高二数学上学期期中试题 理

高二学年第一学期期中考试数学（文科）试卷教师版内容一、选择题（共12小题：每小题5分：满分60分）1．已知z为复数：（1﹣i）2z=（1+i）3（i为虚数单位）：则=( )A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣iB考点：复数代数形式的乘除运算．专题：函数思想：数系的扩充和复数．分析：设z=a+bi：利用向量相等：列出方程组：求出a、b的值即可．解答：解：设z=a+bi：a、b∈R：∴（1﹣i）2（a+bi）=（1+i）3：即﹣2i（a+bi）=2i（1+i）：∴﹣a﹣bi=1+i：即：解得a=﹣1：b=﹣1：∴z=﹣1﹣i：∴=﹣1+i．故选：B．点评：本题考查了复数的共轭复数以及复数相等的应用问题：也考查了复数的代数运算问题：是基础题目．2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x）：如果f′（x0）=0：那么x=x0是函数f（x）的极值点：因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0：所以：x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：计算题：推理和证明．分析：在使用三段论推理证明中：如果命题是错误的：则可能是“大前提”错误：也可能是“小前提”错误：也可能是推理形式错误：我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x）：如果f'（x0）=0：那么x=x0是函数f（x）的极值点”：不难得到结论．解答：解：大前提是：“对于可导函数f（x）：如果f'（x0）=0：那么x=x0是函数f（x）的极值点”：不是真命题：因为对于可导函数f（x）：如果f'（x0）=0：且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时：那么x=x0是函数f（x）的极值点：∴大前提错误：故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：演绎推理是一种必然性推理：演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而：只要前提是真实的：推理的形式是正确的：那么结论必定是真实的：但错误的前提可能导致错误的结论．3．如图是秦九韶算法的一个程序框图：则输出的S为( )A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值考点：程序框图．专题：图表型：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图：根据秦九韶算法即可得解．解答：解：由秦九韶算法：S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））：故选：C．点评：本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力：同时考查学生对算法思想的理解与剖析：本题特殊利用秦九韶算法：使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化：属于基础题．4．已知条件p：x≤1：条件q：：则￢p是q的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：由题意条件p：x≤1：写出其﹣p中x的范围：将条件q：：由分式不等式的解法解出x的范围：然后判断﹣p是q之间能否互推：从而进行判断：解答：解：∵条件p：x≤1：∴￢p：x＞1：∵条件q：：∴＜0：解得x＞1或x＜0：∵x＞1⇒x＞1或x＜0：反之则不能：∴﹣p⇒q：q推不出﹣p：∴﹣p是q的充分而不必要条件：故选A．点评：此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题：解题时按部就班的求解：此题思路很明显就是求出﹣p和q：各自x的范围．5．用反证法证明命题：“若a：b∈N：ab能被3整除：那么a：b中至少有一个能被3整除”时：假设应为( ) A．a：b都能被3整除B．a：b都不能被3整除C．a：b不都能被3整除D．a不能被3整除考点：反证法与放缩法．专题：综合题．分析：“a：b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a：b都不能被3整除”：故应假设a：b都不能被3整除．解答：解：反证法证明命题时：应假设命题的反面成立．“a：b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a：b都不能被3整除”：故应假设a：b都不能被3整除：故选B．点评：本题考查用反证法证明命题：应假设命题的反面成立．6．已知a＜b＜|a|：则( )A．＞B．ab＜1 C．＞1 D．a2＞b2考点：不等关系与不等式．分析：利用赋值法：排除错误选项：从而确定正确答案．解答：解：∵a＜b＜|a|：∴a＜0：b的正负不确定：若b=0：可排除A：C：若b=﹣1：a=﹣2：则ab=2＞1：故C错误：无论b＞0还是b＜0：b=0：D均成立．故选D．点评：利用赋值法排除错误选项：可以有效地简化解题过程．7．已知某几何体的三视图如图所示：根据图中标出的尺寸（单位：cm）：可得这个几何体得体积是( )cm2．A．B．C．2 D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图：可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥：求出底面面积和高：代入锥体体积公式：可得答案．解答：解：由已知中的三视图：可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥：其底面面积S=2×2=4：高h=2：故几何体的体积V=Sh=：故选：B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积：解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．具有线性相关关系得变量x：y：满足一组数据如表所示：若y与x的回归直线方程为=3x﹣：则m 的值( )x 0 1 2 3y ﹣1 1 m 8A．4 B．C．5 D．6考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：根据表中所给的数据：做出横标和纵标的平均数：得到样本中心点：根据由最小二乘法求得回归方程=3x﹣：代入样本中心点求出该数据的值．