2016-2017学年山东省济南市历下区九年级(上)期末数学试卷_0

2016-2017学年山东省济南市长清区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的为（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥2．（3分）若=，则的值为（）A．1 B．C．D．3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2=0 B．（x﹣1）2=1 C．（x﹣1）2=2 D．（x﹣1）2=54．（3分）东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A．x1=0，x2=2 B．x=0 C．x=2 D．x1=0，x2=﹣26．（3分）如图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序进行排列正确的是（）A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（1）（2）C．（4）（3）（2）（1）D．（2）（3）（4）（1）7．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD 于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：29．（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1610．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．11．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）13．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞514．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4 C．2D．15．（3分）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①=；②=；③=；④=其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）16．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=．17．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．18．（3分）如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米．19．（3分）已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是厘米．20．（3分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．21．（3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=．三、解答题（本大题共6题，满分57分）22．（7分）解下列方程：（1）（2x﹣3）2=9（2）3x2﹣10x+6=0．23．（7分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．24．（8分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．25．（8分）甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．26．（9分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．27．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？28．（9分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．（1）求的值；（2）若CD=2，则BP=．2016-2017学年山东省济南市长清区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的为（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥【解答】解：A、圆柱的俯视图为圆，故本选项错误；B、长方体的俯视图为矩形，故本选项正确；C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；D、圆锥的俯视图为圆且圆心处有一圆点，故本选项错误．故选：B．2．（3分）若=，则的值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵=，∴==．故选：D．3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2=0 B．（x﹣1）2=1 C．（x﹣1）2=2 D．（x﹣1）2=5【解答】解：∵x2﹣2x=1，∴x2﹣2x+1=1+1，即（x﹣1）2=2，故选：C．4．（3分）东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵共设有20道试题，创新能力试题4道，∴他选中创新能力试题的概率==．故选：A．5．（3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A．x1=0，x2=2 B．x=0 C．x=2 D．x1=0，x2=﹣2【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故选：A．6．（3分）如图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序进行排列正确的是（）A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（1）（2）C．（4）（3）（2）（1）D．（2）（3）（4）（1）【解答】解：根据平行投影的规律知：顺序为（4）（3）（1）（2）．故选：B．7．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．故选：C．8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD 于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．9．（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：16【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4．故选：A．10．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选：C．11．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：=，故选：D．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．13．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选：B．14．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4 C．2D．【解答】解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=BF=2，在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG===2，故选：C．15．（3分）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①=；②=；③=；④=其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，即=，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴=（）2=（）2=，故②错误；③∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴=△DOE∽△COB∴=∴=，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O．∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO=2OE，△ABC的高=3△BOC的高，且△ABC与△BOC同底（BC）=3S△BOC，∴S△ABC由②和③知，S△ODE=S△COB，S△ADE=S△BOC，∴=．故④正确．综上，①③④正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）16．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=6．【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m2﹣2m=3，∴2m2﹣4m=6，故答案为：6．17．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案为：．18．（3分）如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是6米．【解答】解：设甲的影长是x米，∵BC⊥AC，ED⊥AC，∴△ADE∽△ACB，∴=，∵CD=1m，BC=1.8m，DE=1.5m，∴=，解得：x=6．所以甲的影长是6米．19．（3分）已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是﹣1厘米．【解答】解：由题意得，=，解得：BD=﹣1．故答案为：﹣1．20．（3分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．21．（3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12．【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．三、解答题（本大题共6题，满分57分）22．（7分）解下列方程：（1）（2x﹣3）2=9（2）3x2﹣10x+6=0．【解答】解：（1）直接开平方，得2x﹣3=±3，∴2x﹣3=3或2x﹣3=﹣3，∴x1=3，x2=0；（2）方程两边同时除以3，得移项，得：x2﹣x=﹣2，配方，得x2﹣x+（）2=﹣2+（）2，即．∴，∴x1=，x2=．