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2016年上海市春季高考数学试卷(解析版)

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2016年上海市春季高考数学试卷一 填空题（本大题共 题，每题 分，共 分）．复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是．．若●☐♑（⌧ ） ，则⌧．．直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为．．函数的定义域为．．三阶行列式中，元素 的代数余子式的值为．．函数的反函数的图象经过点（ ， ），则实数♋． ．在△✌中，若✌ °，  °，，则✌． ． 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．．无穷等比数列 ♋⏹❝的首项为 ，公比为，则 ♋⏹❝的各项的和为．．若 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则♋．．函数⍓⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最小值为 ，最大值为 ，则实数❍的取值范围是．．在平面直角坐标系⌧⍓中，点✌， 是圆⌧⍓﹣ ⌧上的两个动点，且满足，则的最小值为．二 选择题（本大题共 题，每题 分，共 分）．若♦♓⏹α＞ ，且♦♋⏹α＜ ，则角α的终边位于（）✌．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限．半径为 的球的表面积为（）✌．π ． ． π ． π．在（ ⌧） 的二项展开式中，⌧项的系数为（）✌． ． ． ． ．幂函数⍓⌧﹣ 的大致图象是（）✌． ． ．．．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）✌． ． ．（ ， ） ．（ ， ）．设直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，那么（）✌．直线●平行于直线❍ ．直线●与直线❍异面．直线●与直线❍没有公共点 ．直线●与直线❍不垂直．在用数学归纳法证明等式  … ⏹⏹⏹（⏹∈☠✉）的第（♓♓）步中，假设⏹时原等式成立，那么在⏹ 时需要证明的等式为（）✌．  … （  ） （ ） （  ）．  … （  ） （  ） （  ）．  …  （  ） （  ） （  ）．  …  （  ） （  ） （  ）．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）✌．焦距相等，渐近线相同 ．焦距相等，渐近线不相同．焦距不相等，渐近线相同 ．焦距不相等，渐近线不相同．设函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，则“♐（ ） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的（）✌．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件．下列关于实数♋，♌的不等式中，不恒成立的是（）✌．♋♌≥ ♋♌ ．♋♌≥﹣ ♋♌ ．．．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，则；②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）✌．①成立，②不成立 ．①不成立，②成立．①成立，②成立 ．①不成立，②不成立．对于椭圆．若点（⌧，⍓）满足．则称该点在椭圆 （♋，♌）内，在平面直角坐标系中，若点✌在过点（ ， ）的任意椭圆 （♋，♌）内或椭圆 （♋，♌）上，则满足条件的点✌构成的图形为（）✌．三角形及其内部 ．矩形及其内部．圆及其内部 ．椭圆及其内部三 解答题（本大题共 题，共   分）．如图，已知正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为 ，求异面直线  与✌所成的角的大小．．已知函数，求♐（⌧）的最小正周期及最大值，并指出♐（⌧）取得最大值时⌧的值．．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点☞处．已知灯口直径是 ♍❍，灯深 ♍❍，求灯泡与反射镜的顶点 的距离．．已知数列 ♋⏹❝是公差为 的等差数列．（ ）♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，求♋ 的值；（ ）设♋ ﹣ ，数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹．数列 ♌⏹❝满足，记（⏹∈☠✉），求数列 ♍⏹❝的最小项（即对任意⏹∈☠✉成立）．．对于函数♐（⌧），♑（⌧），记集合 ♐＞♑⌧♐（⌧）＞♑（⌧）❝．（ ）设♐（⌧） ⌧，♑（⌧） ⌧ ，求 ♐＞♑；（ ）设♐ （⌧） ⌧﹣ ，，♒（⌧） ，如果．求实数♋的取值范围．二卷一 选择题：．若函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，则⌫的一个值是（）✌． ． ．π ． π．在复平面上，满足 ﹣  的复数 的所对应的轨迹是（）✌．两个点 ．一条线段 ．两条直线 ．一个圆．已知函数⍓♐（⌧）的图象是折线✌☜，如图，其中✌（ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， （ ， ），☜（ ， ），若直线⍓⌧♌与⍓♐（⌧）的图象恰有四个不同的公共点，则 的取值范围是（）✌．（﹣ ， ）∪（ ， ） ． ．（ ， ．二 填空题：．椭圆的长半轴的长为．．已知圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 °，则该圆锥的侧面积为．．小明用数列 ♋⏹❝记录某地区  年 月份 天中每天是否下过雨，方法为：当第 天下过雨时，记♋ ，当第 天没下过雨时，记♋﹣ （ ≤≤ ），他用数列 ♌⏹❝记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第 天有雨时，记♌⏹ ，当预报第 天没有雨时，记♌⏹﹣ 记录完毕后，小明计算出♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋♌  ，那么该月气象台预报准确的总天数为．三 解答题：．对于数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝，若对数列 ♍⏹❝的每一项♍⏹，均有♍♋或♍♌，则称数列 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”．（ ）设数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的前三项分别为♋ ，♋ ，♋ ，♌ ，♌，♌ ，若 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝一个“并数列”求所有可能的有序数组（♍ ，♍，♍）；（ ）已知数列 ♋⏹❝， ♍⏹❝均为等差数列， ♋⏹❝的公差为 ，首项为正整数♦； ♍⏹❝的前 项和为﹣ ，前 项的和为﹣ ，若存在唯一的数列 ♌⏹❝，使得 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”，求♦的值所构成的集合． 