解答：解：由表中数据得：=：=：由于由最小二乘法求得回归方程=3x﹣：将=：=代入回归直线方程：得m=4．故选：A点评：本题考查数据的回归直线方程：利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．9．在区间[﹣3：3]上任取一个数a：则圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题：概率与统计．分析：利用圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点：可得0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4：结合在区间[﹣3：3]上任取一个数a：即可求出概率．解答：解：圆C1：x2+y2+4x﹣5=0可化为（x+2）2+y2=9：圆心为（﹣2：0）：半径为3：圆C2：（x﹣a）2+y2=1：圆心为（a：0）：半径为1：∵圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点：∴2≤|a+2|≤4：∴0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4：∵在区间[﹣3：3]上任取一个数a：∴0≤a≤2：∴所求概率为=．故选：B．点评：本题主要考查了几何概型的概率：以及圆与圆有公共点的性质：解题的关键弄清概率类型：同时考查了计算能力：属于基础题．10．使不等式成立的正整数a的最大值是( )A．10 B．11 C．12 D．13考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：本题利用两边平方法比较大小：然后找到最大值．解答：解：∵∴∴a＜=12+2（）＜13故不等式成立的正整数a的最大值是12．故选：C点评：本题主要考查了比较大小的常用方法：两边平方法：属于基础题．11．设△ABC的三边长分别为a、b、c：△ABC的面积为S：内切圆半径为r：则：类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4：内切球半径为r：四面体S﹣ABC的体积为V：则r=( )A．B．C．D．考点：类比推理．专题：探究型．分析：根据平面与空间之间的类比推理：由点类比点或直线：由直线类比直线或平面：由内切圆类比内切球：由平面图形面积类比立体图形的体积：结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．解答：解：设四面体的内切球的球心为O：则球心O到四个面的距离都是R：所以四面体的体积等于以O为顶点：分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性：将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质：得出一个明确的命题（或猜想）．12．函数f（x）的导函数为f′（x）且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0：+∞）恒成立：若0＜a＜b：则( )A．b2f（a）＜a2f（b）：b3f（a）＞a3f（b） B．b2f（a）＞a2f（b）：b3f（a）＜a3f（b）C．b2f（a）＞a2f（b）：b3f（a）＞a3f（b） D．b2f（a）＜a2f（b）：b3f（a）＜a3f（b）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：令g（x）=：通过求导得函数g（x）在（0：+∞）上单调递增：求出g（a）＜g（b）：令h（x）=：通过求导得函数h（x）在（0：+∞）单调递减：求出h（a）＞h（b）：从而得到答案．解答：解：令g（x）=：则g′（x）=：∵2f（x）＜xf′（x）：∴g′（x）＞0：∴函数g（x）在（0：+∞）上单调递增：∴g（a）＜g（b）：即：∴b2f（a）＜a2f（b）：令h（x）=：则h′（x）=：∵xf′（x）＜3f（x）：∴h′（x）＜0：∴函数h（x）在（0：+∞）单调递减：∴h（a）＞h（b）：即：：∴b3f（a）＞a3f（b）：故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．解答的关键是先得到导数的正负：再利用导数的性质得出函数的单调性．本题的难点在于构造出合适的函数：题后应总结一下：为什么这样构造合理．二、填空题（共4小题：每小题5分：满分20分）13．定义运算x⊗y：若|m﹣1|⊗m=|m﹣1|：则m的取值范围是m≥．考点：绝对值不等式．专题：计算题：新定义．分析：由题意知：|m﹣1|⊗m的结果是取|m﹣1|和m中的较小者：故得到|m﹣1|和m的不等关系：最后解此绝对值不等式即得m的取值范围．解答：解：由题意得：|m﹣1|≤m：①∴m≥0：①式平方得：m2﹣2m+1≥m2：即：m≥．故答案为：m≥．点评：本小题主要考查绝对值不等式、函数的概念、绝对值不等式的解法等基础知识：考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．14．正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6：（2）8+10+12=14+16：（3）18+20+22+24=26+28+30：按照这样的规律：则72在第6个等式中．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：从已知等式分析：发现规律为：各等式首项分别为2×1：2（1+3）：2（1+3+5）：…：即可得出结论．解答：解：①2+4=6：②8+10+12=14+16：③18+20+22+24=26+28+30：…其规律为：各等式首项分别为2×1：2（1+3）：2（1+3+5）：…：所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2×=2n2：当n=6时：等式的首项为2×36=72：所以72在第6个等式中：故答案为：6．点评：本题考查归纳推理：难点是根据能够找出数之间的内在规律：考查观察、分析、归纳的能力：是基础题．15．已知a：b都是正实数：函数y=2ae x+b的图象过点（0：1）：则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把点（0：1）代入函数关系式即可得出a：b的关系：再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵函数y=2ae x+b的图象过点（0：1）：∴1=2a+b：∵a＞0：b＞0．