二次函数存在性问题

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。

2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线与x 轴相交于原点和点()4,0A ，在第一象限内与直线y x =交于点B ()5,5，抛物线的顶点为C 点．(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)点()3,M m 在抛物线上，连接MO MB ，，求MOB △的面积；(3)抛物线上是否存在点D ，使得DOB OBC ∠=∠？若存在，求出所有点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究如图，已知抛物线238y x bx c =-++与x 轴相交于()4,0A -，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点()0,3C ，连接AC ．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)若过点B 的直线与抛物线相交于另一点D ，当ABD BAC ∠=∠时，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，当点D 在x 轴下方时，连接AD ，此时在y 轴左侧的抛物线上存在点P ，使23BDP ABD S S =△△，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．3．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点()0,2C -，2OC OA =和1tan 2ABC ∠=．直线l ：()0y kx n k =+>与抛物线交于M ，N 两点（点M 在点N 的左边）．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)当直线l BC ∥时，若MON △的面积被y 轴分成的两个三角形的面积比为1:4时，求n 的值； (3)当0n =时，试在抛物线上找一定点P ，使得90MPN ∠=︒，求P 点坐标以及点P 到MN 的最大距离． 4．如图①，抛物线2y ax bx =+的顶点为()2,4D -．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OD ，P 为x 轴上的动点，当AOD ∠与PDO ∠互余时，求点P 的坐标；(3)如图①，点M ，N 都在抛物线上，点M 位于第四象限，点N 位于第二象限，连接MN 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ，连接OM ON 、，求证：若NOF MOE ∠=∠，则直线MN 经过一定点．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A B 、两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ．(1)直接写出、、A B C 三点的坐标；(2)若抛物线上有一点,45D ACD ∠=︒，求点D 的坐标．(3)如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，过点P 的直线(0)y mx n n =+<与抛物线交于另一点Q ，连接AP AQ 、，分别交y 轴于M N 、两点，若2OM ON ⋅=，探究,m n 之间的数量关系，并说明理由．6．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点()0,5C -．(1)求a ，b 的值；(2)已知点M 在射线CB 上，直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P ．①抛物线上是否存在点P ，满足:2:1=AM MP ，如果存在，求出点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由； ①连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．7．如图，已知(2,0),(3,0)A B -，抛物线24y ax bx =++经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得290BCO PCN ∠+∠=︒？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．8．如图1，已知抛物线233y ax bx =++，与x 轴交于点()2,0A -，点()6,0B 与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为M ，其对称轴与x 轴交于Q 点．(1)抛物线解析式为______，顶点M 的坐标为______； (2)判断MAB 的形状，并说明理曲；(3)如图2，点P 是线段MQ 上的一个动点（点P 与点M 、点Q 不重合），连结PA 和PB ，过点B 作BD AP ⊥，射线BD 交射线AP 于点D ，交抛物线于点E ；过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，EF 交射线BP 于点G ． ①当ABD ①EBF 时，请求出此时点P 的坐标； ①当135APB ∠=︒时，请你直接写出BFEG的值． 9．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象交x 轴于点A （﹣1，0），B （3，0），交y 轴于点C （0，﹣3），直线l 经过点B ．(1)求二次函数的表达式和顶点D 的坐标； (2)如图2，当直线l 过点D 时，求①BCD 的面积；(3)如图3，直线l 与抛物线有另一个交点E ，且点E 使得①BAC ﹣①CBE ＞45°，求点E 的横坐标m 的取值范围；(4)如图4，动点F 在直线l 上，作①CFG ＝45°，FG 与线段AB 交于点G ，连接CG ，当①ABC 与①CFG 相似，且S △CFG 最小时，在直线l 上是否存在一点H ，使得①FHG ＝45°存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,0),(2,0),(0,2)A B C -三点，点D 在该抛物线的对称轴l 上．