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数学教学中应注重逆向思维的培养
安徽省安庆市大观区红星初级中学 丁传安
逆向思维是与传统的、习惯的、正面的思维相反的思维方式。它是从已有的习惯思路反向去思考和分
析问题，从而使问题得到解决的思维过程。是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知
识的重要思维方式。逆向思维是创造思维的一个组成部分，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷
性的过程。课堂教学实践表明：加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和
双向性，提高分析问题和解决问题的能力。因此，我们在课堂教学中应注重逆向思维的培养与塑造，以充
分发挥学生的思考能力，训练其思维的敏捷性，从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。
一 从数学公式、法则和定律的可逆性进行逆向思维培养
数学中的许多公式、法则和定律一般用等式表示，既可从左到右顺用，也可从右到左逆用。
例1：计算(a+3b)2（a-3b）2
解法一：
(a+3b)2（a-3b）2 =(a2+6ab+9b2）(a2-6ab+9b2）
=[(a2+9b2) +6ab][(a2+9b2) -6ab]
=(a2+9b2)2-（6ab）2
=a4-18a2b2+81b
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解法二：
(a+3b)2（a-3b）2 =[(a+3b)（a-3b）]2
=(a2-9b2)2
= a4-18a2b2+81b
4
显然，逆向运用幂的性质解本题要简单的多。
例2：计算： 211+321+……+1091
分析：本题若按常规方法：先同分后相加，势必感到束手无策。若逆用减法法则：a1-b1=abab 或
n1-11n
= )1(1nn则带来很大的简便。
解:211+321+……+1091=11-21+21-31+……+91-101=1-101=109
又如计算（2+ 3 ）2007（2- 3 ）2007时，若不逆用幂的性质：（ab）n =an bn将无法进行。
二．逆其常规解题思路进行逆向思维培养
在根式化简时，常常要分母有理化，但对某些根式需要反常规考虑分子有理化。
例3．比较2007－ 2006 与 2005 － 2004 的大小
解：2007－2006=2006 2007112006-2007
2
2005 － 2004
=12004- 2005=
2004 20051
显然200620071﹤200420051
所以2007－ 2006﹤2005 － 2004
又如在解含有字母系数的有关问题是，若把未知数看作已知数，把已知数看作未知数，这种反“客”
为“主”的技巧有时往往很有效。
例4．关于x、y的二元一次方程(m+2)x+(m-3)y+m+12=0
试证明：不论m为何实数时，这些方程都有一公共解，并求出这个公共解。
证明：把m看作未知数，把x、y看作已知数，重新整理得：
（x+y+1）m +(2x-3y+12)=0
要使不论m为何实数时原方程都有一公共解，则应有
x+y+1=0
2x-3y+12=0
解得:
x=-3
y=2
当x=-3，y=2时，原方程为：
-3（m+2）+2(m-3)+ m+12=0
即：当x=-3，y=2时，原方程(m+2)x+(m-3)y+m+12=0恒成立。
所以，不论m为何实数时，这些方程都有一公共解
x=-3
y=2
三．运用求问题的反面培养学生的逆向思维
某些数学问题从正面思考时，往往陷入困境，若从问题的反面思考往往会绝处逢生，使问题迎刃而解。
例5. k为何实数时？x的任何值都不满足不等式 x2+2x+k﹤0
解：这一问题等价于
“k为何实数时？不等式 x2+2x+k≥0对一切实数x恒成立”
令y= x2+2x+k 由抛物线性质可知：欲使y≥0 ,应有△≤0 ，
即 4-4k≤0 ∴k≥1
所以，当k≥1时，x的任何值都不满足不等式
x2+2x+k﹤0
四．利用“逆向变式”训练培养学生的逆向思维
许多命题的逆命题是真命题，但要证明其正确性，往往比证原命题要难得多，这好比“上山容易下山
难” 。通过这样互逆变换，能很好地锻炼学生的逆向思维，有利于拓宽学生的思路，有利于知识的不断
深化，有利于激发学生的兴趣和灵感。
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例6．已知：点E是正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形。
求证：∠ECD=∠EDC=15°
D C
B
此题用正方形及等边三角形的性质很容易得证，但若变换条件与结论，便得到如下的题目：
已知：点E是正方形ABCD内一点，∠ECD=∠EDC=15°。
求证：△ABE为等边三角形
D C
B
分析：此题经过这样变换后比原题要难得多，学生们在证本题时都感到困难，主要是没有把已知
的15°集中在欲证其相等的线段处，下面来试着集中。
首先，由对称性，只需证AE=AD即可, 又CD=AD，而AD才是我们应该关注的目标。因此
应该把位于CD边上的，又在题中起主要作用的△ECD，设法移在AD边上，只要想到这一
点，便不难实现，可喜的是，这样一集中，还附带产生了我们所需的全等三角形。
证明：在△ADE中，作等腰△FAD，使∠FAD=∠FDA=15°则：
∠1=∠2=15° ∴∠3=60°
显然 △FAD≌△ECD
∴
DF=DE
∴△DEF是等边三角形
∴FD=FE ， ∠DFE=60°
又
∵∠AFD=150°
∴∠AFE=360°-60°-150°=150
°
∴∠AFD=∠AFE
又∵AF=AF, FD=FE（已证）
∴△FAD≌△FAE ∴
AE=AD
∴AE=AB ∴△ABE为等边三角形
总之，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学
的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提
高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质。值得注意的是：正向思维有它很大的积极
的一面，但决不能一味地追求逆向思维的训练，否则适得其反。要结合所教学生的实际情况，因
材施教，适当、适度地施以逆向思维的教学手段，以达到启迪数学智慧的目的。
