福建省泉州市晋江市季延中学_学年高二数学上学期期中试卷文(含解析)【含答案】

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是 （ ） A tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使B tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使 C tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 D tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使2.已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）A 2B 3C 4D 53.设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A 既不充分也不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 充分但不必要条件【答案】D4.抛物线24x y =的焦点坐标是（ ） A （0 ,1） B （0, －1） C （0,161） D (0,－161)5.平行六面体1111ABCD A B C D -中1132CC z BC y AB x C A ++=，则x y z ++等于（ ）A ．B ．56 C ．76 D ．236.若()()0,1,1,1,1,0=-=b a 且()a b a ⊥+λ，则实数λ的值是（ ）A ．-lB ．0C ．1D ．-27.已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是 （ ）A 1203622=+y x （x ≠0） B 1362022=+y x （x ≠0） C 120622=+y x （x ≠0） D 162022=+y x （x ≠0）8.过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，如果21x x +=6， 那么AB ＝ （ ）A 6B 8C 9D 109.若点P 在椭圆1222=+y x 上，F 1，F 2分别是该椭圆的两焦点，且︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A 1B 2 C.23 D. 2110.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ） A2 B3 C213+ D 215+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy =___________. 【答案】2．12.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

2018学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学复习试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（）A．“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等”B．“若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形”C．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形”D．“若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形”2．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4yC．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y3．（5分）设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+﹣2）•（﹣）=0，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形4．（5分）若平面α的法向量为=（3，2，1），平面β的法向量为=（2，0，﹣1），则平面α与β夹角的余弦是（）A．±B．C．D．﹣5．（5分）已知向量、是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则•=0，且•=0是l⊥α的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，}为基底，=++，则x，y，z的值是（）3A．x=y=z=1 B．x=y=z= C．x=y=z=D．x=y=z=27．（5分）等轴双曲线的一个焦点是F1（﹣6，0），则它的标准方程是（）A．=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A． B． C． D．9．（5分）已知点F，A分别为双曲线C：=1（a＞b＞0）的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足•=0，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）命题“存在一个偶数是素数”的否定为．12．（5分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC 内，则x=．13．（5分）动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，则点P的轨迹方程为．14．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为4x﹣3y=0，则双曲线的离心率为．15．（5分）已知点P为椭圆x2+4y2=16上，则点P到直线y=x﹣5的最短距离为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．17．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为，试求椭圆C的标准方程．18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）证明面AED⊥面A1FD1（3）求AE与平面D1EF所成的角的余弦值．19．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．20．（13分）已知点A（0，﹣2），B（0，4），动点P满足•=y2﹣8．（1）求动点P的轨迹方程；（2）已知直线y=x+与（1）所求曲线交于A、B两点，求弦长AB及△OAB的面积．21．（14分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（x﹣2）2+y2=64相内切（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；（2）设直线l：y=kx+m（其中k，m∈Z）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2018学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（）A．“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等”B．“若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形”C．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形”D．