高二上学期期中考试(数学理)

2023-2024学年上海市黄浦区高二数学上学期期中考试卷2023-11（试卷总分为100分，考试时间为120分钟.）一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1．已知一个球的半径为3，则这个球的表面积为.2．若平面l αβ= ，直线a α⊂，直线,b a b M β⊂⋂=，则点M 与l 的位置关系为．3．若向量()4,2,1a =-与向量()2,,b x y =共线，则x y -=.4．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11B D 与CD 所成角的大小是.5．如图所示，'''A B O V 是利用斜二测画法画出的ABO 的直观图，已知'''A B y P 轴，''4O B =，且ABO 的面积为16，过A '作'''AC x ⊥轴，则''A C 的长为．6．已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为16π，则该圆柱的体积为.7．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ＝1，则侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的大小是．8．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，122AB AA ==，N 为11A C 的中点，M 为线段1AA 上的点.则MN MB+的最小值为9．已知向量(2,3,0)a = ，(1,0,3)b = ,则向量a 在向量b方向上投影向量的坐标为．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为.11．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且11π3A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，则侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为．12．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在线段1BC 上运动,有下列判断:①平面1PB D ⊥平面1ACD ;②1//A P 平面1ACD ;③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦;④三棱锥1D APC -的体积不变.其中,正确的是(把所有正确判断的序号都填上).二、单选题（本大题共4题，每题4分，满分16分）13．若球的表面积扩大到原来的4倍，那么该球的体积扩大到原来的（）A ．64B ．32C ．16D ．814．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，AB BC =，1AA AC ==E 为棱11A B 的中点，点F 是棱BC 上的一点，且3BF FC =，则直线AE 与1C F所成角的余弦值为（）A ．1699B ．3299C ．99D ．9915．阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面a 的方程为()()()0000a x xb y yc z z -+-+-=；过点()000,,P x y z 且一个方向向量为(,,)(0)d u v w uvw =≠的直线l 的方程为000x x y y z z u v w ---==.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面a 的方程为3570x y z -+-=，直线l 的方向向量为()3,1,2m =- ，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,P Q 分别为棱11C D ，1B C 上的动点，则四面体PQAD 的体积最大值为（）A ．16B ．14C ．13D ．12三、解答题（本大题共5题，满分48分）17．已知空间中的三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)P M N ---，a PM = ，b PN = .(1)求PMN 的面积；(2)当ka b + 与2ka b -的夹角为钝角时，求k 的范围．18．已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =．求：⑴异面直线BD 与1AB 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；⑵四面体11AB D C的体积．19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD 与平面CBD 所成二面角为直角，⊥AE 平面ABD ，且AE =(1)求证：直线EC 与平面ABD 平行；(2)求点C 到平面BED 的距离.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．(1)证明：AB PD ⊥；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD ，若存在，求出线段AM 的长，若不存在，说明理由．21．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥-P ABC 体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．1．36π【分析】根据球的表面积公式求出答案.【详解】设3r =，则24π6π3r =，故这个球的表面积为36π.故答案为：36π2．M l∈【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可.【详解】因为a b M = ，所以M ∈直线a ，M ∈直线b ，因为直线a α⊂，直线b β⊂，所以M ∈平面α，M ∈平面β，又平面l αβ= ，所以M l ∈.故答案为：M l ∈.3．12-##0.5-【分析】根据向量共线基本定理，可设,R a b λλ=∈，列出方程组，即可求得x 和y 的值，进而求出x y-的值.【详解】由向量()4,2,1a =-与向量()2,,b x y =平行，可设,R a b λλ=∈ ，则4221x y λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以11122x y -=-+=-.故答案为：12-.4．π4【分析】根据异面直线所成角定义，平移直线CD 到11C D 使其与11B D 相交，解三角形即可．【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为11CD C D ，所以111C D B ∠为异面直线为11B D 与CD 所成角，又因为111C D B 是以1C ∠为直角的等腰直角三角形，所以111π=4C D B ∠，即异面直线11B D 与CD 所成角为π4．故答案为：π4．5．22【分析】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到A B O '''的面积，进而得到A C ''.