第二节点、直线与圆的位置关系,青海五年中考命题规律)9性海省中考，,青海五年中考真题)点与圆、圆与圆的位置关系1．(2014西宁中考)⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，R ，d 是方程x 2－4x ＋m ＝0的两根，当直线l 与⊙O 相切时，m 的值为__4__．切线的判定与性质2．(2017青海中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，点E 在BC 边上，且满足EB ＝ED.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)连接AE ，若∠C＝45°，AB ＝102，求sin ∠CAE 的值．解：(1)连接OD ，BD.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.∵ED＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD，∵∠ABC ＝90°，∴∠OBD ＋∠EBD＝90°，∴∠ODB ＋∠EDB＝90°，即OD⊥DE.∵D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；(2)∵过点E 作EF⊥AC 于点F ，∴∠C ＝45°，∠ABC ＝90°，∴∠CAB ＝45°，∴BC ＝AB ＝10 2.在△BDC 中，∵∠C ＝45°，∠BDC ＝90°，∴∠DBC ＝45°.∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD＝45°，∴∠EDC ＝90°－∠EDB＝45°，∴∠EDC ＝∠C，∴ED ＝EC ，∴EB ＝EC ＝5 2.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝AB2＋BE2＝（102）2＋（52）2＝510.在Rt △EFC 中，同理可得FE ＝5，∴在Rt △AFE 中，sin ∠FAE ＝FE AE ＝5510＝1010，即sin ∠CAE ＝1010. 3．(2016青海中考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点M ，BE ⊥CD 于点E. (1)求证：∠BME ＝∠MAB； (2)求证：BM 2＝BE·AB；(3)若BE ＝185，sin ∠BAM ＝35，求线段AM 的长．解：(1)连接OM.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AMO ＋∠BMO＝90°.∵CD 是⊙O 的切线，∴∠BMO ＋∠BME＝90°，∴∠AMO ＝∠BME.又∵OA＝OM ，∴∠AMO ＝∠MAB，∴∠BME ＝∠MAB；(2)∵BE⊥CD，∴∠BEM ＝90°，∴∠BEM ＝∠BMA.又∵∠BME＝∠BAM(已证)，∴△AMB ∽△MEB ，∴AB BM ＝BMBE ，即BM 2＝BE·AB；(3)∵∠BME＝∠BAM，∴sin ∠BME ＝sin ∠BAM ＝35，∴BE BM ＝35，∴BM ＝53BE ＝53×185＝6.AB ＝BM 2÷BE ＝62÷185＝10.∴AM＝AB2－BM2＝102－62＝8.4．(2015青海中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线，交CO 的延长线于点M ，CM 交⊙O 于点D.(1)求证：AM ＝AC ； (2)若AC ＝3，求MC 的长．解：(1)连接AD ，OA ，则AD⊥AC. ∵AC ︵＝AC ︵，∴∠ADC ＝∠B＝60°， ∴∠ACM ＝30°.∵∠ADC ＝60°，OA ＝OD ，∴△OAD 为等边三角形，∴∠AOM ＝60°.又∵AM 为⊙O 切线，∴∠OAM ＝90°，∴∠M ＝30°. 又∵∠ACM＝30°，∴AC ＝AM ；(2)在Rt △AOM 中，∠AMO ＝30°，AM ＝3， OA ＝AM·tan 30°＝3×33＝3， ∴OM ＝2OA ＝23， 即CM ＝OC ＋OM ＝3 3.5．(2013青海中考)如图，已知△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，D 是AB ︵的中点，过点D 作直线BC 的垂线，分别交CB ，CA 的延长线于点E ，F.(1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)若EF ＝8，EC ＝6，求⊙O 的半径． 解：(1)连接OD 交AB 于点G.∵D 是AB ︵的中点，OD 为半径，∴AG ＝BG. ∵AO ＝OC ，∴OG 是△ABC 的中位线， ∴OG ∥BC ，即OD∥CE.又∵CE⊥EF，∴OD ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵在Rt △CEF 中，CE ＝6，EF ＝8，∴CF ＝10. 设半径OC ＝OD ＝r ，则OF ＝10－r. ∵OD ∥CE ，∴△FOD ∽△FCE ，∴FO FC ＝ODCE ，∴10－r 10＝r 6，∴r ＝154， 即⊙O 的半径为154.6．(2017西宁中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB ＝10，AE ＝8，求BF 的长． 解：(1)连接OD ，AD. ∵DE 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DE. ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°. ∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点．又∵O 是AB 中点，∴OD ∥AC ，∴DE ⊥AC ； (2)∵AB＝10，∴OB ＝O D ＝5， 由(1)得OD∥AC，∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE ＝OF AF ＝BF ＋OB BF ＋AB. 