23．（7分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．（2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF．∴，∴∴DE=10（m）．说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．24．（8分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：6000（1+x）2=8640解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去），答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元），答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．25．（8分）甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．【解答】解：（1）树状图如下：（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，∴两个数字之和能被3整除的概率为，即P（两个数字之和能被3整除）=．26．（9分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．27．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？【解答】解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t．当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6﹣t=2t，解得：t=2（s），所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形．（2）在△QAC中，QA=6﹣t，QA边上的高DC=12，=QA•DC=（6﹣t）•12=36﹣6t．∴S△QAC在△APC中，AP=2t，BC=6，=AP•BC=•2t•6=6t．∴S△APC=S△QAC+S△APC=（36﹣6t）+6t=36（cm2）．∴S四边形QAPC由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）．（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当=时，△QAP∽△ABC，那么有：=，解得t==1.2（s），即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC；②当=时，△PAQ∽△ABC，那么有：=，解得t=3（s），即当t=3s时，△PAQ∽△ABC；所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．28．（9分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．（1）求的值；（2）若CD=2，则BP=6．【解答】解：的值为．提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到==．故答案为：；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴====．∴的值为；（2）当CD=2时，BC=4，AC=6，∴EC=AC=3，EB==5，∴EF=BE=5，BF=10．∵=（已证），∴=，∴BP=BF=×10=6．故答案为6．。

2016-2017学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（﹣6，1）B．（1，6）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）3．（3分）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4．（3分）如果两个相似多边形的面积比为1：4，则它们的相似比为（）A．1：16B．1：4C．1：2D．1：15．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（）A．1B．2C．3D．46．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝5 7．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3）B．图象在第二、四象限C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在双曲线y＝上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 9．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a＝（）A．1B．0C．±1D．﹣110．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个11．（3分）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为（）A．22×17﹣17x﹣22x＝300B．22×17﹣17x﹣22x﹣x2＝300C．（22﹣x）（17﹣x）＝300D．（22+x）（17+x）＝30012．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）A．（8，1）B．（8，2）C．（9，1）D．（9，0）13．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞114．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s），当△PCQ与△ACB相似时，运动时间t的值为（）A．2B．3C．3或3.2D．2或3.2 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．以下四个结论：①＝；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S△ABC＝5S△BDF，其中正确的结论序号是（）A．①④B．①③C．①②③D．②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上）16．（3分）若＝，则的值为．17．（3分）如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为．18．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根为．19．（3分）某乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为cm（结果保留根号）．20．（3分）一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻太阳光下，测得长为1米的竹竿的影长为0.9米，但他在测量树影时，发现因树靠近一墙壁，影子不能全落在地面上，如图所示，他测得墙壁上的影（CD）高为1.2米，测得地面上的影（BD）长为2.7米，则树高米．21．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，且与边BC 交于点E，则点E的坐标为．三、解答题（本大题共7个小题，共57分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（7分）解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（x+2）＝3x+6．23．（7分）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC边的中点，连接AE，过点E 作EF⊥AE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）求DF的长．24．（8分）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．（1）随机抽取一张卡片，求抽到数字为偶数的概率；（2）随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为5的概率．25．（8分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元，根据以往的销售经验，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，并且让顾客得到尽可能多的实惠，那么每箱应降价多少元？26．（9分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣＜0的x的取值范围（3）求△AOB的面积．27．（9分）（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝4，CD＝CE，AE＝2，∠CAE＝45°，连接BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．28．（9分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON 的智慧角；（2）如图1，已知∠MON＝α，若∠APB是∠MON的智慧角，求∠APB的度数（用含α的式子表示）；（3）如图3，C是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．2016-2017学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选：B．2．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（﹣6，1）B．（1，6）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，3），∴k＝2×3＝6，A、∵（﹣6）×1＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；B、∵1×6＝6，∴此点在反比例函数图象上；C、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；D、∵3×（﹣2）＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上．故选：B．3．（3分）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S＝ah，即h＝；是反比例函数，且2S＞0，h＞0；故其图象只在第一象限．