初中数学知识点精讲精析 相似三角形
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第二节相似三角形
要点精讲
1．相似三角形定义
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2．相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3．相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4．相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5．相似三角形的传递性：如果△ABC ∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC ∽△A2B2C2。
6．相似三角形的判定方法
（1）根据定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。
（2）根据平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。
（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理。
7．直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
8．相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
9．相似三角形知识的注意点
（1）全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系，不同之处仅在于前者是后者相似比
为1的情况．
（2）相似三角形的判定定理的选择：①已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；②已知有二边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；③判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．
（3）相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．
（4）三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A ”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交．图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似。
图2
10．相似三角形的应用
（1）利用三角形相似，可以证明角相等；线段成比例（或等积式）。
（2）利用三角形相似，求线段的长等。
（3
）利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如：求河的宽度、求建筑物的高度等。
测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。
测距的方法：测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
典型例题
1．如图，AB 、CD 相交于点O ，且AC ∥BD ，则OA ·OD ＝OC ·OB 吗？为什么？
【答案】解：∵AC ∥BD
∴∠B ＝∠A ，∠D ＝∠C
C A
D B. C B
C E
D B A
∴△OBD∽△OAC
∴
∴OA·OD＝OB·OC
因此OA·OD＝OC·OB成立．
2．如图，物AB与其所成像A′B′平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A′的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？
【答案】∵AB∥A′B′
∴∠ABO=∠A′B′O
又∵∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB∽△A′OB′
∴
∵AO=36cm，A′O=12cm
∴则
答：像长与物长之比为．。
