==-.练习 7． （6级）若0a <，试化简233a a a a--．【解析】 2323553443a a a a a a a a a a-+===-----．练习 8． （6级）若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？ 【解析】 要使245134x x x +-+-+的值恒为常数，那么须使450x ->，130x -<，即1435x <<，原式2451342453147x x x x x x =+-+-+=+-+-+=.练习 9． （8级）（第6届希望杯2试）a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值．【解析】 从图中可知a b c <<且0a <，0b <，0c >，所以0a b -<，0b c -<，0c a ->，0ab >，0ac <， 所以0ab ac ->，原式(1)(1)112=---++=．练习 10． （8级）若0a b c ++=，0abc >，则b c c a a ba b c+++++= ． ∵0a b c ++=，0abc >，∴a 、b 、c 中一正二负，∴1b c c a a b a b ca b c a b c+++---++=++=． 练习 11． （6级）求15y x x =--+的最大值和最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得答案；法2：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论：当5x ≤-时，15156y x x x x =--+=-++=； 当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．练习 12． （6级）（第2届希望杯2试）如果12x <<，求代数式2121x x xx x x ---+--的值．【解析】 当12x <<时，0x >，10x ->，20x -<，原式21111121x x xx x x--=++=-++=--．。