高中数学人教B版(2019)必修第一册同步学典：(12)不等式的解集

2.2.1 不等式及其性质一、单选题1．下列结论正确的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则11a b >C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则22a b > 【答案】C【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A;若a b >，0c ≤时，则ac bc ≤，故A 错；对于B;若取1,0a b ==，则1b 无意义，故B 错； 对于C ；根据不等式的可加性可知：若a b >，则a c b c +>+，故C 正确；对于D;若取1,2a b ==-，但22a b <,故D 错；故选：C2．若,,R a b c ∈，则下列命题为假命题的是（ ）A a b a b >B ．若a b >，则ac bc >C ．若0b a >>，则11a b> D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】B【分析】根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：因为a b >，所以0a b >≥，故选项A 正确；对B ：因为a b >，R c ∈，所以当0c >时，ac bc >；当0c 时，ac bc =；当0c <时，ac bc <，故选项B 错误；对C ：因为0b a >>，所以由不等式的性质可得110a b >>，故选项C 正确； 对D ：因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故选项D 正确.故选：B.3．已知][0,1,2,4a b a b ⎡⎤-∈+∈⎣⎦.则42a b -的取值范围是（ ）A ．[]1,5B ．[]1,6C ．[]2,7D ．[]28, 【答案】C【分析】用,a b a b -+表示42a b -，由此求得42a b -的取值范围.【详解】因为[][]0,1,2,4a b a b -∈+∈，且()()423a b a b a b -=++-，而[]()[]2,4,30,3a b a b +∈-∈，所以322044a b ≤≤+-+，即[]422,7a b -∈.故选：C4．某赛季足球比赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队打完15场共得33分．若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有（ ）种A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A 【分析】首先设该球队胜x 场，平y 场，负z 场，则x 、y 、z 是非负整数，根据题意可得方程组15333x y z x y ++=⎧⎨+=⎩①②，然后根据取值范围，即可求得答案．【详解】解：设该球队胜x 场，平y 场，负z 场，则x 、y 、z 是非负整数，且满足15333x y z x y ++=⎧⎨+=⎩①②， 由②得3(11)y x =-，代入②得2(9)z x =-，又015y ≤≤，015z ≤≤，∴0115097.5x x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩， 911x ∴≤≤，当9x =时，6y =，0z =，当10x =时，3y =，2z =，当11x =时，0y =，4z =，∴比赛结果是：胜9场、平6场，或是胜10，平3场，负2场，或是胜11场、负4场，共3种． 故选：A ．5．设()227M a a =-+，()()23N a a =--，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N >B ．M NC ．M N <D ．无法确定 【答案】A【分析】利用作差法解出M N -的结果，然后与0进行比较，即可得到答案【详解】解：因为()227M a a =-+，()()23N a a =--，所以()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭， ②M N >，故选：A6．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（ ） A ．41000.5x ⨯< B ．41000.5x ⨯≥ C ．41000.5x ⨯≤ D ．41000.5x ⨯> 【答案】B【分析】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案.【详解】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x 秒， 人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41000.5x ⨯≥． 故选：B ．7．已知2a =73b =62c =a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】B【分析】通过作差法，237a b -=+-，确定符号，排除D 选项；通过作差法，226a c -=-，确定符号，排除C 选项；通过作差法，()()7263b c -=+-+，确定符号，排除A 选项； 【详解】由237a b -=+-，且2(23)5267+=+>，故a b >；由226a c -=-且2(22)86=>，故a c >；()()7263b c -=+-+且()()22639218921472+=+>+=+，故c b >.所以a c b >>，故选：B .8．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9z x y =-的取值范围是（ ） A ．{}726z z -≤≤B ．{}120z z -≤≤C ．{}415z z ≤≤D ．{}115z z ≤≤ 【答案】B【分析】令m x y =-，4n x y =-，可得85933z x y n m =-=-，再根据,m n 的范围求解即可. 【详解】令m x y =-，4n x y =-，则343n m x n my -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以85933z x y n m =-=-．因为41m -≤≤-，所以5520333m ≤-≤．