∴==3+=：当且仅当：b=时取等号．故答案为．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．16．已知{a n}满足a1=1：a n+a n+1=（）n（n∈N*）：S n=a1+a2•3+a3•32+…+a n•3n﹣1：类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法：可求得4S n﹣3n a n=n．考点：类比推理．专题：计算题：等差数列与等比数列．分析：先对S n=a1+a2•3+a3•32+…+a n•4n﹣1两边同乘以3：再相加：求出其和的表达式：整理即可求出4S n ﹣3n a n的表达式．解答：解：由S n=a1+a2•3+a3•32+…+a n•3n﹣1①得3•S n=3•a1+a2•32+a3•33+…+a n﹣1•3n﹣1+a n•3n②①+②得：4S n=a1+3（a1+a2）+32•（a2+a3）+…+3n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•3n=a1+3×+32•（）2+…+3n﹣1•（）n﹣1+3n•a n=1+1+1+…+1+3n•a n=n+3n•a n．所以4S n﹣3n•a n=n：（2）若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形：求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=：且经过点A（1：0）：求出a：b：即可求椭圆C的标准方程：（2）设直线l的方程为x=my+n：代入椭圆方程：利用韦达定理：根据△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形：求出m：n：即可求直线l的方程．解答：解：（1）由题意：b=1：∵=1﹣e2=：∴a=2：∴椭圆C的方程为=1：（2）设l：x=my+n：代入椭圆方程可得（4m2+1）y2+8mny+4n2﹣4=0：△=16（4m2﹣n2+1）设M（x1：y1）：N（x2：y2）：则y1+y2=﹣：y1y2=：∵AM⊥AN：∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0：∴（m2+1）y1y2+m（n﹣1）（y1+y2）+（n﹣1）2=0：∴（m2+1）•+m（n﹣1）（﹣）+（n﹣1）2=0∴n=﹣或1（舍去）．MN的中点（：）∵AM=AN：∴=﹣m：∵n=﹣：∴m=0或m2=：此时△＞0：从而直线l的方程为x=﹣或x=±y﹣．点评：本题考查椭圆的方程：考查直线与椭圆的位置关系：考查学生分析解决问题的能力：属于中档题．。

2022-2023学年内蒙古自治区包头市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，2210x x +-≥ B ．R x ∃∉，2210x x +-≥ C ．R x ∃∈，2210x x +-≥ D ．R x ∀∉，2210x x +-≥【答案】A【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是 “R x ∀∈，2210x x +-≥”， 故选：A.2．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交【答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ， 圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切. 故选：B3．已知双曲线221x y m +=（m 为非零常数）的渐近线方程为y x =，则双曲线的虚轴长是（ ）A ．－3B ．3C ．D 【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线方程求得m ，进而求得双曲线的虚轴长. 【详解】双曲线221x y m+=，即221x y m -=-，双曲线的渐近线方程为y x =，3m ==-，所以双曲线方程为2213x y -=，所以b =2b =故选：C4．已知椭圆经过点()，且焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据已知条件求得,a c ，从而求得椭圆的离心率. 【详解】由于焦点()10,1-F ， 所以焦点在y 轴上，且1c =，由于椭圆经过点()，所以b =所以a ==所以椭圆的离心率为c a =故选：D5．过抛物线22y x =的焦点作直线l ，交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则AB 等于（ ） A ．10 B ．9 C ．6 D ．5【答案】B【分析】利用抛物线的几何意义求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得1242x x +=， 所以由抛物线的几何意义得1281922p pAB x x =+++=+=， 故选：B.6．已知空间四边形ABCO 中，OA a =，OB b =，OC c =，M 为OA 中点，点N 在BC 上，且2NB NC =，则MN 等于（ ）A ．121233a b c -+-B ．121233a b c -++C ．111232a b c +- D ．112233a b c -++【答案】D【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】如图所示：点N 在BC 上，且2NB NC =，∴2BN NC =， 由OB b =，OC c =，∴111212()333333ON OC CN OC CB OC OB OC OB OC b c =+=+=+-=+=+，M 为OA 中点，OA a =，1122OM OA a ==，∴11122233MN ON OM ON OA a b c =-=-=-++．故选：D ．7．曲线()2216126x y m m m +=<--与曲线()2212828x y m m m+=<<--的（ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．顶点相同【答案】A【分析】先分清两曲线分别是什么类型的曲线，再分别求出每个曲线的几何特征即可. 