故选：D．4．（3分）如果两个相似多边形的面积比为1：4，则它们的相似比为（）A．1：16B．1：4C．1：2D．1：1【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为1：4，∴它们的相似比为1：2．故选：C．5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，故选：B．6．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝5【解答】解：方程移项得：x2+4x＝﹣1，配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3．故选：A．7．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3）B．图象在第二、四象限C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小【解答】解：A、∵反比例函数y＝，∴xy＝3，故图象经过点（1，3），故A选项错误；B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项错误；C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故D选项正确．故选：D．8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在双曲线y＝上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝＝﹣2；当x＝﹣1时，y2＝＝﹣4；当x＝2时，y3＝＝2．∵﹣4＜﹣2＜2，∴y2＜y1＜y3．故选：A．9．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a＝（）A．1B．0C．±1D．﹣1【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0，得：a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，故选：D．10．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个【解答】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有30次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，故盒子中大约有白球：4÷＝12（个）．故选：A．11．（3分）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为（）A．22×17﹣17x﹣22x＝300B．22×17﹣17x﹣22x﹣x2＝300C．（22﹣x）（17﹣x）＝300D．（22+x）（17+x）＝300【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）＝300，故选：C．12．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）A．（8，1）B．（8，2）C．（9，1）D．（9，0）【解答】解：延长EB、DA交于点P，则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），故选：D．13．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．故选：C．14．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s），当△PCQ与△ACB相似时，运动时间t的值为（）A．2B．3C．3或3.2D．2或3.2【解答】解：∵运动时间为ts，则CP＝t，CQ＝8﹣2t，∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，∴当△PCQ与△ACB相似时，有∠CPQ＝∠B或∠CPQ＝∠A，当∠CPQ＝∠B时，则有，即＝，解得t＝2；当∠CPQ＝∠A时，则有＝，即，解得t＝．综上可知，当点P、Q同时运动2秒或秒后，△PCQ与△ACB相似，故选：D．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．以下四个结论：①＝；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S△ABC＝5S△BDF，其中正确的结论序号是（）A．①④B．①③C．①②③D．②③④【解答】解：∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCD+∠CBG＝90°，在△ABC和△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，∵点D是AB的中点，∴BD＝AB，∴AG＝BC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴＝，∵BA＝BC，∴＝，故①正确；设AB＝BC＝2x，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD＝AG＝x，在Rt△DBC中，DC＝＝x，∴BG＝DC＝x，∵△AFG∽△CFB，∴＝＝，∴FG＝FB＝BG＝，∵∠DBE＝∠DCB＝90°﹣∠BDC，∠BED＝∠CBD，∴＝，即＝，∴BE＝x，∴FE＝BG﹣GF﹣BE＝x，∴FG≠FE，故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴＝＝，∴AF＝AC，∵AC＝AB，∴AF＝AB，故③正确；过点F作MF⊥AB于M，则FM∥CB，∴＝＝，∵＝，∴＝＝•＝×＝，即S△ABC＝6S△BDF，故④错误；故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上）16．（3分）若＝，则的值为．【解答】解：∵＝，∴＝1+＝1+＝．故答案为：．17．（3分）如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为6．【解答】解：根据题意可知：S△ABO＝|k|＝3，由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6．故答案为：6．18．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根为﹣3．【解答】解：设方程另一根为t，根据题意得2t＝﹣6，解得t＝﹣3．故答案为﹣3．19．（3分）某乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为（40﹣40）cm（结果保留根号）．【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，故答案为：（40﹣40）．20．（3分）一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻太阳光下，测得长为1米的竹竿的影长为0.9米，但他在测量树影时，发现因树靠近一墙壁，影子不能全落在地面上，如图所示，他测得墙壁上的影（CD）高为1.2米，测得地面上的影（BD）长为2.7米，则树高 4.2米．【解答】解：如图所示，延长AC交BD的延长线于点E，∵∠E＝∠E，∠CDE＝∠ABD＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴，即，∴AB＝1.2×∵同一时刻太阳光，∴，解得，DE＝1.08，∴AB＝1.2×＝4.2．答：树高为4.2米，方法二：设地面上的影长2.7米时的树高为x米，根据题意得，＝，∴x＝3，∴树高为3+1.2＝4.2（m），故答案为：4.2．21．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，且与边BC 交于点E，则点E的坐标为（2，7）．【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB＝∠DF A＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC，∴∠OAB+∠DAF＝90°，∴∠ABO＝∠DAF，∴△AOB∽△DF A，∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，∵AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6），∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，∴DF＝2，AF＝4，∴OF＝OA+AF＝7，∴点D的坐标为：（7，2），∴反比例函数的解析式为：y＝①，点C的坐标为：（4，8），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x+6②，联立①②得：或（舍去），∴点E的坐标为：（2，7）．故答案为：（2，7）．三、解答题（本大题共7个小题，共57分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（7分）解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（x+2）＝3x+6．【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1；（2）x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．23．（7分）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC边的中点，连接AE，过点E 作EF⊥AE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）求DF的长．【解答】（1）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵∠AEB+∠EAB＝90°，∴∠FEC＝∠EAB，又∵∠ABE＝∠ECF＝90°，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴＝，又∵E为BC边的中点，∴BE＝EC＝，∴＝＝，又∵BE＝＝2，∴CF＝1，∴DF＝DC﹣CF＝4﹣1＝3．24．（8分）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．（1）随机抽取一张卡片，求抽到数字为偶数的概率；（2）随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为5的概率．