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初中人教版七年级不等式知识点总结

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一元一次不等式 ( 组 ) 一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的 解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明： ①在一元一次不等式中， 不像等式那样， 等号是不变的， 是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以 0， 那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现 了，那么不等式乘以的数就不等为 0，否则不等式不成立； 三、一元一次不等式 1 、一元一次不等式的概念 ：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，

这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤： （ 1）去分母（ 2）去括号（ 3）移项（ 4）合并同类项（ 5）将 x 项的系数化为 1

四、一元一次不等式组 1 、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （ 1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （ 2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉 ，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不 变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数， 不等号方向相反。 7、不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 8、常见题型 一、选择题 在平面直角坐标系中，若点 P( m－ 3， m＋1) 在第二象限，则 m的取值范围为 ( ) A ．－ 1＜ m＜ 3 B ． m＞ 3 C． m＜－１ D． m＞－１

已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C ． D ． 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P、 Q、 R、 S，如图 3 所示， 则他们的体重大小关系是（ D ）

A、 B 、 C 、 D 、

把不等式组 的解集表示在数轴上正确的是（ ）

不等式 Ａ． 若不等式组 A． 的解集是（ ） Ｂ．

有实数解，则实数 B． Ｃ． 的取值范围是（ C． D．

Ｄ． ）

若 ，则 的大小关系为（ ） A． B．

C．

D ．不能确定

不等式— x— 5≤ 0 的解集在数轴上表示正确的是 （ ） 不等式 ＜ 的正整数解有 ( ) （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ）

A． B． C． D．

不等式组 ，的解集是（ ） A． B ． C． D ．无解

不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）

A B C D 实数 在数轴上对应的点如图所示，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）

A． B． C． D． 如图， a、 b、 c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）

A． ＞ ＞ b B．＞＞ C． ＞ ＞ c D． ＞ ＞

a c b a c a b c a b

不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）

把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的为图 3 中的（ ） A ． B ． C ． D ． 用 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么 这三种物体按质量

从大到小的顺序排列应为（ ）

不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ） 在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ） 二、填空题 已知 3x+4≤ 6+2(x-2), 则 的最小值等于 ________.

如图，已知函数 和 的图象交点为 ，则不等式 的解集为 ．

答案： 不等式组 的解集为 ． 答案： 不等式组 的整数解的个数为 ． 答案： 4

6. 已知关于 的不等式组 的整数解共有 3 个，则 的取值范围是 ． 答案： 9. 不等式组 的解集是 ． 答案：

10．直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示， 则关于 的不等式

的解集为 ．

答案： <-1 13.已知不等式组 的解集为－ 1＜x＜ 2，则 (m＋ n)

2008＝ __________． 答案： 1

三、简答题

解不等式组 解： 解不等式（ 1），得 ． 解不等式（ 2），得 ．

原不等式组的解是 ．

解不等式组 并写出该不等式组的最大整数解 .

解： 解不等式 x+1＞ 0, 得 x＞ -1 解不等式 x≤ ，得

∴不等式得解集为 -1 ＜ x≤ 2 ∴该不等式组的最大整数解是

若不等式组 的整数解是关于 x 的方程 解： 解不等式得 ，则整数解 x=-2 代入方程得 a=4。

2 x≤ 2 的根，求 a 的值。 解方程 。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与 1 和－ 2 的距离之和为 5 的点对应 的 x 的值。在数轴上， 1 和－ 2 的距离为 3，满足方程的 x 对应点在 1 的右边或－ 2 的左边，若 x 对应点在 1 的

右边，由图（ 17）可以看出 x＝ 2；同理，若 x 对应点在－ 2 的左边，可得 x＝－ 3，故原方程的解是 x=2 或 x= － 3

参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程 的解为

（2）解不等式 ≥ 9； （3）若 ≤a 对任意的 x 都成立，求 a 的取值范围 解：（1）1 或． （ 2） 和 的距离为 7， 因此，满足不等式的解对应的点 3 与 的两侧． 当 在 3 的右边时，如图（ 2）， 易知 ．

当 在 的左边时，如图（ 2），

易知 ． 原不等式的解为 或 （3）原问题转化为： 大于或等于 最大值．

当 时， ， 当 ， 随 的增大而减小，

当 时， ， 即 的最大值为 7．

故 ． 解不等式组 并把解集表示在下面的数轴上 .