(1)求抛物线的表达式；(2)若DA DC =，求ADC ∠的度数及点D 的坐标；(3)若在（2）的条件下，点P 在该抛物线上，当PBC DAB ∠=∠时，请直接给出点P 的坐标． 11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标；(3)当点P 是抛物线上第一象限上的点1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______．12．如图，平面直角坐标系中，抛物线24y x nx =-++过点()4,0A -，与y 轴交于点N ，与x 轴正半轴交于点B ．直线l 过定点A ．(1)求抛物线解析式；(2)连接AN ，BN ，直线l 交抛物线于另一点M ，当①MAN ＝①BNO 时，求点M 的坐标；(3)过点(),1T t -的任意直线EF （不与y 轴平行）与抛物线交于点E 、F ，直线BE 、BF 分别交y 轴于点P 、Q ，是否存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值？若存在，求t 的值，若不存在，请说明理由．13．抛物线y ＝ax 2+c （a <0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．(1)如图1，若P (1，2)，A (-3，0)． ①求该抛物线的解析式；①若D 是抛物线上异于点P 一点，满足①DPO ＝①POB ，求点D 的坐标； (2)如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE OFOC+是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14．如图1，直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6，0）和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，F 为抛物线在第四象限的一点，直线AF 解析式为123y x =--，求①CAF -①CAD 的度数．(3)如图2，若点P 是抛物线上的一个动点，作PQ ①y 轴垂足为点Q ，直线PQ 交直线AC 于E ，再过点E 作x 轴的垂线垂足为R ，线段QR 最短时，点P 的坐标及QR 的最短长度．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)24y x x =- ()2,4 (2)15(3)点D 的坐标为(7,21)或1313,39⎛⎫⎪⎝⎭；2．(1)233384y x x =--+，对称轴为直线=1x -(2)3342y x =-+或3342y x =-；(3)322222⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，或12362262⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭， 3．(1)213222y x x =-- (2)149n =(3)()3,2P - 134．(1)24y x x =-(2)()20，或()20-，5．(1)()1,0A -，()3,0B 和()0,3C - (2)()4,5D (3)23n m =-6．(1)-1；6 (2)①存在，5172+或5332+或5332-；①1317,66⎛⎫- ⎪⎝⎭；237,66⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)222433y x x =-++(2)22655PN m m =-+，当32m =时，有最大值910(3)存在 74m =8．(1)233334y x x =-++和()2,43； (2)①MAB 为等边三角形 (3)①432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；①12BF EG =．9．(1)二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，顶点D 的坐标为（1，﹣4） (2)2(3)﹣23＜m ＜2(4)存在，点H 的坐标为：（65，185）或（95，185）10．(1)22y x x =-++(2)90ADC ∠=︒，点D 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭(3)点P 的坐标为()1,2或15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)2=23y x x -- (2)点P 的坐标为()9,0 (3)点P 的坐标为()4,512．(1)234y x x =--+ (2)250,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或266,525⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，4t =-13．(1)①21944y x =-+；①(-1，2)或(133，229-)(2)OE OFOC+是定值，定值为2．14．(1)抛物线的解析式为y =-12x ²-2x +6，直线BC 的解析式为y =x +6 (2)45°(3)点P 的坐标为（-2+10，3）或（-2-10，3），QR 的最短长度为3215．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或53224y x -+=+或53224y x --=+．。

二次函数存在性问题——直角三角形例一：如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.例二、如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+( k-1)x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+( k-1)x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．5、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （12，52）和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．6、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．。