【解答】解：（1）∵四张正面分别标有数字1，2，3，4，其中数字为偶数的有2和4两个数，∴随机抽取一张卡片，求抽到数字为偶数的概率是＝；（2）根据题意画图如下：共有16种的可能的情况数，其中两次数字和为5的有4种，则两次数字和为5的概率实数＝．25．（8分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元，根据以往的销售经验，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，并且让顾客得到尽可能多的实惠，那么每箱应降价多少元？【解答】解：设每箱降价x元，则每箱的利润为（120﹣x）元，每天可售出（100+2x）箱，依题意，得：（120﹣x）（100+2x）＝14000，整理，得：x2﹣70x+1000＝0，解得：x1＝20，x2＝50，又∵要让顾客得到尽可能多的实惠，∴x＝50．答：每箱应降价50元．26．（9分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣＜0的x的取值范围（3）求△AOB的面积．【解答】解：（1）点A（1，6）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝6×1＝6，∴反比例函数的表达式为y＝，∵点B（3，n）也在反比例函数的图象上，∴n＝2，即B（3，2）把点A（1，6），点B（3，2）代入一次函数y＝kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；（2）∵A的坐标为（1，6），B的坐标为（3，2），∴kx+b﹣＜0的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3；（3）设直线AB与x轴的交点为D，令﹣2x+8＝0，得x＝4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×6﹣×4×2＝8，答：△AOB的面积是8．27．（9分）（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝4，CD＝CE，AE＝2，∠CAE＝45°，连接BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．【解答】解：（1）证明：①∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，又∵AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4，∵∠BAC＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在Rt△BAE中，AB＝4，AE＝2，∴BE＝6，∴AD＝6；（2）如图2，连接BE，在Rt△ACB中，∠ABC＝∠CED＝30°，tan30°＝＝，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴，∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝90°，在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝30°，∴AB＝6，∵AE＝8，∴BE＝10，∴AD＝．28．（9分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON 的智慧角；（2）如图1，已知∠MON＝α，若∠APB是∠MON的智慧角，求∠APB的度数（用含α的式子表示）；（3）如图3，C是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．【解答】（1）证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，∴∠OAP+∠APO＝135°，∵∠APB＝135°，∴∠APO+∠OPB＝135°，∴∠OAP＝∠OPB，∴△AOP∽△POB，∴，∴OP2＝OA•OB，∴∠APB是∠MON的智慧角；（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，∴OA•OB＝OP2，∴，∵P为∠MON的平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝α，∴△AOP∽△POB，∴∠OAP＝∠OPB，∴∠APB＝∠OPB+∠OP A＝∠OAP+∠OP A＝180°﹣α，即∠APB＝180°﹣α；（3）设点C（a，b），则ab＝4，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图1所示：BC＝2CA不可能；当点A在x轴的正半轴上时，如图2所示：∵BC＝2CA，∴，∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO，，∴OB＝3b，OA＝，∴OA•OB＝•3b＝＝18，∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴OP＝＝＝3，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：（3，3）；②当点B在y轴的负半轴上时，如图3所示：∵BC＝2CA，∴AB＝CA，在△ACH和△ABO中，∠AHC＝∠AOB，∠BAO＝∠CAH，CA＝AB，∴△ACH≌△ABO（AAS），∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，∴OA•OB＝a•b＝2，∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴OP＝＝，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：（1，﹣1）；综上所述：点P的坐标为：（3，3）或（1，﹣1）．。

2016-2017学年山东省泰安市泰山区初三上学期期末数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．）1．（3分）如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（）A．B．C．D．2．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＞B．k＜C．k=D．k≤3．（3分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠ADC=33°，则∠ACB 等于（）A．57°B．66°C．67°D．44°4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．cosC=B．cosC=C．cosC=D．cosC=5．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．55°6．（3分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．27．（3分）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=﹣1，若y＞0，则x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1B．x＜﹣3或x＞1C．﹣4＜x＜l D．x＜﹣4或x＞1 8．（3分）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠B=135°，则的长（）A．B．πC．D．2π10．（3分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm11．（3分）如图，△ABC中，AB=7cm，AC=8cm，BC=6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（）A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm 12．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是（）A．B．C．﹣D．﹣13．（3分）如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为（）A．4米B．（2+2）米C．（4﹣4）米D．（4﹣4）米14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF 并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°15．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A．B．C．D．216．（3分）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A（6，m），与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A．50B．40C．30D．2017．（3分）已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．18．（3分）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，已知⊙O的半径为3，则阴影部分的面积是（）A．B．C．2πD．3π19．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x=﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a+b=0；③若点B（﹣3，y1）、C（﹣4，y2）为函数图象上的两点，则y2＜y1；④a+b+c=0．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．420．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB 交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则AE：BC的值等于（）A．1：B．：C．：2D．2：3二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案直接填在对应题的横线上）21．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=．22．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为．23．