“若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形”【解答】解：根据命题的逆否命题的定义是对条件、结论同时否定，并把条件和结论胡换位置，∴命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是“若△ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选：C．2．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4yC．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4），∴设抛物线的标准方程为x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x2=2py（p＞0）得：16=8p，∴p=2，∴此时抛物线的标准方程为x2=4y；将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y2=﹣2px（p＞0），同理可得p=2，∴此时抛物线的标准方程为y2=﹣4x．综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是x2=4y或y2=﹣4x．故选：C．3．（5分）设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+﹣2）•（﹣）=0，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵（+﹣2）•（﹣）=0，∴（+）•（﹣）=0，∴AB2﹣AC2=0，即||=||．△ABC的形状是等腰三角形，故选：B．4．（5分）若平面α的法向量为=（3，2，1），平面β的法向量为=（2，0，﹣1），则平面α与β夹角的余弦是（）A．±B．C．D．﹣【解答】解：∵，，∴||==，||==•=3×2+2×0+1×（﹣1）=5因此，向量与的夹角θ满足cosθ===又∵向量、分别为平面α和平面β的法向量∴平面α与β夹角等于向量、的夹角，故平面α与β夹角的余弦值等于±故选：A．5．（5分）已知向量、是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则•=0，且•=0是l⊥α的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）由得，；∵所在直线不一定相交，所在直线为l；∴得不到l⊥α；即，且不是l⊥α的充分条件；（2）若l⊥α，向量所在直线在平面α内，在直线l上；∴；∴，且；即•=0，且•=是l⊥α的必要条件；综上得•=0，且•=是l⊥α的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，}为基底，=++，则x，y，z的值是（）3A．x=y=z=1 B．x=y=z= C．x=y=z=D．x=y=z=2【解答】解：如图所示，∵==++=+，又=++，∴x=y=z=1．故选：A．7．（5分）等轴双曲线的一个焦点是F1（﹣6，0），则它的标准方程是（）A．=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵等轴双曲线的一个焦点是F1（﹣6，0），∴设等轴双曲线的标准方程为﹣=1，a＞0，且a2+a2=36，解得a2=18．∴等轴双曲线的标准方程是=1．故选：B．8．（5分）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由a＞b＞0，椭圆a2x2+b2y2=1，即+=1，焦点在y轴上；抛物线ax+by2=0，即y2=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；分析可得，D符合，故选：D．9．（5分）已知点F，A分别为双曲线C：=1（a＞b＞0）的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足•=0，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵•=0，∴FB⊥AB∴|FB|2+|AB|2=|FA|2，即c2+b2+a2+b2=（a+c）2，整理得c2﹣a2﹣ac=0，等式除以a2得e2﹣e﹣1=0求得e=（舍负）∴e=故选：D．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）命题“存在一个偶数是素数”的否定为所有偶数都不是素数．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在一个偶数是素数”的否定为：所有偶数都不是素数．故答案为：所有偶数都不是素数．12．（5分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC 内，则x=11．【解答】解：由共面向量定理，可设，其中x，y∈R，于是代入点的坐标有：（x﹣4，﹣2，0）=y（﹣2，2，﹣2）+z（﹣1，6，﹣8），得方程组：得故答案为：1113．（5分）动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，则点P的轨迹方程为y2=12x．【解答】解：∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，∴将直线x=﹣2向左平移1个单位，得到直线x=﹣3，可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x=﹣3的距离．因此，点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x=﹣3为准线的抛物线，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），可得=3，得2p=12∴抛物线的方程为y2=12x，即为点P的轨迹方程．故答案为：y2=12x14．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为4x﹣3y=0，则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：b2x2﹣a2y2=0，即bx±ay=0．由已知，一条渐近线的方程为4x﹣3y=0所以=，离心率e===．故答案为：．15．（5分）已知点P为椭圆x2+4y2=16上，则点P到直线y=x﹣5的最短距离为（5﹣2）．【解答】解：∵点P为椭圆x2+4y2=16上，∴设点P（4cosθ，2sinθ），则点P到直线y=x﹣5的距离：d==|2sin（θ+α）﹣5|，∴点P到直线y=x﹣5的最短距离为（5﹣2）．故答案为：（5﹣2）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．【解答】解：p：﹣2≤x≤6．（I）∵p是q的充分条件，∴[﹣2，6]是[2﹣m，2+m]的子集∴∴实数m的取值范围是[4，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）当m=5时，q：﹣3≤x≤7．据题意有，p与q一真一假．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）p真q假时，由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）p假q真时，由．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴实数x的取值范围为[﹣3，﹣2）∪（6，7]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）17．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为，试求椭圆C的标准方程．