因为15n -≤≤，所以8840333n -≤≤，所以120z -≤≤. 故选：B二、多选题9．如果0a b <<，0c d <<，那么下列不等式一定成立的是（ ）A ．a d b c +>+B ．ac bd >C ．d c a a <D ．22a ab b << 【答案】BC 【分析】利用赋值法及不等式的性质即可求解.【详解】解：取2a c ==-，1b d ==-，则3a d b c +=+=-，故选项A 错误；因为0a b <<，0c d <<，所以0a b ->->，0c d ->->，所以ac bd >，故选项B 正确； 因为0c d <<，10a <，所以d c a a<，故选项C 正确； 因为0a b ->->，所以2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，故选项D 错误．故选：BC.10．（多选）对于实数a ，b ，c ，下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则2a b a b +>> B ．若0a b >>，则a ab b > C ．若0a b <<，0c >，则b c b a c a ->- D ．若0ac <，a b c <<，则0b c a -< 【答案】AB【分析】根据作差比较法及不等式的性质，逐一分析各选项即可求解.【详解】解：对于A ：因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a b b +--=>，所以2a b a b +>>，故A 为真命题；对于B ：因为0a b >>，1a a ab b=>，所以a ab >，同理可得ab b >，即a ab b >>，故B 为真命题； 对于C ：因为0a b <<，0c >，所以()()()()()0b c a a c b c b a b c b a c a a c a a c a ------==<---，故C 为假命题； 对于D ：因为0ac <，a b c <<，所以0a <，0c >，0b c -<，所以0b c a ->，故D 为假命题． 故选：AB ．三、填空题11．（x +1）（x +5）与（x +3）2的大小关系为__.【答案】（x +1）（x +5）＜（x +3）2【分析】作差，判断差的符号，即可得到答案.【详解】解：（x +1）（x +5）﹣（x +3）2＝﹣4＜0，②（x +1）（x +5）＜（x +3）2，故答案为：（x +1）（x +5）＜（x +3）212．如果不等式1ax <的解集1x a>，则a 的取值范围是_________. 【答案】0a < 【分析】由于不等式1ax <是含参不等式，对a 进行分类讨论来解即可.【详解】不等式1ax <的解集1x a>，0a ∴≥皆不满足题意，0a ∴<． 故答案为：0a <. 13．不等式组21x ⎧⎨-≤⎩的整数解共有________个. 【答案】4【分析】取不等式1x -<和21x -≤的解集的交集，结合x 是整数即可确定所有的整数解.【详解】由1x -<得：1x >-，由21x -≤得：3x ≤，②不等式组的解集是13x -<≤，②不等式组的整数解是0，1，2，3，共4个．故答案为：414．已知a b c ∈R 、、，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)②若a b >，则22;ac bc > ②若0a b >>，则11a b <; ②若0b a>，则0ab >; ②若a b c >>，则||||a b b c +>+. 【答案】②②【分析】②取0c 检验即可；②和②利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；②取1,0,2a b c ===-检验即可【详解】②若a b >，当0c 时，则22ac bc =，故②错误；②若0a b >>，不等式两边同时乘以1ab ，则110a b <<，故②正确； ②若0b a>，不等式两边同时乘以2a ，则0ab >，故②正确； ②若a b c >>，当1,0,2a b c ===-时，则||||a b b c +<+，故②错误；故答案为：②②四、解答题15．（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知410,24a b <<<<，求a b的取值范围； （3）已知12,224a b a b <-<<+<，求4a b -的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）15a b<<；（3）5410a b <-<． 【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式.（2）先求出1b 的范围，从而可求a b的取值范围. （3）根据()()432a b a b a b -=-++可求4a b -的取值范围．【详解】（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-,则a c b d ->-．（2）因为410,24a b <<<<，所以11142b <<， 所以115a b <⨯<，所以15a b<<. （3）已知12,224a b a b <-<<+<，因为()()432a b a b a b -=-++，所以5410a b <-<16．已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=．(1)若0a b <<，求证：b a a c b c<--； (2)若0,0a b <<，1abc =，求c 的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；（2）由已知得c a b =--，且1c ab =，利用基本不等式可求3c 的最值，进而得解. (1)证明：由0a b <<，且0a b c ++=，得0c >，0a b ->->， 故0c a c b ->->，所以110c a c b <<--， 所以b ac a c b --<--，即b a a c b c <--； (2)解：由0a b c ++=且1abc =，得c a b =--，且1c ab =， 所以2232212()2224a b ab a b a b c c c a b ab ab b a b a ++=⋅=+⋅==++≥⋅+=， 当且仅当a b b a=，即a b =时取等号， 所以c 的最小值为34．。