解： 的解集是： 的解集是： 所 以原不等式的解集是： ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3 分）解集表示如图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）

解不等式组 解： 由不等式（ 1）得： <5

由不等式（ 2）得： ≥ 3 所以： 5＞ x≥ 3

解不等式组： 并判断 是否满足该不等式组．

解：原不等式组的解集是： ， 满足该不等式组．

解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来 .

解： 解不等式①，得 x<2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 解不等式②，得 x≥-1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 所以，不等式组的解集是 -1 ≤x<2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 不等式组的解集在数轴上表示如下：

解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来 .

解： 解①得 x>－ 2⋯⋯ 4 分 解②得 x<3⋯⋯ 5 分 所以，这个不等式组的解集是－ 2解集在数轴上表示正确 .⋯⋯7分

解不等式组： ，并将其解集在数轴上表示出来 .

解：由 得 ， 不等式组的解集为 -5 ＜ x≤ 2．解集在数轴上表示略． 解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 解： 去括号，得 ．移项，得 系数化为 1，得 ．不等式的解集在数轴上表示： 解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来． [解] 由①得 ，由②得 ， 原不等式组的解集是 ． 在数轴上表示为： 解不等式组 解： 由①，得 ； 由②，得 ． 原不等式组的解集为 ． 解不等式： 2（x＋ ）－ 1≤－ x＋ 9 解： 2x＋ 1－ 1≤－ x＋ 9 ．合并，得 ．

2x ＋ x≤ 9 3x ≤ 9 x ≤ 3 解不等式 3x-2<7, 将解集在数轴上表示出来 , 并写出它的正整数解．

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人教版数学七年级下册-不等式的性质

人教版数学七年级下册-不等式的性质

9.1.2不等式性质的性质第一课时一、教学内容解析（一）内容人教版《义务教育数学课程标准（2011版）》七年级下册“9.1.2不等式的性质”（第一课时）（二）内容解析本节课程是在学生学习了等式的性质，掌握了一元一次方程解法的基础上，研究不等式的性质。

不等式的性质是解不等式的重要依据。

因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章的基础。

通过类比等式性质，观察具体数值、归纳不等式的性质，既能让学生感受运算中的不变性，获得猜想，又能让学生从具体到抽象，用符号语言表述结论。

理解不等式性质，一是辨析，特别是不同于等式的性质；二是应用，即利用不等式的性质将不等式逐步化为x>a或x<a的形式，解简单的不等式。

基于以上分析，本节课的教学重点为不等式的三个性质二、教学目标设置（一）教学目标1、知识与技能:(1)记住不等式性质(2)能熟练说出不等式变形的依据(3)会用不等式性质对不等式进行合理变形2、过程与方法：(1)通过不等式性质的探索,培养学生的观察,猜想,分析,归纳,概括的逻辑思维能力:(2)通过探索过程,渗透类比,分类讨论的数学思想;3、情感态度与价值观:(1)培养学生的钻研精神,同时加强同学间的合作与交流;(2)让学生获得亲自参与探索研究的情感体验,从而增强学习数学的热情，（二）目标解析达到目标1是：学生通过观察、比较具体数字运算的大小、联系等式性质，归纳出不等式的性质。

达到目标2，3是，学生通过归纳和类比的思想，对性质加深理解，对于变形后的式子，能利用不等式性质判断它们的大小。

三、学生学情分析学生认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质；三、知道不等式的概念；第四具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的经验，有一定的抽象概括能力和合情推理能力。