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B两点，点B的坐标为（7，0），与y轴相交于点C（0，3），点D（5，3）在该抛物线上，则点A的坐标是．24．（3分）如图，是某圆锥工件的三视图，则此工件的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；．（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC26．（8分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）27．（8分）某水果销售店在试销售成本为每千克2元的某种水果，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克4元．经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式；（2）设水果销售店试销该种水果期间每天获得的利润为W元，求W的最大值．28．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长．29．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣l，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点M是直线BC上方的抛物线上的一动点，当△MBC的面积最大时，求点M的坐标和△MBC的最大面积；（4）设点P为抛物线的顶点，连接PC，试判断PC与BC是否垂直？2016-2017学年山东省泰安市泰山区初三上学期期末数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．）1．（3分）如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（）A．B．C．D．【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选：B．2．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＞B．k＜C．k=D．k≤【分析】根据反比例函数图象所在象限可得2k﹣1＜0，解出不等式的解集，再确定k的值．【解答】解：由题意得：2k﹣1＜0，解得：k＜，故选：B．3．（3分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠ADC=33°，则∠ACB 等于（）A．57°B．66°C．67°D．44°【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B=∠D=33°，又由BC是⊙O的直径，利用半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠BAC=90°，继而可求得∠ACB的度数．【解答】解：∵∠B与∠D是弧AC对的圆周角，∴∠B=∠D=33°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=90°﹣∠B=90°﹣33°=57°．故选：A．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．cosC=B．cosC=C．cosC=D．cosC=【分析】根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：cosC===cos∠BAD=，故选：C．5．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．55°【分析】连接OC，由圆周角定理可求得∠COD，由切线的性质可知∠OCD=90°，则可求得∠D．【解答】解：连接OC，则∠COD=2∠A=50°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠D=90°∠COD=40°，故选：C．6．（3分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．2【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．故选：B．7．（3分）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=﹣1，若y＞0，则x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1B．x＜﹣3或x＞1C．﹣4＜x＜l D．x＜﹣4或x＞1【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【解答】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故选：A．8．（3分）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以通过列表的方法写出所有的可能性，从而可以得到所得结果之和为9的概率．【解答】解：由题意可得，同时投掷这两枚骰子，所得的所有结果是：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），则所有结果之和是：2、3、4、5、6、7、3、4、5、6、7、8、4、5、6、7、8、9、5、6、7、8、9、10、6、7、8、9、10、11、7、8、9、10、11、12，∴所得结果之和为9的概率是：，故选：C．9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠B=135°，则的长（）A．B．πC．D．2π【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．【解答】解：连接OA、OC，∵∠B=135°，∴∠D=180°﹣135°=45°，∴∠AOC=90°，则的长==π．故选：C．10．（3分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm，∴圆锥的底面周长为60πcm，∴扇形的弧长为60πcm，设扇形的半径为r，则=60π，解得：r=40cm，故选：A．11．（3分）如图，△ABC中，AB=7cm，AC=8cm，BC=6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（）A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm【分析】先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO=∠EOA，∠FOB=∠FBO，于是得到EO=EA，OF=FB，故此可得到EF=AE+BF，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB．∵点O是△ABC的内心，∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．∴∠EAO=∠BAO，∠FBO=∠ABO．∵EF∥BA，∴∠EOA=∠OAB，∠FOB=∠OBA．∴∠EAO=∠EOA，∠FOB=∠FBO．∴EO=EA，OF=FB．∴EF=AE+BF，∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+EA+CF+FB=CA+CB=14，故选：A．12．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴=S△ABO﹣S扇形OBD计算即可．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB，∵OC=OB，∠C=30°，∴∠C=∠OBC=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，在RT△ABO中，∵∠ABO=90°，AB=，∠A=30°，∴OB=1，∴S阴=S△ABO﹣S扇形OBD=×1×﹣=﹣．故选：C．13．（3分）如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为（）A．4米B．（2+2）米C．（4﹣4）米D．（4﹣4）米【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，∴CM=MB•tan30°=12×=4，在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，∴∠MAD=∠MDA=45°，∴MD=AM=4米，∴CD=CM﹣DM=（4﹣4）米，故选：D．14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF 并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣110°=70°．∵=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=70°﹣25°=45°．故选：A．15．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A．B．C．D．2【分析】设点A在点B的左侧，过点C作CD⊥AB于点D，将y=0代入y=x2﹣2x ﹣3中即可求出点A、B的坐标，再利用配方法将抛物线的解析式由一般式变形为顶点式，由此即可得出点C的坐标，结合正切的定义即可得出tan∠CAB 的值．【解答】解：设点A在点B的左侧，过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．令y=x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴点A（﹣1，0），点B（3，0）．∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴点C（1，﹣4），∴点D（1，0）．∵AD=1﹣（﹣1）=2，CD=0﹣（﹣4）=4，∴tan∠CAB===2．故选：D．16．（3分）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A（6，m），与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A．50B．40C．30D．20【分析】连接AB，过点A作AD⊥x轴于点D，根据菱形的性质即可得出OA∥BC、OB=OA，由△AOF和△AOB有共同的底OA结合平行线的性质即可得出S△AOF=S ，再根据点A的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点A △AOB的坐标，进而得出OB、AD的长度，利用三角形的面积公式即可求出S的△AOB 值，此题得解．