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排列组合常用解题技巧及练习

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排列组合常用解题技巧 1 相邻问题捆绑法

1. ,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

2. 有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有 种． 3. 7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法 4. 8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法 5. 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法

2 相离问题插空法 1. 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 2. 排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法 3. 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法 4. 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种 5. 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种

3 定序问题缩倍法 1. A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 2. 6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？ 3. 4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法 4. 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况

4 分排问题用“直排法” 1. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 2. 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法

3. 7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种

5 可重复的排列求幂法 1. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法 2. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种； 3. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法

6 名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法) 1. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 2. 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 3. 10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分法 ；每人至少两个 4. 10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法?

7 分组问题 (1) 非均匀分组：是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组 1. 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？

(1) 分成三组，分别为1人、2人、4人； (2) 选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。 (2)均匀分组:指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。 1. 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 记7个人为a、b、c、d、e、f、g写出一些组来考察。如下表：

选3人 再选3人 分组方法种数 a b c d e f d e f a b c 这两种只能 算一种分法 a b c d e g d e g a b c 这两种只能 算一种分法 …… …… ……

2. 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法？ 记十个零件为a、b、c、d、e、f、g、h、i、j写出一些组来考察，如下表：

选2个 再选2 又选2个 剩下四个 分组方法数 a b a b c d c d e f e f c d e f a b e f a b c d e f c d e f a b c d a b g h i j g h i j g h i j g h i j g h i j g h i j

3. 把6个不同苹果平均分成三堆，一共有 种分法. 4. 把6个不同的苹果分成4堆，一共有 种分法. 5. 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？ 6. 将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队， 有多少分法？

(3)编号分组 ① 非均匀编号分组 1. 从7个参加义务劳动的人中选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？ 2. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安 排方案种数为______ ② 均匀(部分均匀)编号分组

1. 有5本不同的书全部分给3人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 2. 把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有 种分法. 3. 某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数 4. 名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 5. 本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 6. 有6名同学，求下列情况下的分配方法数： ① 分给数学组3人，物理组2人，化学组1人； ② 分给数学组2人，物理组2人，化学组2人； ③ 分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人； ④ 平均分成三组进行排球训练。

8 特殊元素（位置）的“优先安排法” 1. 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 。 2. 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排 种． 3. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种. 4. 8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法 5. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法

9 环排问题直排法 原理：如果在圆周上m个不同的位置编上不同的号码，那么从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m个元素的环形排列对应着m个直线排列，设从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N个，则对应的直线排列数为mN个，又因为从n个元素中取出m个元素的排成一排的排列数为mnA个，所以mnmNA，所

以mnANm．

即从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为mnANm． n个元素的环形排列数为!(1)!nnAnNnnn

1. 8人围桌而坐，共有多少种坐法? 2. 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈

10 “至少”“至多”问题：正难则反——排除法 1. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 2. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种． 3. 100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？

排列组合强化练习题1 1. 7个人并排站成一排 (1) 如果甲必须站在中间，有__________________种排法. (2) 如果甲、乙两人必须站在两端，有_____________________种排法. 2. 用0，1，2，3，4，5，可以组成没有重复数字的四位偶数_________________个. 3. 四男三女排成一排，(1) 三个女的要相邻，有________种排法; (2) 女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有___________种. 4. 四男三女排成一排，(1) 女同学互不相邻，有____________种排法. (2) 男同学互不相邻，女同学也互不相邻，有____________种排法. 5. 8人排成一排，其中甲、乙两人不排在一起，有______________________种排法. 6. 18名同学，(1)平均分成三组，有____________种分法. (2)平均分给数、理、 化小 组有___________种分法. (3)分配给化学小组7人，物理小组6人，数学小组5人，有 __________种分法. (4)分给数、理、化小组，其中一个组为5人，一个组为6人， 一 个组为7人，有_________种分法. 8. 某班上午要上语文、数学、体育和英语，又体育教师因故不能上第一节和第四节， 则不同的排课方案有_____种. 9. 从5位女同学，6位男同学中选出3位女同学和2位男同学担任五种不同的职务，有____________________种选法. 10. 从甲、乙，......，等6人中选出4名代表，那么 (1) 甲一定当选，共有___________种选法； (2) 甲一定不入选，共有_________种选法. (3) 甲、乙二人至少有一人当选，共有_____________种选法. 11. 将5本不同的数学书，4本不同的物理，3本不同的化学书排成一排， (1) 各类书必须排成一起，问有________________________种排法. (2) 化学书不全排在一起，问有________________________种排法. (3)化学书每两本都不相邻，问有________________种排法. 12. 有男女售票员各4人，被分配在四辆公共汽车上，要求每辆车上男、女各1人，则有________________种分法. 13. 四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男 孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩的个数，则有____________ 种站法.