设BF ＝x ，AE ＝8，∴58＝x ＋5x ＋10，解得x ＝103，经检验，x ＝103是原分式方程的根，且符合题意，∴BF ＝103.7．(2016西宁中考)如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，BC ＝6，AD BD ＝23，求BE 的长．解：(1)连接OD ，OE.∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°， 即∠ADO ＋∠BDO＝90°. ∵OB ＝OD ， ∴∠CBD ＝∠BDO.∵∠CDA ＝∠CBD，∴∠CDA ＝∠BDO. ∴∠CDA ＋∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°， ∴OD ⊥CE ，即CD 是⊙O 的切线． (2)∵CD 是⊙O 的切线，EB 为⊙O 的切线，∴ED ＝EB ，OE ⊥DB ，∴∠ABD ＋∠DBE＝90°，∴∠OEB ＋∠DBE＝90°，∴∠ABD ＝∠OEB.又∵tan ∠ABD ＝AD BD ＝23，∴tan ∠OEB ＝OB BE ＝23.∵∠C＝∠C，∠CDO ＝∠CBE，∴△CDO ∽△CBE ，∴CD CB ＝OD BE ＝OB BE ＝23，∴CD ＝23×6＝4.在Rt △CBE 中，设BE ＝x ，由勾股定理，得(x ＋4)2＝x 2＋62，解得x ＝52，∴BE 的长为52.,中考考点清单)点与圆的位置关系(设r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离)1.位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外 数量(d 与r)的大小关系,__d ＜r__,__d ＝r__,__d ＞r__ 直线与圆的位置关系(设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)2.位置关系,相离,相切,相交 公共点个数,0,1,2公共点的名称,无,切点,交点数量关系,__d ＞r__,__d ＝r__,__d ＜r__切线的性质与判定3．判定切线的方法有三种：(1)利用切线的定义，即与圆有__唯一公共点__的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；(3)经过半径的外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线． 4．切线的五个性质：(1)切线与圆只有__一个__公共点； (2)切线到圆心的距离等于圆的__半径__； (3)切线垂直于经过切点的__半径__；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__； (5)经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．5．切线判定中常作的辅助线：(1)能确定直线和圆有公共点，作__半径__，证__垂直__； (2)不能确定直线和圆是否有公共点，作__垂直__，证__半径__．切线长定理6．经过圆外一点作圆的切线，这点与__切点__之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__．三角形的外心和内心7．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形__三边垂直平分线__的交点，到__三角形三个顶点的距离__相等．8．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形__三条角平分线__的交点，到__三角形三边的距离__相等．【方法点拨】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．3．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R ＝c 2；(2)直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c2.,中考重难点突破)点与圆和直线与圆的位置关系【例1】(连云港中考)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( )A ．22＜r ＜17B .17＜r ＜3 2C .17＜r ＜5D ．5＜r ＜29【解析】点A 与离其较近的4个点之间的距离分别为22，17，32，若恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为17＜r＜3 2.【答案】B1．(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为(A) A．E，F，G B．F，G，H C．G，H，E D．H，E，F,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－2与⊙O的位置关系是(B)A．相离B．相切C．相交D．以上三种情形都有可能切线的性质及判定【例2】(2017金华中考)如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E 是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．【解析】(1)利用切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证；(2)①根据(1)得出的AD∥OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG ＝CG，根据等边对等角得出CG＝OG＝FG＝2，再根据勾股定理得出GE，从而求出EF＝GE－FG.【答案】解：(1)∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAO；(2)①∵AD∥OC，∠DAO＝105°，∴∠EOC＝∠DAO＝105°.∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°；②作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝22，∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2，∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝23，∴EF＝GE－FG＝23－2.3．如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是⊙O 的直径，过点A 的切线与CB 的延长线交于点E. (1)求证：EA 2＝EB·EC；(2)若EA ＝AC ，cos ∠EAB ＝45，AE ＝12，求⊙O 的半径．解：(1)连接BD.∵AE 是切线，∴∠EAB ＋∠BAD＝90°.∵∠BDA ＋∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠BDA，且∠BDA ＝∠C，∴∠EAB ＝∠C.∵∠E 是公共角，∴△BAE ∽△ACE ，∴EA EC ＝EB EA ，∴EA 2＝EB·EC；(2)过点B 作BH⊥AE 于点H.∵EA＝AC ， ∴∠E ＝∠C.∵∠EAB＝∠C，∴∠EAB ＝∠E， ∴AB ＝EB ，∴AH ＝EH ＝12AE ＝12×12＝6.∵cos ∠EAB ＝45，∴cos E ＝45，∴在Rt △BEH 中，BE ＝EH cosE ＝152，∴AB ＝152.∵AD 是直径，∴∠ABD ＝90°.∵∠D ＝∠C，∴cos D ＝45，∴sin D ＝35，∴AD ＝AB sinD ＝252，∴⊙O 的半径为254.。
第二节点、直线与圆的位置关系,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2017解答24 切线的判定运用等边对等角得出90°的角，运用等腰直角三角形的性质和勾股定理求三角函数值9 92016解答25 切线的性质切线的性质与直径所对的圆周角为90°，解直角三角形的综合应用9 92015解答26 切线的性质利用切线的性质、圆周角定理及推论，解直角三角形，证线段相等和计算8 82014填空8 切线的性质利用切线长相等，求角2 22013解答26 切线的性质(1)切线的判定；(2)利用圆的有关性质求圆的半径9 9命题规律纵观青海省五年中考，直线与圆的位置关系，一般以解答题的形式出现，涉2～3问，其中至少一问是证明，一问是计算，难度中等、综合性较强．预计2018年青海省中考，切线的判定与性质仍为重点考查内容，应强化训练.,青海五年中考真题)点与圆、圆与圆的位置关系1．(2014西宁中考)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为__4__．切线的判定与性质2．(2017青海中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E在BC边上，且满足EB＝ED.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连接AE，若∠C＝45°，AB＝102，求sin∠CAE的值．解：(1)连接OD，BD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD，∵∠ABC＝90°，∴∠OBD＋∠EBD＝90°，∴∠ODB＋∠EDB＝90°，即OD⊥DE.∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)∵过点E作EF⊥AC于点F，∴∠C＝45°，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝45°，∴BC＝AB＝10 2.在△BDC 中，∵∠C＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DBC＝45°.∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴∠EDC＝90°－∠EDB＝45°，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴EB＝EC＝5 2.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB2＋BE2＝（102）2＋（52）2＝510.在Rt△EFC中，同理可得FE＝5，∴在Rt△AFE中，sin∠FAE＝FEAE＝5510＝10 10，即sin∠CAE＝1010.3．(2016青海中考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E.(1)求证：∠BME＝∠MAB；(2)求证：BM 2＝BE·AB；(3)若BE ＝185，sin ∠BAM ＝35，求线段AM 的长．解：(1)连接OM.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AMO ＋∠BMO＝90°.∵CD 是⊙O 的切线，∴∠BMO ＋∠BME＝90°，∴∠AMO ＝∠BME.又∵OA＝OM ，∴∠AMO ＝∠MAB，∴∠BME ＝∠MAB；(2)∵BE⊥CD，∴∠BEM ＝90°，∴∠BEM ＝∠BMA.又∵∠BME＝∠BAM(已证)，∴△AMB ∽△MEB ，∴AB BM ＝BMBE ，即BM 2＝BE·AB；(3)∵∠BME＝∠BAM，∴sin ∠BME ＝sin ∠BAM ＝35，∴BE BM ＝35，∴BM ＝53BE ＝53×185＝6.AB ＝BM 2÷BE ＝62÷185＝10.∴AM＝AB 2－BM 2＝102－62＝8.4．(2015青海中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线，交CO 的延长线于点M ，CM 交⊙O 于点D.(1)求证：AM ＝AC ； (2)若AC ＝3，求MC 的长．解：(1)连接AD ，OA ，则AD⊥AC.∵AC ︵＝AC ︵，∴∠ADC ＝∠B＝60°， ∴∠ACM ＝30°.∵∠ADC ＝60°，OA ＝OD ，∴△OAD 为等边三角形，∴∠AOM ＝60°.又∵AM 为⊙O 切线，∴∠OAM ＝90°，∴∠M ＝30°. 