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一 填空题（本大题共 题，每题 分，共 分）．复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是 ．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是 ，故答案为： ．．若●☐♑（⌧ ） ，则⌧ ．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：●☐♑（⌧ ） ，可得⌧ ，解得⌧ ．故答案为： ．．直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线⍓⌧﹣ 的斜率为 ，故倾斜角为，又∵直线⍓的倾斜角为 ，故直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为，故答案为：．．函数的定义域为☯， ∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于 求解即可．【解答】解：由⌧﹣ ≥ 得，⌧≥ ．∴原函数的定义域为☯， ∞）．故答案为☯， ∞）．．三阶行列式中，元素 的代数余子式的值为 ．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第 行第 列后所余下的 阶行列式带上符号（﹣ ）♓，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素 的代数余子式为：（﹣ ） （ ×  × ） ．∴元素 的代数余子式的值为 ．故答案为： ．．函数的反函数的图象经过点（ ， ），则实数♋ ．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（ ， ），可得函数的图象经过点（ ， ），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（ ， ），∴函数的图象经过点（ ， ），∴  ♋，解得♋ ．故答案为： ．．在△✌中，若✌ °，  °，，则✌．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵✌ °，  °，，∴由正弦定理，可得：✌ ．故答案为： ．． 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 （结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解： 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为✌   种，故答案为： ．．无穷等比数列 ♋⏹❝的首项为 ，公比为，则 ♋⏹❝的各项的和为 ．【考点】等比数列的前⏹项和．【分析】 ♋⏹❝的各项的和 ，即可得出．【解答】解： ♋⏹❝的各项的和为：  ．故答案为： ．．若 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则♋﹣ ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则 ﹣♓（♓为虚数单位）也是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵ ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，∴ ﹣♓（♓为虚数单位）也是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，∴ ♓（ ﹣♓） ﹣♋，解得♋﹣ ．则♋﹣ ．故答案为：﹣ ．．函数⍓⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最小值为 ，最大值为 ，则实数❍的取值范围是☯ ， ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵♐（⌧） ⌧﹣ ⌧ （⌧﹣ ） ，∴对称轴⌧ ，∴♐（ ） ，♐（ ） ，♐（ ） ，∵♐（⌧） ⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最大值为 ，最小值为 ，∴，∴ ≤❍≤ ，故答案为： ≤❍≤ ．．在平面直角坐标系⌧⍓中，点✌， 是圆⌧⍓﹣ ⌧上的两个动点，且满足，则的最小值为 ．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用✌中点 去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据✌，得到 点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设✌（⌧ ，⍓ ）， （⌧，⍓），✌中点 （⌧′，⍓′）．∵⌧′ ，⍓′ ，∴ （⌧ ⌧，⍓ ⍓） ，∵圆 ：⌧⍓﹣ ⌧，∴（⌧﹣ ） ⍓ ，圆心 （ ， ），半径 ✌．∵点✌， 在圆 上，✌，∴ ✌﹣ （✌） ，即  ．点 在以 为圆心，半径❒ 的圆上．∴ ≥ ﹣❒ ﹣ ．∴ ≥ ，∴≥ ，∴的最小值为 ．故答案为： ．二 选择题（本大题共 题，每题 分，共 分）．若♦♓⏹α＞ ，且♦♋⏹α＜ ，则角α的终边位于（）✌．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由♦♓⏹α＞ ，则角α的终边位于一二象限，由♦♋⏹α＜ ，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵♦♓⏹α＞ ，则角α的终边位于一二象限，∵由♦♋⏹α＜ ，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择 ．．半径为 的球的表面积为（）✌．π ． ． π ． π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式  π 解答即可求得答案．【解答】解：半径为 的球的表面积为 π×  π，故选： ．．在（ ⌧） 的二项展开式中，⌧项的系数为（）✌． ． ． ． 【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（ ⌧） 的二项展开式中，通项公式为：❆❒ • ﹣❒•⌧❒，令❒，得展开式中⌧的系数为：．故选： ．．幂函数⍓⌧﹣ 的大致图象是（）✌． ． ．．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数⍓⌧﹣ ，定义域为（﹣∞， ）∪（ ， ∞），可排除✌， ；值域为（ ， ∞）可排除 ，故选： ．．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）✌． ． ．（ ， ） ．