【详解】因为16ABO S =V ，'''24A B O ABOS S =V V ，''4O B =所以'''''''1422A B O S O B AC ==⨯⨯V ，即''2AC =故答案为：2.6．16π【分析】设圆柱底面的半径为R ，高为h ，根据题意，由2216h RRh ππ=⎧⎨=⎩求解.【详解】解：设圆柱底面的半径为R ，高为h ，则2216h R Rh ππ=⎧⎨=⎩，解得24R h =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积2π16πV R h ==.故选：16π7．45°【分析】由题意可证得CD ⊥平面PAD ，从而∠PDA 为侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，求解即可.【详解】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，所以AD ⊥CD ，又因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为PA∩AD ＝A ，PA 、AD 在面PAD 内，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD ，于是∠PDA 为侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂底面ABCD ，PA ⊥AD ，又因为PA ＝1，AD ＝1，所以∠PDA ＝45°，于是侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的大小为45°．故答案为：45°．8【分析】将侧面11ABB A 沿1A A展开，使得侧面11ABB A 与侧面11ACC A 在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案.【详解】解：将侧面11ABB A 沿1A A展开，使得侧面11ABB A 与侧面11ACC A 在同一平面内，如图，连接BN 交1AA 于M ，则MN MB+的最小值为此时的BN，BN =，∴MN MB +.9．13(,0,)55【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】向量a 在向量b 方向上投影向量为2113cos ,,0,10555b a b b a a b b b b b b ⋅⎛⎫==== ⎪⎝⎭，故答案为：13,0,55⎛⎫⎪⎝⎭10．【分析】利用平面的性质作出截面1AFC E，然后求解面积即可.【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，由EG AB ∥且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则AE BG ∥且AE BG =，又1BG C F∥且1BG C F=，得1AE C F且1AE C F=，则1,,,A E C F共面，故平面1AC E截该正方体所得的截面为1AFC E.又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以1111,23,22AF FC EC EA AC EF EF AC ==⊥===，故1AFC E 的面积为12223262S =⨯=故答案为：2611．3【分析】运用平行六面体的性质和三余弦定理即可求得.【详解】如图，连接,AC 作1A O ⊥平面ABCD 于点O ,1A E AB⊥于点E ，1A F AD⊥于点F ,连接,,OE OF 则易得：AB ⊥平面1,AOE AD ⊥平面1AOF ，故有，,AB OE AD OF ⊥⊥,又由11A AB A AD∠=∠可得：11,A AE A AF ≅ 从而有,AE AF =因底面ABCD 为菱形，故,OAE OAF ≅ 可得：=,OE OF 故点O 必在直线AC 上,且侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为1.A AO ∠在1Rt A OA 中，11cos ,AO A AO AA ∠=在Rt AOE △中，cos ,AE OAE AO ∠=在1Rt A AE △中，11cos ,AE A AE AA ∠=故可得：11cos cos cos ,A AO OAE A AE ∠⋅∠=∠而πcos cos6OAE ∠==解得112cos ,332A AO ∠==故得：1A AO ∠=故答案为：12．①②④【解析】根据线面关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于①, 在正方体中,1B D ⊥平面1ACD ,1B D ⊂平面1PB D,∴平面1PB D ⊥平面1ACD ,故①正确;对于②,连接11,A B A C,如图:容易证明平面11A BC //平面1ACD ,又 1A P ⊂平面11A BC,∴AP ∥平面1ACD ,故②正确;对于③,1BC ∥1AD ,∴异面直线1A P 与1AD 所成的角就是直线AP 与1BC 所成的角,在11A BC V 中,易知所求角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故③错误;对于④,11D APC C AD PV V --= 点C 到平面1AD P 的距离不变,且1AD P △的面积不变,∴三棱锥1D APC -的体积不变,故④正确.综上所述,正确的是①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题主要考查线线、线面、面面的平行与垂直关系,异面直线所成的角,三棱锥的体积等知识,解题关键是掌握正方体的特征和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于中档题.13．D【分析】由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方.【详解】设扩大前后球半径分别为12,r r ，由表面积之比为22211122222444r r r r r r ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得122r r =，则体积之比为333131133222432843r r r r r r ππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.故选：D.14．D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE 与1C F所成角的余弦值.【详解】由AB BC ⊥，AB BC =，AC =2AB BC ==，以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(12,0,C ，()0,2,0A，(0,1,E ，所以112FC ⎛= ⎝，(0,1,AE =- ，所以1cos ,FC AE ==，即直线AE 与1C F 所成角的余弦值为163399.故选：D.15．A【分析】利用给定信息，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得.【详解】因为平面a 的方程为3570x y z -+-=，则平面a 的法向量可取()3,5,1n =-r，而直线l 的方向向量为()3,1,2m =-，所以直线l 与平面a所成角的正弦值为||sin |cos ,|35||||m n m n m n θ⋅=〈〉==.