又∵∠ACM＝30°，∴AC ＝AM ；(2)在Rt △AOM 中，∠AMO ＝30°，AM ＝3， OA ＝AM·tan 30°＝3×33＝3， ∴OM ＝2OA ＝23， 即CM ＝OC ＋OM ＝3 3.5．(2013青海中考)如图，已知△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，D 是AB ︵的中点，过点D 作直线BC 的垂线，分别交CB ，CA 的延长线于点E ，F.(1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)若EF ＝8，EC ＝6，求⊙O 的半径． 解：(1)连接OD 交AB 于点G.∵D 是AB ︵的中点，OD 为半径，∴AG ＝BG. ∵AO ＝OC ，∴OG 是△ABC 的中位线， ∴OG ∥BC ，即OD∥CE.又∵CE⊥EF，∴OD ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线． (2)∵在Rt △CEF 中，CE ＝6，EF ＝8，∴CF ＝10.设半径OC ＝OD ＝r ，则OF ＝10－r. ∵OD ∥CE ，∴△FOD ∽△FCE ，∴FO FC ＝ODCE ，∴10－r 10＝r 6，∴r ＝154， 即⊙O 的半径为154.6．(2017西宁中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB ＝10，AE ＝8，求BF 的长． 解：(1)连接OD ，AD. ∵DE 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DE. ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°. ∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点．又∵O 是AB 中点，∴OD ∥AC ，∴DE ⊥AC ； (2)∵AB＝10，∴OB ＝O D ＝5， 由(1)得OD∥AC，∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE ＝OF AF ＝BF ＋OB BF ＋AB. 设BF ＝x ，AE ＝8，∴58＝x ＋5x ＋10，解得x ＝103，经检验，x ＝103是原分式方程的根，且符合题意，∴BF ＝103.7．(2016西宁中考)如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，BC ＝6，AD BD ＝23，求BE 的长．解：(1)连接OD ，OE.∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°， 即∠ADO ＋∠BDO＝90°. ∵OB ＝OD ， ∴∠CBD ＝∠BDO.∵∠CDA ＝∠CBD，∴∠CDA ＝∠BDO. ∴∠CDA ＋∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°， ∴OD ⊥CE ，即CD 是⊙O 的切线． (2)∵CD 是⊙O 的切线，EB 为⊙O 的切线，∴ED ＝EB ，OE ⊥DB ，∴∠ABD ＋∠DBE＝90°，∴∠OEB ＋∠DBE＝90°，∴∠ABD ＝∠OEB.又∵tan ∠ABD ＝AD BD ＝23，∴tan ∠OEB ＝OB BE ＝23.∵∠C＝∠C，∠CDO ＝∠CBE，∴△CDO ∽△CBE ，∴CD CB ＝OD BE ＝OB BE ＝23，∴CD ＝23×6＝4.在Rt △CBE 中，设BE ＝x ，由勾股定理，得(x ＋4)2＝x 2＋62，解得x ＝52，∴BE 的长为52.,中考考点清单)点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离) 1.位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外数量(d与r)的大小关系,__d＜r__,__d＝r__,__d＞r__直线与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)2.位置关系,相离,相切,相交公共点个数,0,1,2公共点的名称,无,切点,交点数量关系,__d＞r__,__d＝r__,__d＜r__切线的性质与判定3．判定切线的方法有三种：(1)利用切线的定义，即与圆有__唯一公共点__的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；(3)经过半径的外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．4．切线的五个性质：(1)切线与圆只有__一个__公共点；(2)切线到圆心的距离等于圆的__半径__；(3)切线垂直于经过切点的__半径__；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；(5)经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．5．切线判定中常作的辅助线：(1)能确定直线和圆有公共点，作__半径__，证__垂直__；(2)不能确定直线和圆是否有公共点，作__垂直__，证__半径__．切线长定理6．经过圆外一点作圆的切线，这点与__切点__之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__．三角形的外心和内心7．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形__三边垂直平分线__的交点，到__三角形三个顶点的距离__相等．8．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形__三条角平分线__的交点，到__三角形三边的距离__相等．【方法点拨】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．3．