【详解】对于曲线()2216126x y m m m +=<-- ，1260m m ->-> ，是焦点在x 轴上的椭圆， 2222212,6,6,6a m b m c a b c =-=-=-==；对于曲线()2212828x y m m m +=<<-- ，20,80m m -<-> ，是焦点在y 轴上的双曲线， 222228,2,6,6a m b m c a b c =-=-=+== ；所以两曲线的焦距相同. 故选：A8．下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题C ．“220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”D ．命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题是真命题 【答案】C【分析】利用否命题、逻辑连接词、逆否命题和逆命题的定义判断各选项即可. 【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，选项A 错误；命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题或其中一个为真命题，选项B 错误； “220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”，选项C 正确； 命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题为“若空间向量a b =，则a b =”，由于模长相等方向不一定相等，所以该命题为假命题，选项D 错误； 故选：C9．已知圆()22:316M x y ++=外一点()3,0N ，点P 是圆上任意一点，线段NP 的垂直平分线l 和直线MP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为（ ） A ．22145x y -=B ．2211620x y -=C ．221167x y +=D ．2213627x y +=【答案】A【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆M 的圆心为()3,0M -，半径4r =， 由于线段NP 的垂直平分线l 交直线MP 于Q ， 所以QP QN =，所以4QN QM QP QM r MN -=-==<，所以Q 点的轨迹是双曲线，且3,24,2,c a a b === 所以Q 点的轨迹方程为22145x y -=. 故选：A10．椭圆22163x y +=中，以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．1B ．12C ．－1D ．12-【答案】C【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，则12122,1x x y y +=+=，因为22112163⎛⎫ ⎪⎝⎭+<，所以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆22163x y +=内， 将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212063x x x x y y y y -+-++=，即()()()()1212121263x x x x y y y y -+-+=-，即()()1212121236x x y y y y x x +--=+-， 即12123261y y x x -⨯-=⨯-， 即12121y y x x -=--， 所以弦所在的直线的斜率为1-. 故选：C ．11．直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，当直线1,10ax by ax by +=+-=与圆221x y +=有公共点时，221,1a b ≤+≥，所以P 在圆上或圆外，所以直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的必要不充分条件. 故选：B12．已知P 是抛物线24y x =上的一点，过点P 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，设圆()()22:331C x y ++-=上任意一点Q ，则PQ PH +的最小值是（ ）A．1 B ．5 C ．6 D ．4【答案】B【分析】结合抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -， 根据抛物线的定义可知1PH PF =+，圆()()22:331C x y ++-=的圆心为()3,3C -，半径1r =，min 1PQ PC =-，5CF ==所以115PQ PH PC PF PC PF CF +≥-++=+≥=, 所以当,,F P C 三点共线时，PQ PH +取得最小值5. 故选：B二、填空题13．抛物线28y x =-的准线方程是________． 【答案】132y =【分析】先将抛物线方程化为标准形式，即可得出其准线方程.【详解】因为抛物线28y x =-的标准方程为：218=-x y ，因此128=p ，即116=p ；所以其准线方程为：132y =. 故答案为：132y =【点睛】本题主要考查求抛物线的准线方程，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14．过点)的等轴双曲线，其焦点到渐近线的距离是______．【分析】根据点)求得等轴双曲线的方程，求得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，从而求得正确答案.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设等轴双曲线的方程为222x y a -=，由于等轴双曲线过点)，所以2312a =-=，所以a b ==2c =双曲线方程为22122x y -=，渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，双曲线其中一个焦点()2,0到其中一条渐近线0x y -=的距离为2022，根据对称性可知，双曲线焦点到渐近线的距离是2.当双曲线的焦点在y 轴上时，设等轴双曲线的方程为222y x a -=， 由于等轴双曲线过点()3,1，所以2122a =-=-，不符合题意.综上所述，该等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是2. 故答案为：215．