（ ， ）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：  ，  ， ，∴向量在向量方向上的投影 ．故选：✌．．设直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，那么（）✌．直线●平行于直线❍ ．直线●与直线❍异面．直线●与直线❍没有公共点 ．直线●与直线❍不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，可得直线●与直线❍异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，∴直线●与直线❍异面或平行，即直线●与直线❍没有公共点，故选： ．．在用数学归纳法证明等式  … ⏹⏹⏹（⏹∈☠✉）的第（♓♓）步中，假设⏹时原等式成立，那么在⏹ 时需要证明的等式为（）✌．  … （  ） （ ） （  ）．  … （  ） （  ） （  ）．  …  （  ） （  ） （  ）．  …  （  ） （  ） （  ）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知⏹时，  … ，到⏹ 时，左端为  …  （  ），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式  … ⏹⏹⏹时，当⏹ 左边所得的项是 ；假设⏹时，命题成立，  … ，则当⏹ 时，左端为  …  （  ），∴从“ →  ”需增添的项是  （ ），∴  …  （  ） （  ） （  ）．故选： ．．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）✌．焦距相等，渐近线相同 ．焦距相等，渐近线不相同．焦距不相等，渐近线相同 ．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在⌧轴上，可得焦点为（±， ），即为（± ， ），渐近线方程为⍓±⌧；的焦点在⍓轴上，可得焦点为（ ，± ），渐近线方程为⍓± ⌧．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选： ．．设函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，则“♐（ ） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的（）✌．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，若函数♐（⌧）为奇函数，则♐（ ） ，反之不成立，例如♐（⌧） ⌧．即可判断出结论．【解答】解：函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，若函数♐（⌧）为奇函数，则♐（ ） ，反之不成立，例如♐（⌧） ⌧．∴“♐（ ） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的必要不充分条件．故选： ．．下列关于实数♋，♌的不等式中，不恒成立的是（）✌．♋♌≥ ♋♌ ．♋♌≥﹣ ♋♌ ．．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于✌：♋♌﹣ ♋♌（♋﹣♌） ≥ ，故✌恒成立；对于 ：♋♌♋♌（♋♌） ≥ ，故 恒成立；对于 ：﹣♋♌≥ ，故 恒成立； 不恒成立；故选： ．．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，则；②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）✌．①成立，②不成立 ．①不成立，②成立．①成立，②成立 ．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得 ，则 λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得⌧ λ⌧，⍓ λ⍓，即可判断出结论．②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则 （）•⌧ ⌧⍓ ⍓（⌧⍓ ⌧ ⍓） （⌧⍓ ⌧ ⍓），无法得到 ，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得 ，则 λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴⌧ λ⌧，⍓ λ⍓，满足⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，因此．②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则 （）• ⌧ ⌧⍓ ⍓（⌧⍓ ⌧ ⍓） （⌧⍓ ⌧ ⍓），无法得到 ，因此不一定正确．故选：✌．．对于椭圆．若点（⌧，⍓）满足．则称该点在椭圆 （♋，♌）内，在平面直角坐标系中，若点✌在过点（ ， ）的任意椭圆 （♋，♌）内或椭圆 （♋，♌）上，则满足条件的点✌构成的图形为（）✌．三角形及其内部 ．矩形及其内部．圆及其内部 ．椭圆及其内部【考点】椭圆的简单性质．【分析】点✌（⌧，⍓）在过点 （ ， ）的任意椭圆 （♋，♌）内或椭圆 （♋，♌）上，可得 ， ≤ ．由椭圆的对称性可知：点 （﹣ ， ），点 （﹣ ，﹣ ），点 （ ，﹣ ），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点✌（⌧，⍓）在过点 （ ， ）的任意椭圆 （♋，♌）内或椭圆 （♋，♌）上，则 ， ≤ ．∴ ≤ ，由椭圆的对称性可知：点 （﹣ ， ），点 （﹣ ，﹣ ），点 （ ，﹣ ），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点✌构成的图形为矩形 及其内部．故选： ．三 解答题（本大题共 题，共   分）．如图，已知正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为 ，求异面直线  与✌所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱✌﹣✌ 的体积求出高，由✌ 与✌平行，得∠  ✌ 是异面直线  与✌所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线  与✌所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为 ，∴，解得♒ ，∵✌ 与✌平行，∴∠  ✌ 是异面直线  与✌所成的角，在△✌  中，✌ ，  ✌ ，∴♍☐♦∠  ✌ ．∴∠  ✌ ♋❒♍♍☐♦．∴异面直线  与✌所成的角的大小为♋❒♍♍☐♦．．已知函数，求♐（⌧）的最小正周期及最大值，并指出♐（⌧）取得最大值时⌧的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简♐（⌧）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为❆π，函数的最大值为 ，且函数取得最大值时，⌧ π ，即⌧π ， ∈☪．．