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R ＝c 2；(2)直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c2.,中考重难点突破)点与圆和直线与圆的位置关系【例1】(连云港中考)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( )A．22＜r＜17 B.17＜r＜3 2C.17＜r＜5 D．5＜r＜29【解析】点A与离其较近的4个点之间的距离分别为22，17，32，若恰好有3个在圆内，则r的取值范围为17＜r＜3 2.【答案】B1．(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( A)A．E，F，G B．F，G，H C．G，H，E D．H，E，F,(第1题图)),(第2题图))2．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－2与⊙O的位置关系是( B) A．相离B．相切C．相交D．以上三种情形都有可能切线的性质及判定【例2】(2017金华中考)如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E 是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．【解析】(1)利用切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证；(2)①根据(1)得出的AD∥OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG ＝CG，根据等边对等角得出CG＝OG＝FG＝2，再根据勾股定理得出GE，从而求出EF＝GE－FG.【答案】解：(1)∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAO；(2)①∵AD∥OC，∠DAO＝105°，∴∠EOC＝∠DAO＝105°.∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°；②作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝22，∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2，∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝23，∴EF＝GE－FG＝23－2.3．如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是⊙O 的直径，过点A 的切线与CB 的延长线交于点E. (1)求证：EA 2＝EB·EC；(2)若EA ＝AC ，cos ∠EAB ＝45，AE ＝12，求⊙O 的半径．解：(1)连接BD.∵AE 是切线，∴∠EAB ＋∠BAD＝90°.∵∠BDA ＋∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠BDA，且∠BDA ＝∠C，∴∠EAB ＝∠C.∵∠E 是公共角，∴△BAE ∽△ACE ，∴EA EC ＝EB EA ，∴EA 2＝EB·EC；(2)过点B 作BH⊥AE 于点H.∵EA＝AC ， ∴∠E ＝∠C.∵∠EAB＝∠C，∴∠EAB ＝∠E， ∴AB ＝EB ，∴AH ＝EH ＝12AE ＝12×12＝6.∵cos ∠EAB ＝45，∴cos E ＝45，∴在Rt △BEH 中，BE ＝EH cos E ＝152，∴AB ＝152.∵AD 是直径，∴∠ABD ＝90°.∵∠D ＝∠C，∴cos D ＝45，∴sin D ＝35，∴AD ＝AB sin D ＝252，∴⊙O 的半径为254.。
中考数学人教版专题复习：正多边形与圆的位置关系一、教学内容正多边形和圆1.正多边形的有关概念.2.正多边形和圆的关系.3.正多边形的有关计算.二、知识要点1.正多边形的定义各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形（即等边三角形）、正四边形（即正方形）、正五边形、正六边形、正n边形等.2.正多边形与圆的关系（1）从圆的角度看：等分圆周可获得正多边形，把圆分成n（n≥3）等份.①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.（2）从正多边形的角度看：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.13.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心.（2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.（3）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（即正多边形的内切圆的半径）.（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.正多边形的每一个中心角的度数是360°n.ORB1A1B2A2B3A3Cr4.正n边形的对称性当n为奇数时，正n边形只是轴对称图形；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.5.一些特殊正多边形的计算公式边数n内角A n中心角αn半径R 边长a n边心距r n周长P n面积S n360°120°R3R12R 33R343R2490°90°R2R22R42R 2R26120°60°R R32R6R323R22三、重点难点重点是正多边形的概念和计算，难点是正确理解正多边形和圆的关系.【典型例题】例1.如图所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________.线段正三角形正方形正五边形正六边形（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（3）（5）评析：因正方形、正六边形的边数为偶数，所以线段、正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.例2.