点P 是椭圆22149x y +=上的一点，则点P 到直线2150x y +-=的距离最大值是______．【答案】45【分析】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，由点线距离公式及辅助角公式即可求化简大值.【详解】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，则点P 到直线2150x y +-=的距离为()225sin 154cos 3sin 15521d θϕθθ+-+-==+，其中43sin ,cos 55ϕϕ==，故()5sin 155154555d θϕ+---=≤=.故答案为：4516．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =， 故水面宽为26米，故答案为26米． 【解析】抛物线的应用17．已知2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且2PF x ⊥轴，点A 是双曲线的左顶点，若222PF AF =，则双曲线的离心率为______． 【答案】3【分析】根据22222PF AF a c ==+，得到1PF ，2PF ，进而利用勾股定理，得到2222211PF F F PF +=，列方程计算可得答案.【详解】如图，22222PF AF a c ==+，又122PF PF a -=，则有142PF a c =+， 且12PF F △为直角三角形，2222211PF F F PF ∴+=，列方程得， 222(42)4()4a c a c c +=++，化简得22320a ac c +-=，再整理得，2230e e --=，解得3e =或1e =-（舍去） 故答案为：318．已知曲线22:1C mx ny +=有如下命题：1p ：若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上2p ：若0m n =>，则C3p ：若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y =4p ：若0m =，0n >，则C 是两条直线则下述命题中所有真命题的序号是______． ①14p p ∨②12p p ∧③()23p p ⌝∧④()()34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线的知识对四个命题进行分析，结合逻辑连接词的知识求得正确答案.【详解】依题意，曲线22:1C mx ny +=，1p ：若0m n >>，则110m n<<， 曲线22:111x y C m n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，1p 为真命题. 2:p 若0m n =>，则曲线221:C x y n+=，=的圆，2p 是假命题，2p ⌝是真命题. 3:p 若0mn <，则当00m n >⎧⎨<⎩时，曲线22:111x y C m n -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =当00m n <⎧⎨>⎩时，曲线22:111y x C n m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =综上所述，3p 是真命题，3⌝p 是假命题.4:p 若0m =，0n >，C的方程为21,y y n ==所以C 是两条直线，所以4p 是真命题，4p ⌝是假命题， 所以①14p p ∨为真命题；②12p p ∧为假命题； ③()23p p ⌝∧为真命题；④()()34p p ⌝∨⌝为假命题.所以真命题的序号①③. 故答案为：①③三、解答题19．已知圆C 经过点()2,0A -，()6,0B ，且圆心C 在直线y x =上． (1)求圆C 的一般方程；(2)若线段OP 的端点P 在圆C 上运动，端点O 为坐标原点，求线段OP 的中点M 的轨迹方程． 【答案】(1)2244120x y x y +---= (2)222230x y x y +---=【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C 的一般方程； （2）利用直接代入法即可求得点M 的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆的C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由题意得()2222066022D F D F E D ⎧⎪--+=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得4412D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的C 的一般方程为2244120x y x y +---=. （2）依题意，设(),M x y ，()00,P x y ，因为M 为线段OP 的中点，()0,0O ，所以002,2x x y y ==，又因为点P 在圆C 上运动，所以22000044120x y x y +---=，故()()()()22224242120x y x y +-⨯-⨯-=， 整理得：222230x y x y +---=，所以点M 的轨迹方程为222230x y x y +---=.20．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为x y λ⎧=⎪⎨=⎪⎩（λ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l 与C 交于P ，Q(1)求l 与C 的极坐标方程；(2)求PQ ．【答案】(1)l 的极坐标方程为()π6θρ=∈R ，圆C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=；(2)PQ =【分析】（1）先把参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（2）求出直线l 、圆C 的直角坐标方程和交点坐标，再由两点间的距离公式计算即可.【详解】（1）l的直角坐标方程为y =，化为极坐标方程为()π6θρ=∈R ， 将圆C 的参数方程1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩平方相加得()2211x y -+=， 化为极坐标方程为2cos 0ρθ-=；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由()2211y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩得2203-=x x ，解得 1230,2x x ==， 当10x =时10y =，即()0,0P ， 当232x =时2y =32Q ⎛ ⎝⎭， 所以==P Q 21．