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点☞处．已知灯口直径是 ♍❍，灯深 ♍❍，求灯泡与反射镜的顶点 的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程⍓☐⌧（☐＞ ），点（ ， ）代入抛物线方程求得☐，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以 为坐标原点，水平方向为⌧轴，竖直方向为⍓轴，如图所示：则：设抛物线方程为⍓☐⌧（☐＞ ），点（ ， ）在抛物线⍓☐⌧上，∴  ☐× ．∴ ．∴灯泡与反射镜的顶点 的距离 ♍❍．．已知数列 ♋⏹❝是公差为 的等差数列．（ ）♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，求♋ 的值；（ ）设♋ ﹣ ，数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹．数列 ♌⏹❝满足，记（⏹∈☠✉），求数列 ♍⏹❝的最小项（即对任意⏹∈☠✉成立）．【考点】等差数列的前⏹项和；等比数列的通项公式．【分析】（ ）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项♋的值．（ ）由已知利用累加法能求出♌⏹﹣（）⏹﹣ ．从而能求出♍⏹﹣♍⏹﹣ ⏹﹣  ⏹，由此能求出数列 ♍⏹❝的最小项．【解答】解：（ ）∵数列 ♋⏹❝是公差为 的等差数列．♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，∴．解得♎，♋ ﹣（ ）♌⏹♌ （♌﹣♌ ） （♌ ﹣♌） … （♌⏹﹣♌⏹﹣ ）﹣（）⏹﹣ ．，，⏹﹣  ⏹由题意⏹≥ ，上式大于零，即♍ ＜♍ ＜…＜♍⏹，进一步， ⏹⏹是关于⏹的增函数，∵ ×   ＞ ， ×  ＜ ，∴♍ ＞♍＞♍ ＞♍ ＜♍＜…＜♍ ＜♍ ＜…＜♍⏹，∴．．对于函数♐（⌧），♑（⌧），记集合 ♐＞♑⌧♐（⌧）＞♑（⌧）❝．（ ）设♐（⌧） ⌧，♑（⌧） ⌧ ，求 ♐＞♑；（ ）设♐ （⌧） ⌧﹣ ，，♒（⌧） ，如果．求实数♋的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（ ）直接根据新定义解不等式即可，（ ）方法一：由题意可得则在 上恒成立，分类讨论，即可求出♋的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出♋的取值范围．【解答】解：（ ）由 ⌧＞⌧ ，得 ♐＞♑⌧⌧＜﹣ 或⌧＞ ❝；（ ）方法一：，，由，则在 上恒成立，令，♋＞﹣♦﹣♦，，∴♋≥ 时成立．以下只讨论♋＜ 的情况对于，♦＞ ，♦♦♋＞ ，解得♦＜或♦＞，（♋＜ ）又♦＞ ，所以，∴综上所述：方法二（ ），，由♋≥ ．显然恒成立，即⌧∈ ♋＜ 时，，在⌧≤ 上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一 选择题：．若函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，则⌫的一个值是（）✌． ． ．π ． π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，∴♐（﹣⌧） ♐（⌧），即♦♓⏹（﹣⌧φ） ♦♓⏹（⌧φ），∴（﹣⌧φ） ⌧φ π或﹣⌧φ ⌧φ π π， ∈☪，当（﹣⌧φ） ⌧φ π时，可得⌧﹣ π，不满足函数定义；当﹣⌧φ ⌧φ π π时，φ π ， ∈☪，结合选项可得 为正确答案．故选： ．．在复平面上，满足 ﹣  的复数 的所对应的轨迹是（）✌．两个点 ．一条线段 ．两条直线 ．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设 ⌧⍓♓，得到 ⌧⍓♓﹣  ，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设 ⌧⍓♓，则 ⌧⍓♓﹣  ，∴（⌧﹣ ） ⍓ ，∴运动轨迹是圆，故选： ．．已知函数⍓♐（⌧）的图象是折线✌☜，如图，其中✌（ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， （ ， ），☜（ ， ），若直线⍓⌧♌与⍓♐（⌧）的图象恰有四个不同的公共点，则 的取值范围是（）✌．（﹣ ， ）∪（ ， ） ． ．（ ， ．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当 ， ＜♌＜ 时，显然直线⍓♌与♐（⌧）图象交于四点，故 可以取 ，排除✌， ；作直线 ☜，则 ☜，直线 ☜与♐（⌧）图象交于三点，平行移动直线 可发现直线与♐（⌧）图象最多交于三点，即直线⍓与♐（⌧）图象最多交于三点，∴ ≠．排除 ．故选 ．二 填空题：．椭圆的长半轴的长为 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，♋，∴椭圆的长半轴长♋．故答案为： ．．已知圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 °，则该圆锥的侧面积为 π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 °，∴圆锥的底面半径为 ，∴圆锥的侧面积为π× × π．故答案为： π．．小明用数列 ♋⏹❝记录某地区  年 月份 天中每天是否下过雨，方法为：当第 天下过雨时，记♋ ，当第 天没下过雨时，记♋﹣ （ ≤ ≤ ），他用数列 ♌⏹❝记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第 天有雨时，记♌⏹ ，当预报第 天没有雨时，记♌⏹﹣ 记录完毕后，小明计算出♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋♌  ，那么该月气象台预报准确的总天数为 ．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时♋♌，不准确时♋♌﹣ ，根据♋ ♌ ♋♌♋♌ … ♋ ♌   ﹣ ，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时♋♌ ，不准确时♋♌﹣ ，∵♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋ ♌   ﹣ ，∴该月气象台预报准确的总天数为 ．故答案为： ．三 解答题：．对于数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝，若对数列 ♍⏹❝的每一项♍⏹，均有♍♋或♍♌，则称数列 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”．