（1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是__________.（2）正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于__________，中心角是__________.分析：利用正多边形的内角和及中心角的计算公式求解.（1）依题意得360°n＝24°，∴n＝15.（2）n×45°＝360°，∴n＝8.由内角和公式得（8－2）·180°＝1080°，∴中心角为360°8＝45°.解：（1）15，（2）1080°，45°.例3.如图所示，小明同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴在一个圆形纸片上.若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，求该圆的半径.34A BCOD分析：由题意知这个三角形是圆的内接正三角形.解：如图所示，连结OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则正△ABC 的中心角＝360°3＝120°，∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBD ＝90°－∠BOD ＝30°，∴OD ＝12BO .又BD ＝12BC ＝12×12＝6（cm ），∴OB 2－OD 2＝62，即OB 2－（12OB ）2＝62， ∴OB ＝43cm .评析：把实际问题转化为正三角形的外接圆的问题是解题的关键.例4. 已知圆内接正方形的面积为8，求同圆内接正六边形的面积.分析：解决问题的关键是“同圆”，通过圆的半径可以把正方形的条件转化为正六边形的条件，从而解决问题.解：由正方形的面积为8，可知正方形的边长为22，设该圆半径为R ，正六边形的边长和边心距分别为a 6和r 6. 则2R ＝4，a 6＝R ，r 6＝32·a 6.∴S 6＝6×12a 6·r 6＝6×12×2×32×2＝63.例5. 用折纸的方法，可直接剪出一个正五边形（如图所示）方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等份的线折叠，再沿CD 剪5开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于（ ）A . 108°B . 90°C . 72°D . 60°AB ABOOCD分析：本题考查学生的动手能力和灵活运用所学知识的能力，这里的O 点是所剪正五边形的中心，由题可知∠COD ＝36°，所以剪得的三角形正好是五边形一边和两条半径所构成的三角形的一半，所以∠OCD ＝90°. 解：B例6. 如图（1）、（2）、（3）、…、（n ），M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON .（1）求图（1）中∠MON 的度数；（2）图（2）中∠MON 的度数是__________，图（3）中∠MON 的度数是__________； （3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.分析：（1）连接OB 、OC ，注意△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝120°. （2）同理，由△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝90°. （3）由（1）（2）知，∠MON ＝∠BOC ，即∠MON ＝∠BOC ＝90°.A BCO M N A B C DOM N BC D E O MN ABOM…(1)(2)(3)(n )A解：（1）方法一：连接OB 、OC ，∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120° 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，6∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA 、OB ，∵正△ABC 内接于⊙O . AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. 又∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN ， 又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. （2）图（2）中，∠MON ＝360°4＝90°，图（3）中，∠MON ＝360°5＝72°. （3）图（n ）中，∠MON ＝360°n .评析：（1）△OBM 与△O CN 是旋转全等三角形. 图（1）中△OCN 绕点O 顺时针旋转120°，与△OBM 重合；图（2）旋转90°，图（3）旋转72°……. （2）注意由特殊到一般的思想，归纳出∠MON ＝360°n .【方法总结】1. 正n 边形的中心角为360°n ，与正n 边形的一个外角相等，与正n 边形的一个内角互补. 求中心角常用以上方法.2. 正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系式为R 2＝r 2＋（12a ）2，这是把正n 边形分成了2n 个全等的直角三角形，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题.【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题1. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 62.下列命题中正确的是（）A.正多边形都是中心对称图形B.正多边形一个内角的大小与边数成正比C.正多边形一个外角的大小随边数的增加而减小D.边数大于3的正多边形对角线都相等3.一个正多边形的中心角是36°，则其一定是（）A.正五边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形4.