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4．(1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线方程与直线2y kx =+相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为4，求k 的值．【答案】(1)24y x =(2)1k =-【分析】（1）结合抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）联立直线2y kx =+的方程与抛物线的方程，化简写出根与系数关系，根据AB 中点的横坐标求【详解】（1）依题意，抛物线焦点在x 轴，且()3,Q m 的横坐标为正数，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为()220y px p =>，由于抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4，所以34,22p p +==， 所以抛物线方程为24y x =. （2）由224y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 并化简得()224440k x k x +-+=， 则()220Δ44160k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，016320k k ≠⎧⎨->⎩， 解得12k <且0k ≠， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12244k x x k -+=-， AB 中点横坐标为4，所以2224k k --=， 解得1k =-或12k =（舍去）. 22．已知1F ，2F 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，椭圆上的任意一点P 使得124PF PF +=，且1PF 的最大值为2(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)22142x y += (2)证明详见解析，定点坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，从而求得椭圆的标准方程.（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.【详解】（1）依题意，1242,2PF PF a a +===，由于1PF 的最大值为2a c +=c =所以b ==22142x y +=. （2）椭圆的右顶点为()2,0Q ，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为()22x t t =-<<， 由22142x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22221242t t y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 设()()00,,,A t y B t y -，则22022t y =-， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()2002221222t y y t t t --⋅=-=----，解得23t =， 所以直线l 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124240k x kmx m +++-=， ()()2222221641224328160k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22420k m -+>①.设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,1212km m x x x x k k --+==++， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()()1212121212222y y y y x x x x ⋅==-----， ()()121222y y x x =---，()()()()121222kx m kx m x x ++=--- ，()()221212121224k x x km x x m x x x x +++=+--，()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，()()2222224412401212m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得()()3220m k m k ++=，23m k =-或2m k =-， 若23m k =-，代入①得222432422099k k k -+=+>，成立， 若2m k =-，代入①得2244220k k -+=>成立，所以直线l 的方程为2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭； 或()22y kx k k x =-=-，过点()2,0Q ，不符合题意，舍去.综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求解直线过定点问题，关键点是研究直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目，要注意验证判别式是否成立.。

扶余市第一中学2021—2022学年度上学期期中考试高二数学理科试卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷 （选择题60分）留意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。