排列组合强化练习题2 1．某年全国足球甲级联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

2．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ 3．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 4．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

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排列组合难题21种题型及方法

排列组合难题21种题型及方法

高考数学排列组合难题21种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结

完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结

完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结分类计数原理(加法原理)指完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。

在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。

+mn种不同的方法。

分步计数原理（乘法原理）指完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。

做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。

×mn种不同的方法。

分类计数原理和分步计数原理的区别在于，分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。

2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一种常用的解题策略是特殊元素和特殊位置优先策略。

例如，由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数，可以先排末位共有C3^1种方法，然后排首位共有C4^3种方法，最后排其它位置共有A4^1 * 3!种方法，根据分步计数原理得到共有C4^1 * 3^1 * A4^1 * 3.= 288种不同的方法。

另一种常用的解题策略是相邻元素捆绑策略。

例如，7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法，可以先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有A5^2 * A2^2 = 480种不同的方法。

还有一种常用的解题策略是不相邻问题插空策略。

例如，一个晚会的节目有4个舞蹈、2个相声、3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种，可以先将三种不同的节目分别排列，然后在舞蹈节目之间插入一个相声节目，再在相声节目之间插入一个独唱节目，根据分步计数原理可得共有A4^4 * A2^1 * A3^1 = 种不同的方法。

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题，提高学生解决问题分析问题的能力。

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。

2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一、特殊元素和特殊位置优先策略例1：由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有C(3,1)种方法，然后排首位共有C(4,1)种方法，最后排其它位置共有A(3,4)种方法，由分步计数原理得C(4,1)×C(3,1)×A(3,4)=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。

经典排列组合应用题的解法技巧

经典排列组合应用题的解法技巧

经典排列组合应⽤题的解法技巧解排列组合应⽤题的解法技巧⼀. 运⽤两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应⽤题的最基本的出发点，可以说对每道应⽤题我们都要考虑在记数的时候进⾏分数或分步处理。

例1：n个⼈参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例2：同室四⼈各写了⼀张贺年卡，先集中起来，然后每⼈从中拿⼀张别⼈的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配⽅式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种练习：1投递问题：3封信2个邮箱有多少投递⽅案2映射个数计算：从集合A＝｛1，2，3，｝到集合B＝｛a，b｝能建⽴多少映射⼆. 特殊元素（位置）优先----(优待法)所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时，对于有限制条件的元素(或位置)要优先考虑．例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，⼀共可以得到⽆重复数字的五位偶数多少个？注0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，⾸位与末位是特殊的位置。

例4：8⼈站成两排，每排4⼈，甲在前排，⼄不在后排的边上，⼀共有多少种排法？【eg】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个．〔注〕这道例题是典型的限制排列组合题．解题时，若从元素⼊⼿(即元素优先)，常要分类讨论，分类时要注意堵漏防重；若从位置⼊⼿(即位置优待1，常要分步解答，分步时要注意分步完整，各步相连．练习（1）由数字0，1，2，…，9组成没有重复数字的三位数，且能被3整除（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？三. 捆绑法在解决对于某⼏个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作⼀个⼤元素进⾏排序，然后再考虑⼤元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．例5：8⼈排成⼀排，甲、⼄必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？〔注〕运⽤捆绑法解决排列组合问题时，⼀定要注意“捆绑”起来的⼤元素内部的顺序问题．四. 插空法不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插⼊到它们的间隙及两端位置，故称插空法．例6：排⼀张有8个节⽬的演出表，其中有3个⼩品，既不能排在第⼀个，也不能有两个⼩品排在⼀起，有⼏种排法？注：捆绑法与插⼊法⼀般适⽤于有如上述限制条件的排列问题【eg】⽤1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的⼋位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，⽽7与8不相邻。