（ ）设数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的前三项分别为♋ ，♋ ，♋ ，♌ ，♌，♌ ，若 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝一个“并数列”求所有可能的有序数组（♍ ，♍，♍）；（ ）已知数列 ♋⏹❝， ♍⏹❝均为等差数列， ♋⏹❝的公差为 ，首项为正整数♦； ♍⏹❝的前 项和为﹣ ，前 项的和为﹣ ，若存在唯一的数列 ♌⏹❝，使得 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”，求♦的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（ ）利用“并数列”的定义即可得出．（ ）利用等差数列的通项公式及其前⏹项和公式可得♋⏹，公差♎，♍⏹，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（ ）（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ）；（ ）♋⏹♦⏹﹣ ，设 ♍⏹❝的前 项和为❆⏹，❆ ﹣ ，❆﹣ ，得♎﹣ ，♍ ，所以♍⏹ ﹣ ⏹；♍♋或♍♌．，∴  ，♦；或 ，♦ ，所以 ≥ ． ∈☠✉时，♍♌，∵数列 ♌⏹❝唯一，所以只要♌ ，♌唯一确定即可．显然，♦，或♦ 时，♌ ，♌不唯一，．年 月 日。

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上海市2016届高考压轴考试数学试卷(解析版)

上海市2016届高考压轴考试数学试卷(解析版)

2016上海高考压轴卷数 学一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数)3sin()(πω+=x x f 的周期为π，则=ω .2.已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m = .3.已知复数z 满足：i i z 42)1(+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 .4.在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是 .5.如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在[)50,70 中的学生人数是 .6.如图，圆锥形容器的高为h ，圆锥内水面的高为1h ，且113h h =，若将圆锥倒置，水面高为2h ，则2h h等于 ． 7.已知函数3())f x x x =+，若()f x 的定义域中的a ，b 满足()()3()(f a f b f a f b -+--=++，则()()f a f b += .8.532)23(xx -的二项展开式中，常数项的值是 .9.已知直线01=++By Ax .若B A ,是从7,2,0,1,3--这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为 ．第5题第6题10.从抛物线x y 42=上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且5||=PF ，则MPF ∆的面积为 .11.满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥.4,0,0y x y x 的可行域中共有 个整数点.12. D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+=. 若关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是 .13.对于给定的正整数n ，若等差数列1a ，2a ，3a ，…满足2212110n a a ++≤，则2122234n n n n S a a a a ++++=++++ 的最大值为 . 14. 正整数a ，b 满足1a b <<，若关于x ，y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为 ．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为单调函数”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.已知函数xx a x f 2)(+=，),0(),0(b x a ∈>，则下列判断正确的是（ ）.A.当a b >时，)(x f 的最小值为a 2B.当a b ≤<0 时，)(x f的最小值为C.当a b ≤<0 时，)(x f 的最小值为bb a 2+D.对任意的0>b ，)(x f 的最小值均为a 217.给出下列命题，期中正确的命题为（ ）A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内所有的直线都不垂直C.直线a 与平面a 不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行D.异面直线,a b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直18. 已知函数322393)(a x a ax x x f +--=.若41>a ，且当[]a x 4,1∈时，a x f 12)('≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A.⎥⎦⎤⎝⎛54,41 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛1,41 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,31 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡54,0 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.（本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC AC BC ===，90ACB ∠=︒. （1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图； （2）若P 是1AA 的中点，求四棱锥111B C A PC -的体积.20.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若()f x 为偶函数，求实数a 的值； (2)设2a >，求函数()f x 的最小值.ABC1A 1B 1C 第19题21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2015年“双十一”购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P 万件与促销费用x 万元满足123+-=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品P 万件还需投入成本(102P +)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为20(4)P+元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （1）求椭圆C 的方程;（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD +的最小值.x23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项1a ，2a ，…，i a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项1i a +，2i a +，…，m a 中的最小项为i B ，i i i r A B =-（i =1，2，3，…，1m -）．