请认真核准考号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1．已知,,a b c 都是实数，则命题“若a b >，则22ac bc >”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ( )A ．4B ．2C ．1D ．0 2. 抛物线ax y -=2的准线方程为2-=x ，则a 的值为（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-3. 从一批产品中任取3件，设=A “三件全是正品”，=B “三件全是次品”，=C “至少有一件正品”，则下列结论正确的是 ( )A. A 与 C 互斥B. A 与 B 互为对立大事C. B 与 C 互斥D. A 与 C 互为对立大事4．总体由编号为20,19,,03,02,01⋅⋅⋅的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 （ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A ．08B ．07C ．02D ．015．用秦九韶算法求多项式1345.0)(245-+-+=x x x x x f ，当3=x 时，先算的是( ) A ．933=⨯ B ．5.121355.0=⨯ C ．5.5435.0=+⨯ D ．5.163)435.0(=⨯+⨯6.五张卡片上分别写有1，2，3，4，5，从这五张卡片中随机抽取一张，大事A 为“抽出的卡片上的数字为偶数”，大事B 为“抽出的卡片上的数字为1”，则=)(B A P ( ) A ．53 B ．51 C ．54D ．1 7.某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则推断框中可以是( ) A ．?6>i B ．?7>i C ．?6≥i D ．?5≥i 8.实数0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ，90=∠BAD ，︒=∠30BAC ，则AB →·CD →等于（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 10.在投实心球测试活动中，经过多次测试，小明同学的成果在m 10~8之间，小华成果在m 5.10~5.9之间，现小明、小华各投一次，则小明投的比小华远的概率是（ ）A ．161 B ．43 C ．41 D ．16511. 小李在做一份调查问卷，有5道题，其中有两种题型，一种是选择题共3道，另一种是填空题，共2道，小李从中任选2道解答，每一次选1题（有放回），则所选题目是同一种题型的概率为（ ） A ．2512 B ．2513 C ．52 D ． 53 12. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆C 上任一点，且→→⋅||||21PF PF 的最大值的取值范围是]3,2[22b b ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A.]22,33[B.]22,0( C ．)1,36[ D.]36,22[第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．依次投掷两枚均匀的骰子，则所得的点数之差的确定值为4的概率是_______．（第7题图）14．已知命题p ：∃x 0∈R ，021020<++x ax ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围________．15．已知双曲线的渐近线方程是043=±y x ，则双曲线的离心率等于________． 16．已知直线l ：)4(3-=x y 与抛物线x y 162=交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，则11||||AF BF +=___________． 三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发觉，次商品的销售单价x （百元）与日销售量y （件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程，请你猜测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：x b y axn x xyx n yx bni ini ii ˆˆ,)(ˆ1221-=---=∑∑==. 18．（本小题满分12分）某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并求n ，a ，p 的值；并利用频率分布直方图估量平均数； （2）从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中接受分层抽样的方法抽取6人参与户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．19．（本小题满分12分）已知两点M (－1，0)、N (1，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20．（本小题满分12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，G F E ,,分别为11111,,C B D C CC 的中点． （1）求证：⊥DG 平面BEF ；（2）求直线AE 与平面BEF 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面SCD ，已知2==SD SA ，F 为线段SD 的中点．(1) 求证：//SB 平面ACF ； (2) 求二面角S BF C --的余弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，直线2:=y l 上的点和椭圆C 上的点的距离的最小值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线m 交椭圆C 于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴组数 分组 “低碳族”的人数占本组的频率第一组 [25，30) 120 0.6 其次组 [30，35) 195 p 第三组 [35，40) 100 0.5 第四组 [40，45) a 0.4 第五组 [45，50) 30 0.3 第六组[50，55]150.3A1A B1B C1C D1D EFG1( ，求||AB的取值范围．交于点N，点N的横坐标的取值范围是)0,3高二数学理科答案一．