2019_2020学年新教材高中数学章末综合测评1三角函数新人教B版第三册

章末综合测评(一) 三角函数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．①②③④C [160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．]2.若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 2D [由弧长公式得2＝2R ，即R ＝1 cm ，则S ＝12Rl ＝12×1×2＝1(cm 2)．]3.函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1)D ．[－1,0]∪(0,1)C [化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)．] 4．三角函数y ＝sin x2 是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2 的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数A [f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－sin x 2＝－f (x )，是奇函数，T ＝2π12＝4π.] 5．方程sin x ＝lg x 的实根个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [y ＝sin x 与y ＝lg x 的图像共有3个交点．] 6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13 ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( ) A ．13 B ．－13C ．－223D ．223B [根据题意得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13 ，故选B ．] 7．函数f (x )＝ 3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期分别是( )A ．－3－1，πB ．－3＋1，πC ．－ 3 ，πD ．－3－1,2πA [f (x )min ＝－3－1，T ＝2π2＝π.]8．要得到函数y ＝f (2x ＋π)的图像，只要将函数y ＝f (x )的图像( ) A ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变D ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变C [把y ＝f (x )的图像向左平移π个单位得到y ＝f (x ＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝f (2x ＋π)．]9．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )D [若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．]10．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像( ) A ．关于原点成中心对称 B ．关于y 轴成轴对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称 D ．关于直线x ＝π12成轴对称C [由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图像的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故函数的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．]11.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则该函数的表达式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋56πB ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56πC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [由图像可知，A ＝2，ω＝2ππ＝2，当x ＝π6时，y ＝2，从而有2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，故选C ．] 12.在△ABC 中，C >π2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )A ．f (cos A )>f (cosB ) B ．f (sin A )>f (sin B )C ．f (sin A )>f (cos B )D ．f (sin A )<f (cos B )C [根据0<A ＋B <π2，得0<A <π2－B <π2，所以sin A <sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ．由题意知f (sinA )＞f (cosB )．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________． ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π8＋k π2，k ∈Z[2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2 ，k ∈Z .]14．如图，已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．8 [T ＝6，则5T 4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.]15．函数y ＝－tan x 的单调递减区间是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) [因为y ＝tan x 与y ＝ －tan x 的单调性相反，所以y ＝－tan x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．]16．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________. 107 [sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107.] 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知α是第三象限角，且f (α)＝ sin (－α－π)cos (5π－α)tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值． [解](1)f (α)＝sin α·(－cos α)·(－tan α)sin α·(－tan α)＝－cos α.(2)由已知得tan α＝2，sin αcos α＝2，sin α＝2cos α，sin 2α＝4cos 2α，1－cos 2α＝4cos 2α，cos 2α＝15.因为α是第三象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－55，所以f (α)＝－cos α＝55. 18．(本小题满分12分)已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． [解] ∵ sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，得(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1.∴ cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴ α在第二、四象限．① 当α是第二象限角时，sin α＝31010 ，cos α＝－1010.② 当α是第四象限角时，sin α＝－31010 ，cos α＝1010.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ [解](1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域． [解](1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．21.(本小题满分12分)如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．[解](1)由图像知A ＝3，以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第一个零点，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.(2)f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2(k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )． 22.(本小题满分12分)函数f (x )是定义在[－2π，2π]上的偶函数，当x ∈[0，π]时，y ＝f (x )＝cos x ；当x ∈(π，2π]时，f (x )的图像是斜率为2π，在y 轴上截距为－2的直线在相应区间上的部分．(1)求f (－2π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的值；(2)求f (x )的解析式，并作出图像，写出其单调区间．[解](1)当x ∈(π，2π]时，y ＝f (x )＝2πx －2，当x ∈[－2π，－π)时，－x ∈(π，2π)，∴y ＝f (－x )＝－2πx －2，又f (x )是偶函数，∴当x ∈[－2π，－π)时，f (x )＝f (－x )＝－2πx －2.∴f (－2π)＝f (2π)＝2.又x ∈[0，π]时，y ＝f (x )＝cos x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12. (2)y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2πx －2， x ∈[－2π，－π)，cos x ， x ∈[－π，π]，2πx －2， x ∈(π，2π].单调增区间为[－π，0]，(π，2π]， 单调减区间为[－2π，－π)，[0，π]．。