故选：A 16．A【分析】作平行辅助线，借助线面平行关系，将所求几何体体积Q PADV -转化为G PADV -，再利用等体积法转化为A PGDV -即可运算求解.【详解】过点Q 作11QG B C ∥交1CC 于G ，连接,,PG GD DP ，又11B C BC AD ∥∥QG AD ∴∥，又QG ⊄平面PAD ，且AD ⊂平面PAD ，//QG ∴平面PAD ，则Q PAD G PAD A PGDV V V ---==，设CG t =，1PD s =，则[],0,1t s ∈，11111(1)(1)(1)2222PGD S s t s t st =-----=-△，故四面体PQAD 的体积()1111(1)13326Q PAD A PGD PGD V V S AD st st --==⋅=⨯-=- ，当0st =时，其最大值为16.故选：A.17．(1)32；(2)5,22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【分析】（1）应用向量坐标表示有(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =- ，由向量夹角的坐标运算可得10cos ,10a b <>= ，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；（2）向量坐标表示得(1,,2)ka b k k +=- ，()22,,4ka b k k -=+- ，它们的夹角θ为钝角，即cos 0θ<，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.【详解】（1）由题设(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-，则cos ,||||a b a b a b ⋅<>===，所以cos 10MPN ∠=，故在PMN中sin 10MPN ∠=，故PMN的面积为131032102.（2）由（1）知：(1,,2)ka b k k +=- ，()22,,4ka b k k -=+- ，且它们夹角θ为钝角，所以2cos 0θ=<，即()()21280k k k -++-<，所以()()22102520k k k k +-=+-<，可得522k -<<，当它们反向共线，即(2)ka b ka b λ+=-且0λ<时，有1(2)24k k k k λλλ-=+⎧⎪=⎨⎪=-⎩，无解，综上，5(,2)2k ∈-.18．（1）（2）23【详解】解：⑴连1111,,,BD AB B D AD ，∵1111//,BD B D AB AD =，∴异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，2221111111cos 2AB B D AD AB B Dθ+-==⨯∴异面直线BD 与1AB 所成角为．⑵连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=．19．(1)证明见解析(2)1d =【分析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，证明//EC 平面ABD 即可得解；（2）在三棱锥C BED -中，利用等体积法即可求出点C 到平面BED 的距离.【详解】（1）证明：取BD 的中点F ，连接CF 、AF，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD 与平面CBD 所成二面角为直角，即平面ABD ⊥平面CBD ，又平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD，且CF =因⊥AE 平面ABD，且AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ；（2）解：由（1）可得AF ⊥平面,//,CBD EC AF EC AF ==于是得EC ⊥平面CBD，EB ED ===则等腰BED 底边BD上的高2h =，12BED S BD h =⋅= 而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BEDE BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC⋅=⋅ ，即2=1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1.20．(1)证明见解析(2)存在，AM =【分析】（1）由线面垂直得线线垂直PA AB ⊥，再由底面上的AB AD ⊥，可得AB ⊥平面ADP ，从而证得线线垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法表示线面垂直，求得AM ，得其长度．【详解】（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，∴PA AB ⊥，PA AD ⊥.在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，2ABC BAD π∠=∠=.又AD ⊂面,ADP AP ⊂面ADP ，AD AP A = ,∴AB ⊥平面ADP ，又PD ⊂面ADP ，∴AB PD ⊥；（2）由题意及（1）得，存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD .在四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC ==，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示：根据题意可得：()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ，∴()()()1,1,2,1,1,0,0,2,2PC CD PD =-=-=-.根据点M 在线段CP 上，∴PM PC∥.设(,,2)PM t PC t t t ==- ，则(,,22)AM AP PM t t t =+=-+ ，由面AM PCD ⊥得()00022220AM CD t t AM PD t t ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+--+=⎪⎩，得23t =，∴222,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∴AM ==.21．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）2+．【详解】（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB = ，所以PB ==同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C B 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C 'P ='B ，所以C O '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而222C C O '=OE +E '=，亦即C E +OE 的最小值为262．考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．。

吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1.命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A. 00,sin 10x R x ∃∈+< B. ,sin 10x R x ∀∈+< C. 00,sin 10x R x ∃∈+≥ D. ,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =则1x ≠”B. p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题之间的关系逐个判断即可.【详解】对A, 命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x ≠则1x ≠”,故A 错误 对B, p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个假命题,故B 错误.对C,命题“若,,a b c 成等比数列,则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =,则,,a b c 成等比数列”,若,,a b c 均为0则,,a b c 不成等比数列,故C 错误.对D, 命题“若x y =,则sin sin x y =”为真命题,所以它的逆否命题也为真,故D 正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,属于基础题型. 3.等差数列{}n a 中，若12332a a a ++=，111213118a a a ++=，则410a a +等于（ ）A. 45B. 75C. 50D. 60【答案】C 【解析】 分析：详解：根据等差数列中等差中项的性质1232332a a a a ++==111213123118a a a a ++==因为21232118503a a ++== 所以4107212250a a a a a +==+= 所以选C点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简单题。

银川一中2021/2022学年度(上)高二期中考试数学试卷(理科)命题人：尹秀香 尹向阳一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．将一个骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（ ）A ． 19B ．16C ．14D ．132. 一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别为( )A. 57.2 3.6B. 57.2 56.4C. 62.8 63.6D. 62.8 3.63. 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中消灭乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为( ) A. 0.09B. 0.98C. 0.97D. 0.964．已知命题xx x p 32,)0,(:<-∞∈∃；命题)2,0(:π∈∀x q ，x x sin tan >．则下列命题为真命题的是 ( ）A ． q p ∧B ． )(q p ⌝∨C ．)(q p ⌝∧D ．q p ∧⌝)(5．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．假如线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ） A ．±34B ．±32C ．±22D ．±346．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分也不必要条件7. 方程2|y|-1=1(1)x --表示的曲线是( )A . 一个椭圆 B. 一个圆 C. 两个圆 D. 两个半圆8．某学校对高二班级一次考试进行抽样分析. 右图是依据抽样分析后的考试成果绘制 的频率分布直方图,其中抽样成果的范围 是[96,106]，样本数据分组为[96，98），[98,100)，[100，102)，[102,104),[ 104,106]. 已知样本中成果小于100分的人数是36，则样本中成果大于或等于98分且小于104 分的人数是（ ） A. 90 B. 75C. 60D. 459. 椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若21F F 是|AF 1|,|F 1B|的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．55C ．21D ．210. 阅读程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( )A. 15B. 105C. 245D. 94511．已知椭圆1251622=+y x 的焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上一点，若连接21,F F ，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是（ ）A. 3B. 516C.53或165 D. 16312．如图，点A 为椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E 的离心率为（ ）A. 225B. 23 C. 235 D.223二、填空题(每小题5分，共20分)13. 一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少消灭一次正面对上的概率是 14．若不等式a x <-|1||成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是__________．15．短轴长为25，离心率e=32的椭圆的两焦点为21,F F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆周长为_____________。