【解答】解：连接AB，过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．∵四边形OACB是菱形，∴OA∥BC，OB=OA，又∵△AOF和△AOB有共同的底OA，=S△AOB．∴S△AOF∵反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A（6，m），∴6m=48，m=8，∴OB=OA==10，AD=8，=S△AOB=OB•AD=×10×8=40．∴S△AOF故选：B．17．（3分）已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】观察二次函数图象，找出a＞0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的关系，即可得出结论．【解答】解：观察二次函数图象，发现：抛物线的顶点坐标在第四象限，即a＞0，﹣b＜0，∴a＞0，b＞0．∵反比例函数y=中ab＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限；∵一次函数y=ax+b，a＞0，b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限．故选：B．18．（3分）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，已知⊙O的半径为3，则阴影部分的面积是（）A．B．C．2πD．3π【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2求解．∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC【解答】解；如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，∵OD=AO，∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴阴影部分的面积=S==3π，扇形AOC故选：D．19．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x=﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a+b=0；③若点B（﹣3，y1）、C（﹣4，y2）为函数图象上的两点，则y2＜y1；④a+b+c=0．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数图象的性质即可判断．【解答】解：由图象可知：开口向下，故a＜0，抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵对称轴为x=﹣2，∴﹣=﹣2，∴b=4a，∴4a﹣b=0，故②不正确；当x＜﹣2时，此时y随x的增大而增大，∵﹣3＞﹣4，∴y1＞y2，故③正确；∵图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x=﹣2，∴点A关于x=﹣2对称点的坐标为：（1，0）令x=1代入y=ax2+bx+c，∴y=a+b+c=0，故④正确故选：C．20．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB 交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则AE：BC的值等于（）A．1：B．：C．：2D．2：3【分析】连接BE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据余弦的定义用AB表示出BC，根据弦、弧、圆心角的关系得到AE=BE，根据勾股定理用AB表示出AE，计算即可．【解答】解：连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴BC=AB×cosB=AB，∵CE平分∠ACB，∴=，∴AE=BE=AB，∴AE：BC=AB：AB=：，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案直接填在对应题的横线上）21．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=．【分析】连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC 中，根据余弦的定义即可得到结果．【解答】解：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为：．22．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为﹣6．【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．【解答】解：连接AC，交y轴于点D，∵四边形ABCO为菱形，∴AC⊥OB，且CD=AD，BD=OD，∵菱形OABC的面积为12，∴△CDO的面积为3，∴|k|=6，∵反比例函数图象位于第二象限，∴k＜0，则k=﹣6．故答案为：﹣6．23．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B两点，点B的坐标为（7，0），与y轴相交于点C（0，3），点D（5，3）在该抛物线上，则点A的坐标是（﹣2，0）．【分析】由点C、D在抛物线上可得出抛物线的对称轴为x=，再根据点B的坐标利用抛物线的对称性即可得出点A的坐标．【解答】解：∵点C（0，3）和点D（5，3）均在抛物线y=ax2+bx+c上，∴抛物线的对称轴为x==．∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B两点，点B的坐标为（7，0），∴点A的横坐标为×2﹣7=﹣2．故答案为：（﹣2，0）．24．（3分）如图，是某圆锥工件的三视图，则此工件的表面积为24πcm2．【分析】根据三视图，可得几何体是圆锥，根据勾股定理，可得圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积，根据圆的面积公式，可得圆锥的底面积，可得答案．【解答】解：由三视图，得：OB=3cm，0A=4cm，由勾股定理，得AB==5cm，圆锥的侧面积×6π×5=15π（cm2），圆锥的底面积π×（）2=9π（cm2），圆锥的表面积15π+9π=24π（cm2），故答案为：24πcm2三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S．△ABC【分析】（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B （﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5，=×2×5=5．∴S△ABC26．（8分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）【分析】延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，根据正弦、余弦的定义求出CH、DH，根据正切的定义求出HG，设AB=xm，根据正切的定义求出BG，结合图形列出方程，解方程即可．【解答】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，则CH=CD•cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD•sin∠DCH=4×sin60°=，∵DH⊥BG，∠G=30°，∴HG===6，∴CG=CH+HG=2+6=8，设AB=xm，∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°，∴BC=x，BG==x，∵BG﹣BC=CG，∴x﹣x=8，解得：x==4（+1）（m）答：电线杆的高为x=4（+1）m．27．（8分）某水果销售店在试销售成本为每千克2元的某种水果，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克4元．经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式；（2）设水果销售店试销该种水果期间每天获得的利润为W元，求W的最大值．【分析】（1）根据图象中的数据可以求得y与x的函数解析式；（2）根据题意可以得到W与x的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，再根据x的取值范围即可求得W的最大值．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，则，解得，，∴y与x的函数解析式为y=﹣20x+340，（2≤x≤4）；（2）由已知得，W=（x﹣2）（﹣20x+340）=﹣20（x﹣9.5）2+1125，∵﹣20＜0，∴当x≤9.5时，W随x的增大而增大，∵2≤x≤4，∴当x=4时，W取得最大值，此时W=﹣20（4﹣9.5）2+1125=520，即W的最大值520．28．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长．【分析】（1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD==，则可设OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE==，可得到AE=x，接着表示出BE得到x=，解得x=，于是可得到AE和OD的长．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD==，设OD=3x，则OF=5x，∴AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中，∵sin∠AFE==，∴AE=•8x=x，∵BE=AB﹣AE=6x﹣x=x，∴x=，解得x=，∴AE=•=6，OD=3•=，即⊙O的半径长为．29．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣l，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点M是直线BC上方的抛物线上的一动点，当△MBC的面积最大时，求点M的坐标和△MBC的最大面积；（4）设点P为抛物线的顶点，连接PC，试判断PC与BC是否垂直？【分析】（1）把A、C两点坐标代入，结合对称轴公式，可得到关于a、b、c的方程组，可求得抛物线解析式；（2）利用抛物线的对称性可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC 的解析式；（3）可设出M点坐标，过M作MD交直线BC于点D，则可用M点的坐标表示出MD的长，则可表示出△MCB的面积，根据二次函数的性质求得△MBC的最大值和M点的坐标；（4）由P、B、C的坐标可求得PB、PC和BC的长，由勾股定理的逆定理可证得△PBC为直角三角形，可证明PC⊥BC．