（1）若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 是单调数列，且满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式； （3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由．答案与解析一、填空题1.2±2.13.104.2-5.256.7.3- 8. 1080 9. 51 10. 1011.15 12. 4-<λ或122--=λ 13.105n + 14.2016 解析： 1. 因为πωπ==2T ，所以2=ω，即2±=ω.10.由题意，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020,4y y P ，则5142=+==y PM PF ，所以40±=y ，即10210==∆y PM S MPF . 11. 借助图形可以直观些，但直观列举较快：)0,0(，)1,0(，)2,0(，)3,0(，)4,0(，)0,1(，)1,1(，)2,1(，)3,1(，)2,2(),1,2(),0,2(，)0,3(，)1,3(，)0,4(，共有1554321=++++个.12. 在ABC ∆边BC 延长线上，因此由)1(λλ-++=+=)1()1(λλ-+-=)1(λ-=,知11>-λ，故0<λ.由于π,0都不是原方程的解，故原方程在)2,(),0(πππ 上恰有两解，这等价于1sin 1sin 21sin 1sin 22-+=-+=xx x x λ在)2,(),0(πππ 上恰有两解，令x t sin =，即要求112-+=t t λ在)1,0()0,1( -上恰有两解，故当直线λ=y 与112)(-+=tt t f ，)1,0()0,1( -∈t 恰有一个交点时符合题意，因为当)1,0()0,1( -∈t 时x t sin =在)2,(),0(πππ ∈x 始终恰好有两个解21,x x .)1,0(∈t 时，0122)22()(>-=≥f t f ；又0<λ，故只需考虑)0,1(-∈t 时的情况，)(t f 在)22,1(--上递增，在)0,22(-上递减，122)22(--=-f ，4)1(=-f ，故当4-<λ或122--=λ直线λ=y 与)(t f 恰有一个交点，即原方程恰好2解.13. 因为数列{}n a 是等差数列，所以214122431=2n n n n n a a a a a +++++=+=…，所以31(21)n S n a +=+，又因为22221213131(3)()10n n n a a a n d a n d ++++=-+-≤，即213128n n a da ++-2210100n d +-≥，关于d 的二次方程2223111082100n n n d da a ++-+-≥有解，则222311=(8)40(210)0n n a n a ++∆--≥-，化简得22231(6480)400n n a n +-≥-，所以231n a+≤22240013210()25806428064n n n =+--≤，3155n a +-≤≤，所以5(21)S n +≤. 14. 令()24033y g x x ==-+，()|1|||||y f x x x a x b ==-+-+-31,1,1,1,=1,,33,x a b x x a b x a x a b a x b x a b x b-+++⎧⎪-++-<⎪⎨-+-<⎪⎪--->⎩≤≤≤在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示，要使得关于x y 、的方程组有且只有一组解，则只需两函数的图像有且只有一个交点，所以有1x =， 由(1)(1)f g =得224033a b +-=-+，4033a b +=， 又1a b <<，*a ∈N ，所以24033a <，2016a ≤，所以a 的最大值为2016，故答案为2016. 二、选择题15.B 16.A17.D解析：对于A ，若b 为异面直线,a c 的公垂线，则a 与b ，b 与c 都相交，但,a c 异面，故A 错误；对于B ，若直线a α⊂，则α内有无数条直线都与直线a 垂直，故B 错误；对于C ，若直线a α⊂，则α内有无数条直线都与直线a 平行，故C 错误；对于D ，假设存在平面α，使得a α⊂，b α⊥，则b α⊥，与条件矛盾，所以假设错误，故D 正确. 18.A解析：'22()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于a x =对称. 若'11,()4a f x <≤则在[1,4a]上是增函数， 从而'()f x 在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,f a a =--最大值是'2(4)15.f a a = 由'22|()|12,1236912,f x a a x ax a a ≤-≤--≤得于是有'2'2(1)36912,(4)1512.f a a a f a a a =--≥-=≤且由''14(1)121,(4)120.35f a a f a a a ≥--≤≤≤≤≤得由得 所以11414(,1][,1][0,],(,].43545a a ∈-∈ 即若1>a ,则'2'|()|1212.[1,4]|()|12f a a a x a f x a =>∈≤故当时不恒成立.所以使'|()|12([1,4])f x a x a ≤∈恒成立的a 的取值范围是14(,].45三、解答题 19. 解析：ABC1A 1B 1C P（2）解：如图所示. 由1111B C AC ⊥，111B C CC ⊥，则11B C ⊥面11ACC A .所以，四棱锥111B C A PC -的体积为()111111111121222332B C A PC C A PC V B C S -⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅+⋅=⎢⎥⎣⎦.20. 解析：(1)由已知()()f x f x -=，即22x a x a -=+，解得0a =.（2）2212,2()12,2x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， 当12x a ≥时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由12,,2a x a >≥得1x >，从而1x >-， 故()f x 在12x a ≥时单调递增，()f x 的最小值为2()24a a f =；当12x a <时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当12ax <<时，()f x 单调递增，当1x <时，()f x 单调递减， 则()f x 的最小值为(1)1f a =-；由22(2)(1)044a a a ---=>，知()f x 的最小值为1a -. 