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初中数学规律探索(二)

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初中数学规律探索(二)：
1、在如图所示的44正方形网格中．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ 。

2、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。

2112 211S 3122 222S 
4132
233S

…… ……
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律．

（2）推算出10OA的长．

（3）求出210232221SSSS的值．

3、在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0）．将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点
P1，延长OP1到点P＝2，使OP2＝2OP1；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P3，延长OP
3

到点P4，使OP4＝2OP3；……如此继续下去．求：

⑴ 点P2的坐标； ⑵ 点P2003的坐标．
4、 （1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐
角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦
值的大小。
（3）比较大小（在空格处填写“＜”，或“＞”，或“＝” 号）：
若a＝45°，则sinα cosα；若α＜45°，则sinα cosα；
若α＞45°，则sinα cosα。
（4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小．sin10° 、
cos30°、sin50° 、cos70°
5、如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面．操作过程如下：第
1次剪裁，将圆形纸板等分为４个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个．．再等分成４个扇形；

以后按照第２次的作法进行下去．
（１） 你在⊙O中，用尺规作出第２次剪裁后得到的７个扇形（保留痕迹，不写作法）；
（２） 你通过操作和猜想，将第３、第４和第n次裁剪后所得扇形的总个数（s）填入下表．
等分圆及扇形面的次数（n） １ ２ ３ ４ …… n
所得扇形的总个数（s） ４ ７ ……
（３） 请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？

6、如图，正三角形ABC的边长为1cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1；将线段BP
1

绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2；将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3；将

线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4……。设nl为扇形Dn的弧长（n=1，2，3……）,回答
下列问题：
（1） 按照要求填表：

根据上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形Dn的弧长能绕地
球赤道一周？（设地球赤道半径为6400km）。

6、斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两岔的高塔上的桥梁，它不须建造桥墩（如右上
图）．右下图中A1B1．A2B2…、A5B5是斜拉桥上5条互相平行的钢索，并且B1B2B3B4B5被均匀地固定在桥上，如
果桥长的钢索A1B1＝80m，最短的钢索A5B5＝20m，那么钢索A2B2、A3B3的长分别为（ ）

A．50m、65m B．50m、35m
C．50m、57.5m D．40m、42.5m

n 1 2 3 4
n
l

·O

BACP1P2P3P
4

b
d
e
c
a

P2P4P3P1P
5

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初中数学找规律常见公式

初中数学找规律常见公式

一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n 位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（三）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是 .解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2 （三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,,144,196,… （第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系（3）取每组的第7个数,求这三个数的和2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差。

初中数学各种规律公式

初中数学各种规律公式

初中数学各种规律公式初中数学中有许多规律和公式，它们是数学知识的基础，也是我们解题的重要工具。

下面就让我们一起来探索一下其中的一些规律和公式吧！1.等差数列的通项公式：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的一种数列。

它的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

这个公式能够帮助我们快速计算等差数列中任意一项的值。

2.等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1 + an)n/2，其中Sn表示前n项和。

这个公式可以帮助我们快速计算等差数列前n项的和。

3.等比数列的通项公式：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的一种数列。

它的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

这个公式能够帮助我们快速计算等比数列中任意一项的值。

4.等比数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn表示前n项和。

这个公式可以帮助我们快速计算等比数列前n项的和。

5.平方差公式：平方差公式是用来计算两个数的平方差的一种公式。

它的表达式为：(a-b)(a+b) = a^2 - b^2。

这个公式在解题中经常用到，特别是在因式分解和方程求解中。

6.勾股定理：勾股定理是平面几何中的重要定理，用于计算直角三角形的边长。

它的表达式为：c^2 = a^2 + b^2，其中c表示斜边的长度，a和b 表示两个直角边的长度。

勾股定理在解决直角三角形相关问题时非常有用。

7.平行四边形面积公式：平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且长度相等。

平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到，即S = a * h。

这个公式可以帮助我们快速计算平行四边形的面积。

8.正方形面积公式：正方形是一种特殊的四边形，它的四条边相等且相互垂直。

正方形的面积可以通过边长的平方得到，即S = a^2。

人教版初中数学规律题探索

人教版初中数学规律题探索


例2、（2009年益阳市）如图是一组有规律的图案， 第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成， 第3个图案由10个基础图形组成， ……， n 是正整数)个图案中由 (3n + 1) 个基础图形组成． 第(n
…… ……
y2－y1＝3a+b, y3 - y2＝5a+b, y4－y3＝7a+b ∵5a+b-(3a+b)=2a；7a+b-(5a+b)=2a ∴5a+b-(3a+b)=7a+b-(5a+b)=2a
……
一列数，当后项与前项之差，不相等时， 再继续计算新数列的后项与前项之差。若这些 差相等，则这列数的项与项数之间一定可表示 为以项数为自变量的二次函数关系。
答案】
项数n 项an
1 7
2 9
3 4 … 11 13 …
判断：后一项减前一项，它们的
差都等于2，由此可确定，项数n是an 的一次函数。
解法1：
构造一次函数： 解：设 则
an
=kn+b
2k+b=9 解得： k=2 b=5
k+b=7 ∴an=2n+5
当n=5时，有棋子15个。
解法2：
可用等差数列通项公式求得：
第n个图形有
个小圆.
…
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
…
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
n s
1 6
2 10
3 16
4 24
… …
解：设 sn = an 2 + bn + c
a+b +c= 6 ∴ 4a + 2b + c = 10 9a + 3b + c = 16
北师版初中七上数学3.5 探索与表达规律(课件)

北师版初中七上数学3.5 探索与表达规律(课件)

星星星星星星星 期期期期期期期 日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
(1)日历图的套色方框中的9个数之和与 星期 星期 日一二三四五六 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
例题欣赏 ☞
例题&解析
例1.给出下列算式： 32－12＝8＝8×1， 52－32＝16＝8×2， 72－52＝24＝8×3， 92－72＝32＝8×4， …… 观察上面一列等式，你能发现什么规律，用代数式来表示这个规律．
总结：等式类寻找规律一般要看每项上的数与项数之间的关系， 或找前后两项之间的关系．如例题中左边是连续奇数的平方差， 右边是8的倍数，把左边的两项和右边的一项都用含同一个字母的 代数式来表示．
情境&导入
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这 个关系吗？
套色方框中9个数之和是144，是正中心数16的9倍．
a-8+a-7+a-6-a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a
情境&导入
星星星星星星星 期期期期期期期 日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
27 28 29 30 31
（1）十字形框中五个数之和是该框中正中间数的5倍，“H” 形框