2021-2022学年成都石室中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，3210x x -+≤ B ．x R ∀∈，3210x x -+> C ．0x R ∃∈，320010x x -+≤ D ．不存在0x R ∈，320010x x -+≤【答案】A【解析】根据特称命题的否定，直接得出结果.【详解】命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是“x R ∀∈，3210x x -+≤”.故选：A.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.2．若1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 、b 的夹角为（ ）A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】B【分析】利用平面向量垂直可得出()0a a b ⋅-=，求出cos ,a b <>的值，利用平面向量夹角的取值范围可求得向量a 、b 的夹角.【详解】由题意可得()22cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅<>=-<>=， 可得1cos ,2a b <>=，因为0,180a b ≤<>≤，故,60a b <>=.故选：B.3．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为 A ．8 B ．2 C ．12D ．18【答案】D【分析】抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得 p ＝18，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果．【详解】解：抛物线24x y =，y 2＝14x 的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得p ＝18，故选D ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p 是解题的关键．4．{}11,A x x x R =-≥∈，{}2log 1,B x x x R =>∈，则“x B ∈”是“x A ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式可得集合，进而可得解.【详解】解不等式可得{}{11,0A x x x R x x =-≥∈=≤或}2x ≥， {}{}2log 1,2B x x x R x x =>∈=>，故B A ⊆，所以“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件， 故选：A.5．已知命题p ：0x ∀>，44x x+>，命题q ：()00,x ∃∈+∞，0122x =，则下列判断正确的是（ ） A ．p ⌝是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ⌝∨是真命题【答案】D【分析】根据均值不等式得到p 为假命题，根据指数函数单调性得到q 为假命题，对比选项得到答案. 【详解】0x >时，4424x x x x+≥⋅=，当2x =时等号成立，所以44x x +≥，所以p 为假命题；p ⌝为真命题，()p q ∧⌝为假命题，故A 和C 错误. 当0x >时，0221x >=，故q 为假命题，则()p q ⌝∧是假命题. 所以B 错误，D 正确. 故选：D.6．函数()()2sin ,0,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ．2，3π-B ．2，6π-C ．4，6π-D ．4，3π 【答案】A【分析】根据三角函数图象可得周期与对称轴，进而可得参数值. 【详解】由已知得35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故T π=，又0>ω，则222T ππωπ===， 即()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数经过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即52sin 2=212πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又2πϕ<，故3πϕ=-，故选：A.7．若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．12-D ．110【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22y x z =-，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y 轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的可行域，如下图所示：目标函数12z x y =-化为22y x z =-， 由12310x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，设(1,1)A -，当直线22y x z =-过A 点时， 12z x y =-取得最小值为32-. 故选：B.8．以双曲线221916x y -=的焦点为椭圆C 的长轴顶点，且过点5794⎫⎪⎪⎝⎭的椭圆C 的方程为（ ）A ．2212516x y +=B ．221259x y +=C ．221169x y +=D ．221925x y +=【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b +=>>，代入已知点，求解即可得到椭圆的标准方程. 【详解】解：双曲线221916x y -=的焦点为()()5,0,5,0-， 设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则5a =，又椭圆过点5794⎫⎪⎪⎝⎭，所以2222579415b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得3b =， 所以椭圆的标准方程为221259x y +=. 故选：B.9．已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A 2B 3C 2D 3【答案】A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积. 【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，2AB ∴=则ABC 2，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ， 则2222122d ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1112211332212O ABC ABCV Sd -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.10．以过圆2210x y x +=内一点()5,3的最短弦长为等差数列{}n a 的首项1a ，最长弦长为其末项n a ，若等差数列{}n a 的公差11,32d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则项数n 的取值不可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】由圆的弦长公式，求得18a =，10n a =，结合等差数列的公式，求得21n d=+，进而求得实数n 的范围，结合选项，即可求解.【详解】由题意，将圆2210x y x +=化为22(5)25x y -+=，可得圆心坐标为(5,0)C ，半径=5r ，设(5,3)A ，可得3AC =，由圆的弦长公式，可得2212538a =-=，10n a =， 设等差数列的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，即8(1)10n d +-=，所以21n d=+， 因为1132d ≤≤，所以2517d ≤+≤，即57n ≤≤，结合选项，可得n 的取值不可能是选项A. 