21.解析：（1）由题意知， )210()204(p x p py +--+=， 将231p x =-+代入化简得：x x y -+-=1416（0x a ≤≤）. （2）()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++.当1a ≥时,()0,1x ∈时0y '>， 所以函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增()1,a x ∈时0y '<，所以函数4161y x x =--+在()1,a 上单调递减 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大; 当1a <时,因为函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增 4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增, 所以x a =时,函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .综上,当1a ≥时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;当1a <时, 促销费用投入a 万元，厂家的利润最大（注：当1a ≥时，也可：13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ，当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号） 注意：厂家盈利是a 有应该最大值22. 解析：（1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =. 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. （2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=. 化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. 当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k ky k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠.直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =， 由2211612x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x = 由OM l ，得2D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -++=≥=即k =所以当k =时，AD AE OM+的最小值为 23. 解析：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=，所以1222i i i i r +=-=-，11i m ≤≤-．（2）若{}n a 单调递减，则11i A a ==，i m B a =，所以10i m r a a =->，不满足2i r =-，所以{}n a 单调递增．则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-．（3）构造1()2n n a n =-，其中n b n =，1()2n n c =-． 下证数列{}n a 满足题意： 因为1()2n n a n =-，所以数列{}n a 单调递增， 所以1()2i i i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， 所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-， 因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>， 所以数列{}i r 单调递增，满足题意．。

2016年高考文科数学上海卷-答案

2016年高考文科数学上海卷-答案

以12()log (1)f x x -=-.【提示】先将点(3,9)代入函数)(1xf x a =+求出a 值，再将x 与y 互换转化成反函数.【考点】反函数的概念，反函数的求解 7.【答案】2-【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令2z x y =-，当直线1122y x z =-经过点(0,1)P 时，z 取得最大值2-.【提示】根据约束条件，画出相应的封闭区域,通过平移找到最优解. 【考点】线性规划 8.【答案】π5π,66【解析】化简3sin 1cos2x x =+得：23sin 22sin x x =-，所以22sin 3sin 20x x +-=，解得1sin 2x =或sin 2x =-（舍去），又[0,2π]x ∈，所以π5π66x =或. 【提示】先通过化简得到角的某种三角函数值，再结合角的范围求解. 【考点】三角方程 9.【答案】112【解析】由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n ，即2256n =，所以8n =，又二项展开式的通项为()8483331882(2)rr rr r r r T C x C x x --+⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-，令84033r -=，所以2r =，所以3112T =，即常数项为112. 【提示】先根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，再综合运用二项展开式的系数的性质求解. 【考点】二项式定理 10.【答案】733【解析】由已知可设357a b c ===，，，∴2221cos =22a b c C ab +-=-，∴3sin 2C =，∴732sin 3c R C ==. OxyP。

2016年高考真题——理科数学(上海卷) Word版含解析

2016年高考真题——理科数学(上海卷) Word版含解析

【说明】： 【参考版答案】非官方版正式答案，有可能存在少量错误，仅供参考使用。

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2n x ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A, (0,1)B -, P 是曲线y BP BA ⋅的取值范围是____________ 【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧(1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)上海卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)上海卷