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为，∴，解得a=，c=，∴b2=3﹣2=1．∴椭圆C的标准方程是：．18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）证明面AED⊥面A1FD1（3）求AE与平面D1EF所成的角的余弦值．【解答】（1）证明：由于AD⊥DD1，AD⊥CD，则AD⊥平面CDD1C1，D1F⊂平面CDD1C1，则AD⊥D1F；（2）证明：取AB的中点G，连接FG，A1G，易得D1FGA1为平行四边形，则D1F∥A1G，在正方形ABB1A1中，tan∠A1GA==2，tan，即有∠A1GA+∠EAB=90°，即有AE⊥A1G，即有AE⊥D1F，又AD⊥D1F，则D1F⊥平面AED，D1F⊂平面A1D1F，则面AED⊥面A1FD1；（3）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方形的边长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），D1（0，0，2），F（0，1，0），=（0，2，1），=（﹣2，﹣1，﹣1），=（0，1，﹣2），设平面D1EF的法向量为=（x，y，z），则由可得，=0，即﹣2x﹣y﹣z=0，，可得，=0，即有y﹣2z=0，则取=（﹣3，4，2），cos＜，＞==，设AE与平面D1EF所成的角为θ，则sinθ=，cosθ=．则AE与平面D1EF所成的角的余弦值为．19．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．【解答】解：方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NE∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP∵，∴，，∴所以AB与MD所成角的大小为．（3）∵AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，∵，，∴，所以点B到平面OCD的距离为．方法二（向量法）作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），，，O（0，0，2），M（0，0，1），（1），，设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0即取，解得∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，∴MN∥平面OCD．（2）设AB与MD所成的角为θ，∵∴，∴，AB与MD所成角的大小为．（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，由，得d==所以点B到平面OCD的距离为．20．（13分）已知点A（0，﹣2），B（0，4），动点P满足•=y2﹣8．（1）求动点P的轨迹方程；（2）已知直线y=x+与（1）所求曲线交于A、B两点，求弦长AB及△OAB的面积．【解答】解：（1）A（0，﹣2），B（0，4），∵动点P（x，y）满足•=y2﹣8，∴（﹣x，﹣2﹣y）•（﹣x，4﹣y）=y2﹣8，∴x2+y2﹣2y﹣8=y2﹣8，化为x2=2y．∴动点P的轨迹方程为x2=2y；（2）联立，得2x2﹣4x﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|==．原点O到直线4x﹣4y+1=0的距离为．∴．21．（14分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（x﹣2）2+y2=64相内切（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；（2）设直线l：y=kx+m（其中k，m∈Z）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）圆M：（x﹣2）2+y2=64，圆心M的坐标为（2，0），半径R=8．∵|AM|=4＜R，∴点A（﹣2，0）在圆M内，设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r=|CA|，且|CM|=R﹣r，即∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为（a＞b＞0），则a=4，c=2，∴b2=a2﹣c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为．（2）由消去y 化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=．△1=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣48）＞0．①由消去y 化简整理得：（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12=0，设E（x3，y3），F（x4，y4），则x3+x4=．△2=（﹣2km）2+4（3﹣k2）（m2+12）＞0．②∵，∴（x4﹣x2）+（x3﹣x1）=0，即x1+x2=x3+x4，∴，∴2km=0或，解得k=0或m=0，当k=0时，由①、②得，∵m∈Z，∴m的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3；当m=0时，由①、②得﹣，∵k∈Z，∴k=0．∴满足条件的直线共有9条．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

季延中学2012—2013学年度第一学期期中试卷高二理科数学（分值：150分 时间：120分钟）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．命题“若1x =，则21x =”的否命题．．．是（ ） A ．若1x =，则21x ≠ B ．若21x ≠，则1x ≠ C ．若1x ≠，则21x ≠ D ．若1x ≠，则21x = 2．命题“任意的x ∈R, 2x 4－x 2＋1<0”的否定．．是( ) A ．不存在x ∈R, 2x 4－x 2＋1<0 B ．存在x ∈R, 2x 4－x 2＋1<0 C ．任意的x ∈R, 2x 4－x 2＋1≥0D ．存在x ∈R, 2x 4－x 2＋1≥03．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.221106x y -= D. 221610x y -= 4. 若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F 1(－2,0),F 2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ ）A.22 B. 13 C. 12 D.325. 双曲线2222 1(0,0)x y a b a b-=>>与直线by x m a =+(m ∈R )只有一个公共点的充要条件是 ( )A ．0m >B ．0m <C ．0m =D ．0m ≠6. 在下列四个命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行； ②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三个不共面的向量a 、b 、，则任意一个向量都可唯一表示为c z b y a x p ++=． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．37. 已知(1,0,2),(6,21,2),//a b a b λλμ=+=-，则λ与μ的值分别为（ ）A ．5，2B ．－5，－2C ．11,52D ．11,52--8．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．