专题06二次函数中特殊四边形存在性问题类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线212y x bx c =-++沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出其中一个N 点坐标的过程写出来．1（3）如图2，沿射线AC方向平移∴新的物线解析式为12 y'=-【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．(1)A点坐标是______；B点坐标是(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；(3)探究1：在抛物线上直线不存在，请说明理由；(4)探究2：在（3）的条件下，则E 点坐标为1,22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1114222ABP S OA PE ⎛∴=⋅=⨯⨯ ⎝ 10a =-< ，∴当2x =时，ABP S △有最大值，此时402023m n +=+⎧⎨-=-⎩，21m n =⎧∴⎨=⎩，()12,1M ∴，如图，当AM 为平行四边形的对角线时，402023m n +=+⎧⎨+=--⎩，25m n =-⎧∴⎨=-⎩，()22,5M ∴--，如图，当AP 为平行四边形的对角线时，420032m n +=+⎧⎨-=-+⎩，61m n =⎧∴⎨=-⎩，()36,1M ∴-，综上所述，M 点的坐标为()2,1或()2,5--或()6,1-．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．(1)填空：抛物线的顶点坐标是（(2)已知y 轴上一点02A （，），点点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，点M 在直线满足条件的点N 的坐标；若不存在请说明理由∵PAB 是等边三角形，∴906030ABO ∠=︒-︒=︒．∵四边形OAMN 为菱形，∴2AM AO ==，∴在直角三角形AMQ 中，∵OA MN =，∴2MN =，又∵M 点坐标为()3,3，∴N 点坐标为()3,1，即N 当N 在右图2位置时，∵2MN OA ==，M 点坐标为∴N 点坐标为()3,1--，即当P 点在抛物线的左支上时，同理可求∴存在()13,1N ，(23N -(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第三象限内，连接四边形OAMB 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出(3)若点C 在直线AB 上，抛物线上是否存在点D 使得以在，请直接写出点D 的坐标．【答案】(1)该抛物线的解析式为223y x x =+-537设点()2,23M m m m +-，∵()1,0A -，()0,3B -，∴1,03OA B ==，则AOM BOMS S S =+△△1122M M OA y OB x =⋅+⋅，(1)求抛物线的解析式；∴点O 的对应点P 的坐标为(当点P 在点Q 下方时，PQ =221n ∴-+=，解得，1n =±∴点P 的坐标为(1,1)--或(1,1)当点P 在点Q 上方时，PQ =当BD EF =时，四边形BDEF 为平行四边形，此时点 ()0,2D -，∴设(),2F x ，则222x x =-++，解得：0x =或1x =，∴()0,2F 或()1,2F '，类型二、菱形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)直线3944y x =+与直线BC 交于点E ．点(,0)M m 是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线于点G ，交抛物线于点F ，交直线BC 于点H ．①若点F 在第二象限，且2227EFG OEG S S = ，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使得以点E 、F 、H 、P 为顶点的四边形是正方形？若存在，坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)211433y x x =-++设直线AD 与y 轴交点为N ．(,0)M m Q ，直线FG x ⊥轴，39,44G m m ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，211,433F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭2113943344FG m m m ⎛⎫∴=-++-+ ⎪⎝⎭13m =-由一次函数3944y x =+，当0x =时，y =在Rt AON △中，3OA =，94ON =，22154AN OA ON ∴=+=，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标大？