故选：A.11．如图，在ABC 中，30CAB CBA ︒∠=∠=，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点、且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的乘积为（ ）A ．1B 31C ．2D 31【答案】C【分析】先设2AB c =，由条件分别得到AE 、BD ，BE 、AD 的值， 根据椭圆焦点和所过的点，由椭圆定义得到2a BD AD =+，求出a ， 代入离心率公式求解即可；根据双曲线焦点和所过的点，由双曲线定义得到2a AD BD =-， 求出a ，代入离心率公式求解即可.【详解】根据题意，设2AB c =，则AE BD c ==，3BE AD c ==， 所以在以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆中，23a BD AD c c =+=，)312c a =，即椭圆离心率31ce a==； 所以在以A 、B 为焦点，且过D 、E 的双曲线中，23a AD BD c c =-=-，)312c a =，即双曲线离心率31==ce a， 所以椭圆与双曲线的离心率的乘积为：))31312⨯=，故选：C.12．点P 是直线l ：2x =-上一动点，点()2,0F ，点Q 为PF 的中点，点M 满足MQ ⊥PF ，()MP OF R λλ=∈，过点M 作圆()2251x y -+=的切线，切点为S ，当MS 取得最小值时，则直线MF 的方程为（ ） A ．()2y x =±- B ．)22y x =±- C ．)32y x =±- D ．)222y x =±-【答案】D【分析】由题意首先求出M 的轨迹方程，过点M 作圆22(5)1x y -+=的切线，切点为S ，连接MS ，NS ，MN ，利用勾股定理得到2||||1MS MN -||MN 最小时，||MS 有最小值，设(),M x y ，利用两点的距离公式表示出MN ，即可求出MN 的最小值，从而求出M 的坐标，即可求出MF 的方程．【详解】解：依题意，因为MP OF λ=，所以向量MP 与向量OF 共线， 所以MP 与x 轴平行，故||MP 即为点M 到直线2x =-的距离d ， 又因为M 在线段PF 的垂直平分线上，所以||||MP MF d ==，所以M 点在以(2,0)F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线28y x =上，设圆22(5)1x y -+=的圆心为()5,0N ，过点M 作圆22(5)1x y -+=的切线，切点为S ，连接MS ，NS ，MN ， 则MNS 为直角三角形，且90MSN ∠=︒， 所以222||||||MS NS MN +=， 所以2||||1MS MN =-，当||MN 最小时，||MS 有最小值， 设(),M x y ，则()()22222510258225124MN x y x x x x x x =-+=-++=-+=-+，所以当1x =时min 26MN =，所以281y =⨯，解得22y =±，所以()1,22M 或()1,22M -，当()1,22M 时222212MF k ==--，此时MF 为()222y x =--；当()1,22M -时222212MF k -==-，此时MF 为()222y x =-；故选：D二、填空题13．在△4BC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin cos 2a A B b A a ⋅+，则ba=______． 2【分析】根据正弦定理化简后计算【详解】由正弦定理得2sin sin sin sin cos 2A A B B A A +，即sin 2B A 故sin 2sin B bA a== 214．若直线2y x =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为___________. 【答案】(5⎤⎦【解析】由直线2y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>没有公共点，分析出2b a ≤，再求e 的范围.【详解】∵双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程：b y x a =±，且直线2y x =与双曲线没有公共点， ∴2ba≤ 即2215b e a =+又1e >， ∴15e <≤故答案为：(5⎤⎦【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．已知斜率为k 的直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点()1,1M --满足0MA MB ⋅=，则AB =______． 【答案】5【分析】求出抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为(1,0)F ．直线l 的方程为(1)y k x =-．利用0MA MB ⋅=，说明M 在以AB 为直径的圆上．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用平方差法求出斜率，设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，推出02y k=．通过点0(Q x ，0)y 在直线l 上，结合点222(1,)Q k k+是以AB 为直径的圆的圆心．转化求解直线的斜率，求解弦长即可． 【详解】解：由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为(1,0)F ．因为直线l 过抛物线的焦点(1,0)F ，所以直线l 的方程为(1)y k x =-． 因为0MA MB ⋅=，所以M 在以AB 为直径的圆上．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+．设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，则02y k=．因为点0(Q x ，0)y 在直线l 上， 所以0221x k=+，所以点222(1,)Q k k +是以AB 为直径的圆的圆心． 由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+， 因为2222222||(2)(1)QM r k k =+++=，所以22222222(2)(1)(2)k k k+++=+，解得2k =-， 所以弦长222||22(2)2(2)54AB r k ==+=+=． 故答案为：5．16．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： （A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切; （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切. 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）. 