2，当且仅当
3
≥2
=

3
×
3

=2
3
时，等号成立.

∵ab＞0，∴等号成立的条件是 3a=b
3.（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
（1）设两个正数为、 ，由题意知 = 49
∵ > 0, > 0
问题：
1. 算数平均值是两点的中点，那么几何平均值有什么几何意义？
2. 算数平均值与几何平均值存不存在特殊的大小关系呢？
情景与问题
1.设一个矩形的长和宽分别为a和b：
① 求与该矩形周长相等的正方形的边长？
② 求与该矩形面积相等的正方形的边长？
a
b
l 2(a b)
S ab
ab
l 2(a b)
+
≥
2
当且仅当a=b时，等号成立.
新知探索
试一试：证明均值不等式.
证明： 因为, 都是正数，所以
+
+ − 2 ( − )2
− =
=
≥0
2
2
2
即
+
2
≥ .
且等号成立时，当且仅当( − )2 = 0,即 = .
新知探索
思考：能否通过重要不等式证明均值不等式？
∴当 = 1时，取得最小值2.
典例精析




例2 已知 > 0,求证 + ≥ 2,并推导出等号成立的条件.


∵ab＞0，∴ ＞0， ＞0

202X
高一数学必修 第一册 2019(B版)(人教版)
演讲人
202X-06-08
目录
01. 第一章 集合与常用逻辑用语 02. 第二章 等式与不等式 03. 第三章 函数
01 第一章 集合与常用逻辑用语

用第
逻一
辑章
用 语
集 合
与
常
0 1Байду номын сангаас
1.1集合
0 2
1.1.1集合及其
表示方法
0 3
1.1.2集合的基
本关系
0 4
1.1.3集合的基
本运算
0 5
1.2 常用逻辑
用语
0 6
1.2.1命题与量
词
第一章 集合与常 用逻辑用语
1.2.2 全称量词命题与存在量词 命题的否定 1.2.3 充分条件、必要条件
02 第二章 等式与不等式
第二章 等 式与不等 式
0 1
2.1等式
0 2
2.1.1 等式的性 质与方程的解集
0 3
2.1.2一元二次 方程的解集及其 根与系数的关系
0 4
2.1.3方程组的 解集
0 5
2.2不等式
0 6
2.2.1不等式及 其性质
第二章 等式与不 等式
2.2.2不等式的解集 2.2.3一元二次不等式的解法 2.2.4均值不等式及其应用
03 第三章 函数
第三章 函数
3.1函数的 概念与性质
3.3函数的
01
应 用 ( 一 ) 06
3.1.1 函 数及其表 02 示 方 法
3.2函数
05
与方程、
不等式之
间的关系
04

《2.2.2 不等式的解集》学历案（第一课时）一、学习主题本节课的学习主题是“不等式的解集”。

我们将通过学习，掌握不等式的基本性质，理解不等式解集的概念，并学会运用数轴、集合等方式来求解不等式，理解不同类型不等式的解法及步骤。

二、学习目标1. 理解不等式解集的基本概念和表示方法，如用数轴表示解集、解集的区间表示等。

2. 掌握不等式的基本性质和求解步骤，包括简单不等式的解法和特殊不等式的处理。

3. 能够通过实际操作和计算，熟练掌握利用数轴或集合方法求解一元一次、一元二次不等式等基本问题。

4. 培养学生对数学问题主动探索和自主学习的能力，提高学生的数学逻辑思维和问题解决能力。

三、评价任务本课的学习评价将通过以下任务完成：1. 概念理解评价：学生能否正确理解并表述不等式解集的概念及其在数轴上的表示方法。

2. 操作技能评价：学生能否正确运用数轴或集合方法求解一元一次、一元二次不等式等基本问题。

3. 思维逻辑评价：学生能否在解题过程中展现出清晰的逻辑思维，正确运用不等式的基本性质和求解步骤。

4. 课堂表现与作业完成情况：观察学生在课堂上的表现及课后作业的完成情况，评价其学习态度和自主学习能力。

四、学习过程1. 导入新课：回顾前述关于等式的知识，引出不等式的概念，简要介绍本课学习内容。

2. 新课学习：介绍不等式解集的概念及其在数轴上的表示方法；介绍不同类型不等式的求解步骤及技巧；结合具体例题进行演示。

3. 学生练习：学生自行练习课本中的相关题目，巩固所学知识。

4. 小组讨论：分组进行小组讨论，共同探讨题目解法及疑问，鼓励组内成员相互帮助、共同进步。

5. 教师点评：教师针对学生练习及小组讨论情况进行点评，强调解题关键点及注意事项。

6. 课堂小结：总结本课所学内容，强调重点与难点，为后续学习打下基础。

五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或提问的方式，检测学生对本课所学知识的掌握情况。

2. 课后作业：布置相关习题作为课后作业，巩固所学知识。