matlab数值积分与微分

软件学院 MATLAB 程序设计 课程实验报告 201 ～201 学年 第 学期 级 专业班级： 学号： 姓名：实验六 数值微分积分实验一、实验目的1.掌握基本的插值与拟合方法2.掌握使用数学工具Matlab 进行实际问题的插值和拟合建模二、实验内容1．解微分方程2. 求解积分三、实验环境1.工具软件：MATLAB2012b四、实验步骤1. 解微分方程(1)微分方程的解析解dsolve(‘方程1’, ’方程2’,…‘方程n ’, ‘初始条件…’, ‘自变量’)求微分方程的特解⎪⎩⎪⎨⎧===++15)0(',0)0(029422y y y dx dy dx y d（2）求微分方程组的通解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=z y x dtdz z y x dt dy zy x dt dx 244354332（3）常微分方程的数值解[t ，x]=solver （’f ’, ts, x0, options ）解微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=-==1)0(,1)0(,0)0(51.0'''321213312321y y y y y y y y y y y y（4）实例-微分方程设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v 0(是常数)沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是5v 0，求导弹运行的曲线方程，并绘图表示。

2. 求解积分(1) quad 函数、quadl 函数quad8函数来求定积分例：被积函数f(x)=x*sin(x)/(1+cos(x)*cos(x))，x 的范围自定义(2) 梯形积分函数trapzX = sort(rand(1,101)*pi);Y = sin(X);Z = trapz(X,Y);（3）dblquad 函数用于求二重积分的数值解自变量范围：pi <= x <= 2*pi, 0 <= y <= pi ；被积函数z = y*sin(x)+x 2*cos(y)（4）triplequad 函数用于求三重积分的数值解五、分析与思考1、什么是解析解？什么是数值解？六、实验总结。

第7章 MATLAB数值积分与数值微分
MATLAB数值积分 MATLAB数值微分
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7.1 数值积分
7.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单方法：
梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯 (Newton-Cotes)法等方法。它们的基本思想都是 将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]， i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。求定积分问题就分 解为求和问题。
其中，fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，默认时取trace=0。返回参数I即 定积分值，n为被积函数的调用次数。
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例7-1 求定积分。
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例7-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =
0.2858
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Байду номын сангаас11
7.1.3 多重定积分的数值求解
MATLAB提供的dblquad函数用于求二重积分的数值 解，triplequad函数用于求三重积分的数值解。函 数的调用格式为
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7.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数和 quadl函数来求定积分。函数的调用格式为：
[I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace)

常微分方程是描述自然界和社会现象中许多现象的数学模型，它在科学工程技术中有着重要的应用。

而 MATLAB 是一个强大的科学计算软件，它提供了许多用于求解常微分方程的工具和函数。

本文将主要讨论在 MATLAB 中如何利用数值积分方法来求解常微分方程中的间断点问题。

1. 常微分方程与 MATLAB常微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的方程。

在科学和工程中，常微分方程经常出现在物理、生物、经济等领域的建模过程中。

MATLAB 提供了丰富的工具箱和函数来求解常微分方程，包括ode45、ode23、ode15s 等。

2. 数值积分方法数值积分方法是求解微积分中定积分的数值近似值的方法。

在常微分方程的数值求解过程中，经常需要用到数值积分方法来处理积分项。

MATLAB 提供了许多数值积分的函数，如 quad、quadl、quadgk 等。

3. 间断点问题在常微分方程的求解过程中，经常会遇到间断点问题，即方程中存在函数的间断点。

这种情况下，传统的数值方法可能会失效，需要采用特殊的技巧来处理。

MATLAB 提供了一些专门用于处理间断点问题的函数和工具，如 bvp4c、bvp5c 等。

4. MATLAB 中的数值积分和间断点处理在 MATLAB 中，我们可以利用数值积分方法来处理常微分方程中的间断点问题。

我们需要将常微分方程转化为积分方程。

利用 MATLAB 提供的数值积分函数来求解积分方程。

如果方程中存在间断点，我们可以利用 MATLAB 提供的间断点处理函数来处理。

5. 实例分析接下来，我们将通过一个实例来详细介绍在 MATLAB 中如何利用数值积分方法来求解常微分方程中的间断点问题。

考虑如下的常微分方程：$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}, \quad 0 < x < 1$$初始条件为 $y(0) = 1$。

该常微分方程在 $x=0$ 处存在间断点，因此传统的数值方法可能会失效。

分别用quad函数和 函数和quad8函数求定积分的近似值， 函数求定积分的近似值， 例8-3 分别用 函数和 函数求定积分的近似值 并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分： 求定积分： 调用函数 求定积分 format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I= 0.28579444254766 n= 65
例8-5 计算二重定积分 (1) 建立一个函数文件 建立一个函数文件fxy.m： ： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用 调用dblquad函数求解。 函数求解。 函数求解 global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki I= 1.5744931897 (1) 建立被积函数文件 建立被积函数文件fesin.m。 。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数 调用数值积分函数quad求定积分。 求定积分。 求定积分 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S= 0.9008 n= 77
求定积分。 例8-2 求定积分。 (1) 被积函数文件 被积函数文件fx.m。 。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数 调用函数quad8求定积分。 求定积分。 求定积分 I=quad8('fx',0,pi) I= 2.4674