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0），C（0，3）两点，且对称轴为直线x=﹣1，根据题意，得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）设直线BC解析式为y=mx+n，∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴B（﹣3，0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x+3；（3）设点M的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），如图1，过M作MD∥y轴，交直线BC于点D，则D（t，t+3），∵点M是直线BC上方的抛物线上的一动点，∴MD=﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）=﹣t2﹣3t，S△MBC=MD•OB=×3×（﹣t2﹣3t）=×（﹣t2﹣3t）=﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴当t=﹣时，S最大，最大值为，此时点M的坐标为（﹣，）；△MBC（4）如图2，连接PB，过点P作PN⊥y轴于点N．由（1）可得顶点P的坐标为（﹣1，4），∴PN=1，ON=4，∵B（﹣3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴PB2=（3﹣1）2+42=20，PC2=12+（4﹣3）2=2，BC2=32+32=18，∴PC2+BC2=2+18=20=PB2，∴△PCB为Rt△，∠PCB=90°，∴PC⊥BC．。

2016-2017学年山东省济宁市初三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题满分30分，每小题3分，每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题框内）1．（3分）下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A．B．C．D．3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）4．（3分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（）A．（4，）B．（4，2）C．（4，4）D．（2，）6．（3分）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A．B．C．2D．8．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴为直线x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A．﹣1B．0C．1D．39．（3分）如图，某数学兴趣小组将长为6，宽为3的矩形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形BAD的面积为（）A．3B．18C．9D．610．（3分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）冬季移栽兰花苗对成活率有影响，苗木基地相同条件下实验数据如下：移栽10株有9株成活，移栽1000株有950株成活，则估计该兰花移栽成活的概率是．12．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是．13．（3分）两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=°．15．（3分）如图是圆心角为30°，半径分别是1，3，5，7，…的扇形组成的图形，阴影部分的面积一次记为S1、S2、S3、…，则S11=（结果保留π）．三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）16．（6分）计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．17．（6分）某市教育系统举行“中国梦”演讲比赛，希望中学准备从甲、乙、丙三位教师和A、B两名学生中选取一位教师和一名学生参加比赛．（1）若随机选一位教师和一名学生，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中有教师甲和学生A的概率．18．（7分）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）19．（8分）如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB 于点D．（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线．20．（8分）某班同学参加社会公益活动，准备用每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．这种水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）之间的对应关系如表所示：x1011 12 1314 …y200180 160 140 120 …（1）按照满足表中的销售规律，求y与x之间的函数表达式；（2）按照满足表中的销售规律，求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式；（3）在问题（2）条件下，若水果的进货成本每天不超过960元，每天要想获得最大的利润，试确定这种水果的销售单价，并求出该天的最大利润．21．（9分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．22．（11分）（1）已知，如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明．（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论不需证明．2016-2017学年山东省济宁市初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分30分，每小题3分，每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题框内）1．（3分）下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；故选：C．2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理，得BC===4．cosB==，故选：B．3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）【分析】已知抛物线y=（x﹣2）2是顶点式，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为抛物线y=（x﹣2）2是顶点式，顶点坐标是（2，0）．故选：A．4．（3分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（）A．B．C．D．【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少即可．【解答】解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：5÷（30+25+5）=5÷60=故选：A．5．（3分）如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（）A．（4，）B．（4，2）C．（4，4）D．（2，）【分析】过点P作PC⊥AB于点C，利用垂径定理以及结合点A和点B的坐标即可得出点C的坐标，即可得出AC的长度，从而可得出PC的长度，且点P位于第一象限，即可得出P的坐标．【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C；即点C为AB的中点，又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），故点C（4，0）在Rt△PAC中，PA=，AC=2，即有PC=4，即P（4，4）．故选：C．6．（3分）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）在函数y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y=图象上的有（3，4），（4，3）；∴点（a，b）在函数y=图象上的概率是：=．故选：D．7．（3分）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A．B．C．2D．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．【解答】解：∵∠E=∠ABD，∴tan∠AED=tan∠ABD==．故选：D．8．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴为直线x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A．﹣1B．0C．1D．3【分析】根据二次函数对称性可求出点（3，0）关于对称轴直线x=2的对称点为（1，0），然后把（1，0）代入y=ax2+bx+c即可求出答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为2，∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（1，0），∵当x=1时，y=a+b+c=0，∴a+b+c的值等于0．故选：B．9．（3分）如图，某数学兴趣小组将长为6，宽为3的矩形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形BAD的面积为（）A．3B．18C．9D．6【分析】根据已知条件可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形=lr，计算即可．DAB【解答】解：∵矩形的长为6，宽为3，∴AB=CD=6，AD=BC=3，∴弧BD的弧长=6，=lr=×6×6=18．∴S扇形DAB故选：B．10．（3分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2时，S取到最小值为：=0，即可得出图象．