并求出这个面积的最大值；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线1y a x =原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M在抛物线223y x x =--+，令0x =，可得3y =，∴(0,3)C ，设BC 为y kx t =+，将(3,0)B -，(0,3)C 代入得03=-⎧⎨⎩(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)ABC 是直角三角形，理由见解析(2)()224428S m m m =-++=--+()04m <<，即点(3)存在，3651,M ⎛⎫+ ⎪或3651,M ⎛⎫- ⎪或M(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动（点的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在请求出所有满足条件的点2（3）存在，∵()30A -,，()0,3C -，∴直线AC 的解析式为设(,0)P m ，则(M m m -，∴MN CQ 、是以M 、N 、C 、Q 为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当MC 为对角线时，∵3OA OC ==，∴AOC 是等腰直角三角形，∴45ACO ∠=︒，∵QM QC =，∴45QMC QCM ∠=∠=︒，∴90MQC ∠=︒，∴MQ y ^轴，∴NC y ⊥轴，即NC x ∥轴，∴点C 与点N 关于抛物线对称轴对称，∴点N 的坐标为()2,3--，∴2CQ CN ==，∴(01)Q -，；如图3-2所示，当MC 为边时，则MN CM =，同理可得2CM m =-，232m m m -=-，23m =-或0m =（舍去）232CQ CM m ==-=-)0132(--，；3-4所示，当MC 为边时，则同理可得232m m m +=解得23m =-（舍去）或∴45MCQ ACO ==∠∠∵CQ MQ =，∴45QCM QMC ==∠∠∴90MQC ∠=︒，∴MQ y ^轴，∴NC y ⊥轴，这与题意相矛盾，∵MN y ∥轴，∴180NMC MCO ∠=︒-∠∵NQ CM ⊥，∴NSM ∠∴此种情况不存在；综上所述，(01)Q -，或(Q 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求该抛物线的函数表达式；(2)P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点E 作EF y ⊥轴于点F ，求出PD EF +的最大值及此时点(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．且由题可知，PDE △为等腰直角三角形，由”三线合一“知，12EG PD =232EF G E m m G m F -∴=-=---2232m m PD EF m m +∴+=--+由二次函数的性质可得，当210AM ∴=，()()21[12MN =---22211AM MN AN += ，()()()(22110[12]3[1y ∴+---+-=-解得183y =，即181,3N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时设()111,H p q ，由A 、M 、()()()13222233AM AN MN =+ ，(10[∴=-解得31y =，42y =，即(3N -此时设()333,H p q ，由A 、M ()()()33321301p q ⎧-+-=-+⎨+=+⎩，解得：设(),H p q ，由A 、M 、N (1)求抛物线的表达式；设直线AD与y轴交点为N．Q，直线FG xM m(,0)⊥轴，B （4,0），C （0,4），∴直线BC 的解析式为：4y x =-+，联立直线AD 与直线BC 的方程得：34x 解得1x =，∴E （1,3）．若四边形EFHP 是正方形，则3F E y y ==，2114333x x ∴-++=，解得1132x ±=，1113,32F ⎛⎫-∴ ⎪⎝⎭，2113,32F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 1113113122EF -+=-=，111132EP EF +∴==，1113713322P y ++∴=+=．17131,2P ⎛⎫+∴ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得：2113131122EF +-=-=，221312EP EF -∴==，2131713322P y --∴=-=(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得ADEV的面积最大，并求出最大面积；(3)点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．15（3）解：∵抛物线的对称轴为直线∴点F 横坐标为52，设(),G x y ，②当AF 为矩形的对角线时，5352x -=+，解得：112x =-，∵四边形ADFG 为矩形，∴90GAD ∠=︒，∴222AG AD DG +=，③当AG 为矩形对角线时，5532x +=-，解得：212x =，∵四边形ADGF 为矩形，∴90ADG ∠=︒，∴222DG AD AG +=，综上：存在，171,22G ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或171,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的最值求法，具有分类讨论的思想．【变式训练3】．如图，二次函数2y ax bx =+(1)求抛物线的解析式．(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PM BC ⊥于点M ，交x 轴于点交BC 于点Q ，求255PQ PN +的最大值及此时P 点坐标．(3)将抛物线24y ax bx =++沿射线CB 平移25个单位，平移后得到新抛物线y '．∵PM BC⊥∴90PMQ PHB ∠=∠=︒又∵PQM BQH∠=∠∴NPH OBC∠=∠设直线BC ：y k t=+(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点．①当45PCA ∠=︒时，求点P 坐标；②如图2，当点P 运动到抛物线的顶点时，作PD AB ⊥于点D ，点M 在直线B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点M 的坐标．②设()1M m ，，当190M CB ∠=︒时，∵45BCO ∠=︒，∴1C M 与y 轴的夹角为45︒∴314m =+=，∴()11M ，4当290CM B ∠=︒时，∴M 点坐标为()1,4或()1,2-或【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合应用、矩形的性质，三角函数综合，三角形的相似，掌握相关知识根据题意分析出所有情况是解题的关键．。