【答案】（B ）（D ）【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，然后求出圆心到已知直线的距离d ，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数与半径r 比较大小即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即可．【详解】由题意可得圆心坐标为(cos ,sin )θθ-，圆M 的半径为1，且圆心到直线l ：y kx =的距离为222cos sin 1sin()sin()111k k d kkθθθϕθϕ--++==+≤++（其中2sin 1k ϕ=+2cos 1k ϕ=+）.∴直线l 与圆M 有公共点，且对于任意实数k ，必存在实数θ，使直线l 与圆M 相切. 故答案为（B ）（D ）.【点睛】本题考查考查直线与圆的位置关系的应用，要求学生会利用圆心到直线的距离与半径比较大小来判断直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题． 三、解答题17．已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135xy m m +=--表示双曲线.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()3,4；（2）5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）当1a =时，求得不等式22540m am a -+<的解，再由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可求得对应的实数m 的取值范围，由p q ∧可知p 、q 均为真命题，由此可求得实数m 的取值范围；（2）求得p ⌝和q ⌝中对应的m 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】命题p ：由题得()()40m a m a --<，又0a >，解得4a m a <<. 对于命题q ，由于方程22135x y m m +=--表示双曲线，则()()350m m --<，解得35m <<. （1）若1a =，命题p 为真时，14m <<.当p q ∧为真时，则p 真且q 真，1435m m <<⎧∴⎨<<⎩，34m ∴<<，因此，实数m 的取值范围是()3,4；（2）:p m a ⌝≤或4m a ≥，:3q m ⌝≤或5m ≥.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则{m m a ≤或}4m a ≥{3m m ≤或}5m ≥，345a a ≤⎧∴⎨≥⎩，解得534a ≤≤.当54a =时，则有54m m ⎧≤⎨⎩或}5m ≥{3m m ≤或}5m ≥，合乎题意； 当3a =时，则有{3m m ≤或}12m ≥{3m m ≤或}5m ≥，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查计算能力，属于中等题.18．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=. （Ⅰ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析（2）121n n S n =-⋅+（） 【详解】分析：（Ⅰ）利用定义证明数列{}n b 为等比数列.( Ⅱ)先求出12n n a n -=⋅，再利用错位相减求出数列{}n a 的前n 项和n S .详解：（Ⅰ）由条件可得111n n a b n ++=+，n n a b n =，所以121n n a a n n +=⋅+，即bn +1=2bn ，又b 1=1，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得12n na n-=，所以12n n a n -=⋅． ①01221122232122n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（） ②12312122232122n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（）③012311-2-222222212nn nn n S n n -=+++++-⋅=-⋅-整理得：121n n S n =-⋅+（） （n N +∈） 点睛：（1）本题主要考查数列性质的证明和错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.19．已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=. (Ⅰ)求tan 2A 的值； (Ⅱ)若4B π=，3AB =，求ABC ∆的面积S .【答案】（Ⅰ）43- ；（Ⅱ）3【分析】（Ⅰ）由已知和三角形面积公式可得1cos sin 2A A =，进而得到tan 2A =，由二倍角的正切公式可得答案;(Ⅱ)由（1）式中的tan 2A =，可得sin cos A A ，由两角和的正弦公式可得sin C ，结合正弦定理可得边b ，代入面积公式可得答案.【详解】解：（Ⅰ）设ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ， ∵AB AC S ⋅=，∴1cos sin 2bc A bc A =，∴1cos sin 2A A =，∴tan 2A =∴22tan 4tan21tan 3A A A ==--. （Ⅱ）3CB CA -=，即3AB c ==， ∵tan 2A =，02A π<<，∴25sin A =5cos A =∴()25252310sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理知：sin 5sin sin sin c b cb B C B C=⇒=⋅ 1125sin 53322S bc A ===.【点睛】本题主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及两角和的正弦公式等，需牢记三角函数各公式并灵活运用.20．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点.(1)求证：1//D F 平面11A EC ；(2)求平面AA 1C 1与平面A 1C 1E 夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，求得平面11A EC 的一个法向量，由空间向量的数量积运算可得证；（2）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-，根据面面角的向量求解方法可求得答案.【详解】(1)证明：以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ，所以()11,0,2D F =-,()112,2,0AC =,()12,1,2AE =-, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111220220m AC x y m A E x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令12x =，则()2,2,1m =-，因为1220m D F =⋅-=，所以1m D F ⊥， 因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；(2)解：由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-， 则822cos ,3322DB m DB m DB m⋅===⨯⋅，所以二面角11A AC E --的正弦值为211cos,3DB m -=.21．