【解答】解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，∴tan60°==，解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，∴S=×PA×AB=（2﹣x）••（﹣x+2）=x2﹣2x+2，△ABP故此函数为二次函数，∵a=＞0，∴当x=﹣=2时，S取到最小值为：=0，根据图象得出只有D符合要求．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）冬季移栽兰花苗对成活率有影响，苗木基地相同条件下实验数据如下：移栽10株有9株成活，移栽1000株有950株成活，则估计该兰花移栽成活的概率是0.95．【分析】用大量重复试验下的成活数量除以总数量即可得概率的近似值．【解答】解：估计该兰花移栽成活的概率是=0.95，故答案为：0.95．12．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是y=3（x﹣1）2+3．【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，3），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，3），∴平移后抛物线的解析式为y=3（x﹣1）2+2．故答案是：y=3（x﹣1）2+3．13．（3分）两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是．【分析】画出树状图分析，找出可能出现的情况，再计算即可．【解答】解：画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，两人手势相同有3种，两人手势相同的概率=，故答案为：．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=125°．【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=35°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．【解答】解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，故答案为：125．15．（3分）如图是圆心角为30°，半径分别是1，3，5，7，…的扇形组成的图形，阴影部分的面积一次记为S1、S2、S3、…，则S11=14π（结果保留π）．【分析】由图可知S1=，S2=×3，S3=×5，S4=×7，…S n=×（2n ﹣1），从而得出S11的值．【解答】解：由题意可得出通项公式：S n=×（2n﹣1），即S11=×（2×11﹣1）=14π，故答案为14π．三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）16．（6分）计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=×﹣•=1﹣=．17．（6分）某市教育系统举行“中国梦”演讲比赛，希望中学准备从甲、乙、丙三位教师和A、B两名学生中选取一位教师和一名学生参加比赛．（1）若随机选一位教师和一名学生，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中有教师甲和学生A的概率．【分析】（1）首先根据题意列出表格，由表格求得所有等可能的结果；（2）由表格可求得恰好选中有教师甲和学生A的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）列表得：学生教师A B甲（甲，A）（甲，B）乙（乙，A）（乙，B）丙（丙，A）（丙，B）（2）∵共有6种等可能的结果，选中教师甲和学生A的情况有1种，∴P（恰好选中有教师甲和学生A）=．18．（7分）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）【分析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到AD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可．【解答】解：∵∠C=30°，∠ADB=60°，∴∠DAC=30°，∴AD=CD，∵CD=20米，∴AD=20米，在Rt△ADB中，=sin∠ADB，∴AB=AD×sin60°=20×=10米．19．（8分）如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB 于点D．（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线．【分析】（1）由已知得到△ACD是直角三角形，那么过A，D，C三点作⊙O，根据圆周角是直角所对的弦是直径得，AD为⊙O的直径，所以作AD的中点O 即为圆心，再以点O为圆心，OA长为半径即可作出⊙O．（2）先连接OC，已知已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，能求出∠ACB=120°，在⊙O中OA=OC，得到，∠ACO=∠A=30°，那么∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°，从而推出BC是过A，D，C三点的圆的切线．【解答】解：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆；（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°．∴AD是⊙O的直径连接OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°．∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线．20．（8分）某班同学参加社会公益活动，准备用每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．这种水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）之间的对应关系如表所示：x1011 12 1314 …y200180 160 140 120 …（1）按照满足表中的销售规律，求y与x之间的函数表达式；（2）按照满足表中的销售规律，求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式；（3）在问题（2）条件下，若水果的进货成本每天不超过960元，每天要想获得最大的利润，试确定这种水果的销售单价，并求出该天的最大利润．【分析】（1）根据表格中的数据可知y与x之间的函数表达式符合一次函数的解析式，然后设出相应的表达式代入数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据题意和第一问中的表达式可以求得每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式；（3）根据在问题（2）条件下，若水果的进货成本每天不超过960元，可以求得每天要想获得最大的利润，这种水果的销售单价，和该天的最大利润．【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式是y=kx+b，由题意可得，解得k=﹣20，b=400，级y与x之间的函数表达式是：y=﹣20x+400；（2）由题意可得，W=（x﹣6）×（﹣20x+400）=﹣20x2+520x﹣2400，即每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式为：W=﹣20x2+520x﹣2400；（3）由题意可得，0＜6（﹣20x+400）≤960，解得12≤x＜20，∵W=﹣20x2+520x﹣2400，对称轴为：x=﹣，﹣20＜0，∴当x=13时，W取得最大值，此时W=﹣20×132+520×13﹣2400=980，即每天要想获得最大的利润，这种水果的销售单价是13元，该天的最大利润是980元．21．（9分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．【解答】解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．又∵∠DCE=∠OCB．∴∠DAC=∠DCE．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==2．∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA．∴，即．解得：DE=．∴AE=AD﹣DE=．22．（11分）（1）已知，如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明．（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论不需证明．【分析】（1）结论：PA=PB+PC．延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE 是等边三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）结论：PA=PC+PB．过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．（3）结论：PA=PB+PC．在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．【解答】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°，∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，如图2，∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，∴∠APB=45°，∴BP=BE，∴PE=PB，在△ABE和△CBP中，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC=AE，∴PA=AE+PE=PC+PB；（3）PA=PC+PB．证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，如图3，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，在△ABQ和△CBP中，∴△ABQ≌△CBP（SAS），∴BQ=BP，∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴PQ=PB，∴PA=PQ+AQ=PC+PB．。