学生认知的主要障碍是：第一，探索不等式性质时，如何与等式性质进行类比；第二，探索不等式性质2，3时，由于学生思维的片面性，会产生考虑不到不等式两边乘或除以同一个负数的情况；第三，运用不等式性质时，由于已有知识经验产生负迁移，学生不理解运用性质3时，为什么要改变不等号的方向，以及在不等式的等价变形时，什么时候要改变不等号的方向。

初中数学人教版七年级下册：一元一次不等式 课件(共16张)

初中数学人教版七年级下册：一元一次不等式 课件(共16张)

式（a+2）x＜-6的解集是
.
2.已知关于x的方程2x-(a+1)=5x-3a+2 的解
是非负数，a的取值范围是
.
课堂小结
解一元一次方程和解一元一次不等式有哪些
相同之处与不同之处?
知识梳理
解一元一次方程和解一元一次不等式有哪些相同之处?
基本步骤相同：
基本思想相同：
都是运用化归思想，将一元一次方程或一元一次不
等式变形为最简形式．
知识梳理
解一元一次方程和解一元一次不等式有哪些不同之处?
解法依据不同：
解一元一次不等式的依据是不等式的性质，解一元
一次方程的依据是等式的性质．
最简形式不同：
一元一次不等式的最简形式是x>a或x<a,一元一次方
程的最简形式是x=a．
若未知数的系数是正数,则不等号的方向不变;
若未知数的系数是负数,则不等号的方向改变.
总结归纳
解一元一次不等式每一步变形的依据是什么？
反馈练习
1.解下列不等式，并在数轴上表示解集:
− 1 2 + 5
(1)
<
7
3
2 + 1 2 − 5
(2)
≥
+1
6
4
小试牛刀
1.已知方程ax+12=0的解是 x =-3，不等
一般地,利用
不等式的性质,采
取与解一元一次方
程相类似的步骤,
就可以求出一元一
次不等式的解集.
典例解析
例1
解下列不等式,并在数轴上表示解集：
(1)2（ + 1) < 3
2 + 2 − 1
(2)
人教版数学七年级下册第九章思维点拨：不等式与不等式组