选择题： BBCDC ，ACBCA ，BD 二．填空：13. 14. 15. 16.三．解答题：17.18.(1)其次组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以组距频率＝50.3＝0.06. 频率分布直方图如下：第一组的人数为0.6120＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝0.2200＝1 000.由于其次组的频率为0.3，所以其次组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝300195＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150. 所以a ＝150×0.4＝60. 平均数：岁.(2) 由于年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以接受分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的状况有(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，m)，(a ，n)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，m)，(b ，n)，(c ，d)，(c ，m)，(c ，n)，(d ，m)，(d ，n)，(m ，n)，共15种，其中恰有1人年龄在[40，45)岁的状况有(a ，m)，(a ，n)，(b ，m)，(b ，n)，(c ，m)，(c ，n)，(d ， m)，(d ，n)，共8种，所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝158. 19.解，，又由于|→MN |·|→MP |＋→MN ·→NP＝0，所以整理得：20.(1)如图建立空间直角坐标系，D 为原点，,又由于，所以平面.(2) 设平面的法向量为由于所以令所以又由于设直线与平面所成角为，所以.21.证明：设AC ，BD 相交于点O ，连接OF ，由于ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点，由于F 是SD 的中点，所以OF//SB 又由于所以平面；(2)以DS为X轴，DC为Y 轴，如立空间直角坐标系，则：设平面BFS的法向量为法二：以S为原点，SC为y轴，则平面CBF 的法向量为平面BFS 的法向量为结果同上22.（1）由题知所以椭圆的方程：（2）设直线联立整理得：记线段中点可得故点直线方程为所以，所以即（3）。

高二（上）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题4分，共12小题，共48分）1.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为( ） A.110 B.16 C.15 D.12 2.在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46B ．322C ．362D ． 42 3(理)．在等差数列{n a }中，已知,21=a ,1332=+a a 则654a a a ++等于（ ）A.40B.42C.43D.453（文）．已知等差数列a n 中，a 2+a 4=6，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ． 30 B ． 15 C ． D ．4. 下列说法中正确的是( )A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若1a ＞1b ，则a ＜bD ．若a ＜b ，则a ＜b5. 在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A. 120B. 60C. 45D. 306.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S 等于（ ）A ．36B ．54C ．72D ．187（理）. 不等式0442>-+-x x 的解集是（ ）A.RB.ΦC.),0(+∞D.)0,(-∞7（文）.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ）A ． {x|0≤x≤2}B ． {x|x≤0，或x≥2}C ． {x|x≤2}D ．{x|x≥0} 8. 在等比数列{n a }中，若2101-=⋅a a ，则74a a ⋅的值为（ ）A.-4B.-2C.4D.29. 已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．2110.在一座20m 高的观测台测得对面一水塔塔顶得仰角为 60，塔底的俯角为 45，那么这座水塔的高度是（ ）mA.)331(20+ B.)26(20+ C.)26(10+ D. )31(20+ 11（理）. 下列函数中最小值为4的是 （ ）A. x x y 4+= B.x x y sin 4sin += （0﹤x ﹤π） C. x x y -⋅+=343 D.10log 4lg x x y += 11（文）．设x ＞1，则x+的最小值是（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 712．设x ，y ∈R 且，则z=x+2y 的最小值等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 5D ．9第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分）13（理）.在等差数列{}n a 中，11=a ，2=d ，9=n S ，则项数n=13（文）．在等差数列{a n }中，a 3=7，a 5=a 2+6，则a 6=14．在等比数列{a n }中，若a 3=2，a 6=2，则公比q= ．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B＋cos B ＝2，则角A 的大小为________16．若角α、β满足，则α﹣β的取值范围是三、解答题（共5小题，共56分）17. （理、10分）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且21a b -=-,510sin ,sin 510A B == （1）求b a ,的值；（2）求角C 和边c 的值。