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A.两角互余B.两角互补C.两角互余或互补D.不能确定5.圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）A. 2∶1B. 1∶2C.3∶4D.3∶26.下列命题中：①三边都相等的三角形是正三角形；②四边都相等的四边形是正四边形；③四角都相等的四边形是正四边形；④各边都相等的圆的内接多边形是正多边形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7.已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①︵AB＝︵BC＝︵CD＝︵DA；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.则在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正四边形的条件共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个**8. A点是半圆上一个三等分点，B点是︵AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）7M NA. 1B.22C. 2 D.3－1二、填空题1.用一张圆形的纸片剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小为__________cm.2.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正__________边形.3.正十边形至少绕中心旋转__________度，它与原正十边形重合.4.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是__________.5.正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是__________cm.*6.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形的大理石密铺，从里向外共铺了12层（不包括正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形.若正中央正六边形地砖的边长为0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是__________.三、解答题1.解答下列各题：89（1）分别求出正十边形、正十二边形的中心角.（2）已知一个正多边形的一个中心角为18°，求它的内角的度数. （3）正六边形的两条平行边间的距离为12cm ，求它的外接圆的半径.2. 如图所示，求中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形ABCDEF 的各个顶点坐标.3. 用一块半径R ＝60cm 的圆形木料，做“八仙桌”（正方形）桌面或“八角桌”（正八边形）桌面，哪个面积大？大多少？（结果保留三个有效数字）**4. 请阅读，完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：A A A BBB CCCD DO OOM M M NNN E图1图2图3…（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM ＝AN ，连接BN 、CM ，发现BN ＝CM ，且∠NOC ＝60°. 请证明：∠NOC ＝60°.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、DM ，那么AN ＝__________，且∠DON ＝__________度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、EM ，那么AN ＝__________，且∠EON ＝__________度.（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________.1011【试题答案】一、选择题1. B2. C3. D4. B5. B6. B7. C8. C （解析：如图所示，作点B 关于直线MN 的对称点B ’，连结OB ’，PB ’，BB ’.M N二、填空题1. 42. 七3. 364. S 6＞S 4＞S 35. 26. 39米三、解答题1. （1）正十边形的中心角为360°10＝36°，正十二边形的中心角是360°12＝30°. （2）中心角为18°的正多边形的边数为36018＝20，正二十边形的内角为（20－2）·180°20＝162°. （3）由题意得r 6＝6（cm ），由于正六边形的边长与半径相等，∴R 2＝（12R ）2＋r 62，∴34R 2＝36，R ＝43（cm ）.2. A （－4，0）、B （－2，－23）、C （2，－23）、D （4，0）、E （2，23）、F （－2，23）3. “八仙桌”的面积为7200平方厘米，“八角桌”的面积为72002平方厘米，所以“八角桌”比“八仙桌”的面积大2980平方厘米.4. （1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，在△ABN 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠A ＝∠ABCAN ＝BM，∴△ABN ≌△BCM . ∴∠ABN ＝∠BCM . 又∵∠ABN ＋∠OBC ＝60°，∴∠BCM＋∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°.（2）在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°.（3）在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°.（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（n－2）·180°n.12。