人教版数学七年级下册第九章思维点拨：不等式与不等式组

思维点拨：不等式与不等式组一、巧用乘法【例1】解不等式＜3．【思考与分析】此不等式是一元一次不等式的一般形式，只需不等式两边同时除以，就可以化系数为“1〞，但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以解得简捷．解：两边同乘以8，得x＜24．二、巧去分母【例2】解不等式【思考与分析】常规方法是先去分母，但仔细观察就会发现，可先进展移项.解：移项，得合并同类项，得x≥-1.【例3】解不等式【思考与分析】常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数.但我们会注意到“0.25×4＝1，0.5×2＝1”，那么利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2，这样就可以化去分母并且系数为整数.解：利用分数的性质〔即左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2〕，得8x+4-2〔x－2〕≤2，去括号，得8x+4-2x+4≤2，移项，合并同类项，得6x≤-6两边同时除以6得x≤-1.三、根据条件取特殊值【例4】设a、b是不相等的任意正数，又x＝，那么x、y这两个数一定是〔〕A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个大于2D．至少有一个小于2【思考与分析】不妨取a＝1，b＝3，得x＝10，y＝从而排除A、B，再取a＝3，b＝4，得，从而排除D，应选C.答案：C．【反思】用特殊值法解选择题时，如果所取的特殊值使局部选项取得一样的结果，那么应另选特殊值再验，直至选出答案．四、根据数轴取特殊值【例5】不等式组的解集在数轴上表示出来是如下列图中的〔〕【思考与分析】此题的常规方法是先解不等式组，然后再对照各选项选出正确答案，由于这样做要解不等式组，比拟麻烦.仔细观察各选项中的数轴，有两个特殊数2，-1，不妨先取x＝2，代入不成立，故可排除A、B.再取x＝0，代入不成立，又可排除C，从而选D，这样做不仅节省了时间，而且又减少了出错的时机﹒答案：Ｄ．【反思】用特殊值法解选择题时，要综合运用验证法，排除法等技巧，快速选出正确答案﹒比拟两个数或两个代数式的大小，可以运用求差法：如果a－b>0，那么a>b；如果a－b<0，那么a<b.运用求差法比拟大小的一般步骤是：〔1〕作差；〔2〕判断差的符号；〔3〕确定大小.【例6】设x>y，试比拟代数式-〔8-10x〕与－〔8-10y〕的大小，如果较大的代数式为正数，那么其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据条件x>y，来判断这个差的符号，从而比拟两个代数式的大小.解：由两式作差得-〔8-10x〕－［－〔8-10y〕］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-〔8-10x〕>－〔8-10y〕.又由题意得-〔8-10x〕>0，即x>，所以x最小的正整数值为1.【例7】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：假设父母各买一张全票那么孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社那么规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.假设两家旅行社的票价一样，那么实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比拟哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据条件判断这个差的符号即可比拟出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝，光明旅行社的收费为3a×80％＝.因为－＝>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢？因为如果不设的话，我们即使知道用求差法比拟大小，也无从下手.五、巧去括号【例8】【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运算简便.解：去中括号，得去分母，得3x+60＜28+8x，移项，合并同类项，得-5x＜-32，【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便.解：去小括号，得六、巧用“整体思想〞【例9】解不等式：【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有一样的项：2x-1，我们把2x－1视为整体，再去中括号和分母，那么可使运算简捷．解：3〔2x-1〕-9〔2x-1〕-9＜5．合并同类项得-6×〔2x-1〕＜14．解得反思：我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运算简便.【例10】在欧洲足球锦标赛中，共有16支队伍参加比赛，争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内杯〞.16支队伍被分成4个小组，进展单循环赛〔即每个队需同其他三个队各赛一场〕，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分，才能确保出线？【思考与分析】根据题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们可以分几种情况来讨论出线积分的多少.〔1〕假设某一队三战全胜积9分，那么同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望，在剩下的两场比赛中，它有六种可能：两场全胜积6分，一胜一平积4分，一胜一负积3分，两平积2分，一平一负积1分，两负积0分.〔三场比赛，肯定有一场负〕因此，在这种情况中，至少积6分才能确保出线；〔2〕假设某一队三战两胜一平积7分，那么小组第二至少要两胜积6分才能出线；〔3〕假设某一队三战两胜一负积6分，那么其他两个队也可能三战两胜一负积6分，这样三队同积6分，不能确保小组出线.由以上思考讨论可知，在小组赛中，积分可能出现三个队积分一样，为了确保出线，至少需积7分，才能保证以小组第二的身份出线.解：需7分.【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意：在足球比赛中，一般按积分多少排名次；积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；积分、净胜球数都相等的球队，进球数多的队名次在前；分析有关足球比赛的问题时，不能单纯的利用不等关系判断，还要注意到相互之间的胜负关系.。

人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件

人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件

方法 2：设 f(x)＝x－1＋x－2， 则 f(x)＝－1，2x1≤＋x3≤，2 x<1
2x－3，x>2 画出此函数的图象可知，f(x)≥1， ∴要使关于 x 的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1 的解 集为空集，则需 a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.
规律总结
1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条 件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使 用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推 理的依据，以防出现解题失误．
命题趋势
本单元的内容，是对必修5的补充和深化，预计2011年， 考查的重点一是绝对值不等式的解法；二是利用不等式的 性质求最值；三是柯西不等式和数学归纳法的应用．考查 知识面比较广，有一定的技巧．
使用建议
本单元内容是作为高考的选考内容，在考试中所占的 分值较少，但对提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问 题的能力、数形结合的能力和抽象思维能力作用很大．为 此，在复习中建议注意以下几点：
【点评】 本例较好地体现了利用基本不等式求 最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过 首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式 可得．
变 式 题 已 知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ， 则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均 匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证 明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题 中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含 的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．