239．若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相 同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) A ．s m - B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m - 10. 已知A 、B 是抛物线y 2=2px (p >0)上异于原点O 的两点，则“→OA ·→OB =0”是“直线AB 恒过定点(2p , 0)”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）. 11．准线方程为2x =的抛物线的标准方程是__ _ _12．若双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为 . 13．已知三棱锥O —ABC 中，M 、N 分别是棱OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基底{}OC OB OA ,,表示向量，有OG =x OC z OB y OA ++，则x = ， y = ， z =14. 已知平行六面体1111ABCD A BC D -中， AB=4， AD=3， 15AA =， 090BAD ∠=，01160BAA DAA ∠=∠=，则1AC 等于15. 已知直线与椭圆22194x y +=交于,A B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率 为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于 三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 前四题每题13分，最后两题14分)16. 已知命题p ：方程x 2＋2x ＋3－m ＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．已知p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．17．已知椭圆C 的焦点与双曲线2213y x -=的顶点重合，椭圆C 的长轴长为4. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若已知直线m x y +=．当m 为何值时，直线与椭圆有C 公共点？18. 已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标；(2) 设直线l 的斜率为k ，当线段AB 的长等于5时，求k 的值．19. 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AB AE ⊥,,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面（III ）求二面角F BD A --的余弦值.20．如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，AD=1，点E 是SD 上的点，且(0DE λλ=< （Ⅰ）设二面角C —AE —D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD所成的角为ϕ，若cos sin θϕ=，求λ的值.（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，线段BE 上是否存在一点M ，使得M 不与B 、E 重合，且直线CM 与AE 所成的角为60，若存在，求:EM MB 的值；若不存在，试说明理由.21.已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，焦距为 （1）求椭圆的方程； （2）已知直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．季延中学2012—2013学年度第一学期期中试卷高二理科数学答题卡一、选择题：（共12题，每题5分，共50分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11． 12. 13. x= ，y= ，z=14. 15.三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.，共80分)16.17.18.1920.21．高二理科数学期中考试参考答案 一、选择题CDACD BCAAB二、填空题 11 y 2=--8x; 1235 或45;13 16 13 1349- 三、解答题16解:若方程x 2＋mx ＋1＝0有两不等的实根，则⊿=4(m -2)>0解得m ＞2，即p ：m ＞2.---3分若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0， 解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3. ---6分 因p 或q 为真，所以p ，q 至少有一为真， 又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，---8分 即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得m ≥3或1＜m ≤2. ---13分17解：（1）2214y x += ------------------6分 （2）把直线方程m x y +=代入椭圆方程2244x y +=得()2244x x m ++=，即225240x mx m ++-=．-------9分()()222245416800m m m ∆=-⨯⨯-=-+≥，------11分解得m ≤-------1318解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1) |AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x , 得y ＝±2 3.∴点A 为(3,23)或(3，－23)-5分(2)直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0（*），---8分 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2. -----9分 由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2=5，解得k =±2 ------13分19.解: 因AB AE ⊥又因为平面AB ABCD ABEF =⋂平面，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AD AE ⊥,即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系,----------1分 (I) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B ∵︒=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠，从而），，－（21210F)21,21,0(--=EF ，)0,0,1(),1,1,0(=-=于是021210=-+=⋅，0=⋅∴EF ⊥BE ,EF ⊥BC∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，B BE BC =⋂∴EF BCE ⊥平面--------5分（II ）)0,21,1(),21,0,0(P M ，从而)21,21,1(--= 于是041410)21,21,0()21,21,1(=-+=--⋅--=⋅∴PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ， PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE --8分（III ）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n ＝（),,z y x)21,23,0(),0,1,1(-=-=, ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-021230z y y x 取1=y ，则1=x ，3=z ，从而1n ＝（1，1，3）----10分，取平面ABD 的一个法向量为)1,0,0(2=n,111131113cos 21=⋅=⋅>=<n n n n 、--12分， 二面角F BD A -----13分 20.