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程；（2）设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为()2211x y -+=，求△PBC 面积的最小值． 【答案】（1）22y x =；（2）8.【详解】试题分析：（1）圆心到定点与到定直线距离相等符合抛物线定义，可直接写出标准方程22y x =；（2）设()00,x y P ，()0,b B ，()C 0,c ，直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=，由点到直线的距离公式得()2000220x b y b x -+-=，同理()2000220x c y c x -+-=可得022x b c x -=-，面积表示为关于0x 的函数，进而利用基本不等式求最值.试题解析：解：（1）由题意可知圆心到1,02的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =.（2）设()00,x y P ，()0,b B ，()C 0,c ，直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=， 又圆心（1，0）到PB 的距离为1，()0022001y b x by b x-+=-+，整理得：()2000220x b y b x -+-=，同理可得：()2000220x c y c x -+-=，所以，可知b ，c 是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，所以：0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，依题意0bc <，即02x >，则()()222000204482x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以：022x b c x -=-，所以()0001424822S b c x x x =-=-++≥-，当04x =时上式取得等号，所以C PB 面积最小值为8.【解析】1、抛物线的定义；2、点到直线的距离公式及基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查抛物线的定义、点到直线的距离公及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．如图，设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(1)求点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点．（i ）证明：11MB NB+为定值； （ii ）求四边形MPNQ 面积的取值范围． 【答案】(1)221(0)43x y y +=≠ (2)（i ）证明见解析；（ii ）12,83⎡⎣【分析】（1）推出||||EB ED =，转化求解圆A 的标准方程，利用椭圆定义可得点E 的轨迹方程．（2）（i ）设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，不妨设121x x ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出||MB ，||NB ，代入计算可得；（ii ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得||MN ，由PQ l ⊥，设PQ 方程，求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得||PQ ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【详解】(1)解：圆A ：222150x y x ++-=即为22(1)16x y ++=，可得圆心(1,0)A -，半径4r =， 由//BE AC ，可得C EBD ∠=∠， 由AC AD =，可得D C ∠=∠， 即为D EBD ∠=∠，即有EB ED =， 则||||||||||4||2EA EB EA ED AD AB +=+==>=，故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有24a =，即2a =，1c =，223b a c =-=， 则点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠；(2)解：（i ）证明：依题意：l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，不妨设121x x ．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以)1212||1111MB k x k x +-+-，)2222||1111NB k x k x +-+- 所以()()()()()2112122112222211111111111MB NB k x k x k x x k x x x x +==+-+-+--++--其中()22222211212228412121444343k k k x x x x x x k k ⎛⎫-+-=+--⋅ ⎪++⎝⎭2221122228412911434343k k x x x x k k k -+--=--=+++ 所以()2212122122121114439311143k k MB NB k x x x x k k +++===++--++故1143MB NB +=为定值；（ii ）椭圆221:143x y C +=，设直线:1l x my =+，由PQ l ⊥，设:(1)PQ y m x =--，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(34)690m y my ++-=， 设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ， 可得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+， 则322422223636||1||1(34)34m MN m y y m m m =+⋅-=++++2222236(44)111234m m m m +++=⋅+， A 到PQ 的距离为2211d m m ++，2222224434||1611m m PQ r d m m +=-=-++则四边形MPNQ 面积为2222114341||||1222341m m S PQ MN m m ++=⋅=⋅++22211242413431m m m +==+++当0m =时，S 取得最小值12，又2101m >+，可得32483S <=即有四边形MPNQ 面积的取值范围是12,83⎡⎣．。