（Ⅰ）解：以D 为原点，,,DA DC DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），E （0，0，λ），-------1分(1,0,),(0,1,),(1,1,)EA EC BE λλλ=-=-=--设平面ACE 的法向量为n =(x ，y ，z)，则由n EA EC ⊥⊥，n 得1,(,,1)0x z z n y z λλλλ-=⎧==⎨-=⎩，取得--------------4分 易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为.(0,0,2),(0,1,0)DS DC ==与 2||||sin ,cos ||||||||22DS BE DC n DS BE DC n ϕθλλ⋅⋅====+由cos sin θϕ=得21,0=1λλλ=<<又因为.-------------8分（Ⅱ）可设EM tEB =（0<t<1），由（Ⅰ）得，(1,0,1)AE =-，(1,1,1)EB =-，(0,1,1)CE =-所以(1,0,1)(,,)(1,,1)CM CE EM t t t t t t =+=-+-=--，---------11分 由||1|cos ,|cos60,2||||2AE CM AE CM AE CM ⋅<>===⋅得，解得t=0(舍去)或t=0.8,此时EM ：MB=4:1------------------14分 21解（1）由33=a b ，2222a b c -== ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ……………………4分 （2）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ……………………6分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，或1-=m直线EF 的方程为： 01=+-y x 或10x y ++=……………………9分（3）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ．………………12分解得67=k ，此时（*）方程0>∆，∴存在67=k ，满足题设条件．…………14分。

A 福建省晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一,选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．若命题p ：2是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A ．“p ∨q”为假 B ．“p ∨q”为真 C ．“p ∧q”为真 D ．以上都不对2．抛物线2ax y =的准线方程为02=+y ，则a 的值是（ ）A ．8B ．8-C ．81D ．81-3、如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点， 若a B A =11，,,111c A A b D A ==则下列向量中与M B 1相等的是（ ）A ．c+- Bc++ C c+- D ．c++4、平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.下列有关选项正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题 . B ．“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2230x x --≤”.D ．已知命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∃∈，使得210x x +-≥.6．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．67．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC=++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD =60º，且A1A=3，则A1C 的长为（ ） AB． CD9．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A.12B.22 C ．－12D ．010．已知直线1l ：4x －3y ＋6＝0和直线2l ：x ＝－1，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 命题：“若，则”的逆否命题是12．与双曲线110622=-y x 有共同的焦点，且离心率23=e 的双曲线方程为 13. 椭圆的两焦点12(4,0),(4,0)F F -，点P 在椭圆上，若12PF F ∆的面积最大为12，则椭圆方程为14．已知向量p 在基底{c b a ,,}下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底 {c ,,-+}下的坐标为15. 设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△2ABF 为锐角三角形,则该椭圆离心率e 的取值范围是三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分，写出必要的解题过程）16，抛物线x y 82=的焦点是F ，倾斜角为45°的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|＝85，求直线l 的方程．11x -<<21x <BDACEF BCAB 1C 1A 1NMP17．推理判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x2＋(2a ＋1)x ＋a2＋2≤0有解，则a≥1”的逆否命题的真假．18．如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点．(1)求异面直线AB 与EF 所成角的余弦值；(2)求E 到平面ACD 的距离；(3)求EF 与平面ACD 所成角的正弦值．19.已知P为椭圆1422=+y x上的任意一点，O 为坐标原点，M 在线段OP 上，且OM =（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线0263=-+y x 与M 的轨迹相交于B A ,两点，求OAB ∆的面积20．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直底面，11===AC AB AA ，AC AB ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在直线11B A 上，且111B A A λ= （1）证明：无论λ取何值，总有PN AM ⊥（2）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大，并求该角取最大值时的正切值。