2016上海理一、填空题（共14小题；共70分） 1. 设 x ∈R ，则不等式 ∣x −3∣<1 的解集为 ． 2. 设 z =3+2i i，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于 ．3. l 1:2x +y −1=0，l 2:2x +y +1=0，则 l 1，l 2 的距离为 ．4. 某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 （米）．5. 已知点 (3,9) 在函数 f (x )=1+a x 的图象上，则 f (x ) 的反函数 f −1(x )= ．6. 如图，在正四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD 1 与底面所成角的大小为 arctan 23，则该正四棱柱的高等于 ．7. 方程 3sinx =1+cos2x 在区间 [0,2π] 上的解为 ．8. 在 (√x 3−2x )n的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 ． 9. 已知 △ABC 的三边长为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．10. 设 a >0，b >0，若关于 x ，y 的方程组 {ax +y =1x +by =1 无解，则 a +b 的取值范围是 ．11. 无穷数列 {a n } 由 k 个不同的数组成，S n 为 {a n } 的前 n 项和，若对任意 n ∈N ∗，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为 ．12. 在平面直角坐标系中，已知 A (1,0)，B (0,−1)，P 是曲线 y =√1−x 2 上一个动点，则 BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ．13. 设 a,b ∈R ，c ∈[0,2π]，若对任意实数 x 都有 2sin (3x −π3)=asin (bx +c )，则满足条件的有序实数组 (a,b,c ) 的组数为 ．14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A 1A 2⋯A 8 的中心，A 1(1,0)，任取不同的两点A i ，A j ，点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点 P 落在第一象限的概率是 ．二、选择题（共4小题；共20分）15. 设 a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为下图的是 ( )A. ρ=6+5cosθB. ρ=6+5sinθC. ρ=6−5cosθD. ρ=6−5sinθ17. 已知无穷等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，且 lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得 2S n <S (n ∈N ∗) 恒成立的是 ( ) A. a 1>0，0.6<q <0.7 B. a 1<0，−0.7<q <−0.6 C. a 1>0，0.7<q <0.8D. a 1<0，−0.8<q <−0.718. 设 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均为增函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 中至少有一个为增函数；②若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是 ( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题三、解答题（共5小题；共65分）19. 将边长为 1 的正方形 AA 1O 1O （及其内部）绕 OO 1 旋转一周形成圆柱，如图，AC ⏜ 长为 23π，A 1B 1⏜ 长为 π3，其中 B 1 与 C 在平面 AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥 C −O 1A 1B 1 的体积． （2）求异面直线 B 1C 与 AA 1 所成角的大小．20. 有一块正方形菜地 EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域 S 1 和 S 2，其中 S 1 中的蔬菜运到河边较近，S 2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S 1 和 S 2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为 (1,0)，如图．（1）求菜地内的分界线 C 的方程．（2）菜农从蔬菜运量估计出 S 1 面积是 S 2 面积的两倍，由此得到 S 1 面积的“经验值”为 83．设 M是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S 1 面积的经验值．21. 双曲线 x 2−y 2b 2=1(b >0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，直线 l 过 F 2 且与双曲线交于 A ，B 两点．（1）若 l 的倾斜角为 π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程． （2）设 b =√3，若 l 的斜率存在，且 (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 l 的斜率．22. 已知 a ∈R ，函数 f (x )=log 2(1x +a)．（1）当 a =5 时，解不等式 f (x )>0．（2）若关于 x 的方程 f (x )−log 2[(a −4)x +2a −5]=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的取值范围．（3）设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值和最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围．23. 若无穷数列 {a n } 满足：只要 a p =a q (p,q ∈N ∗)，必有 a p+1=a q+1，则称 {a n } 具有性质 P ．（1）若 {a n } 具有性质 P ．且 a 1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a 7+a 8=21，求 a 3．（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由．（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n(n∈N∗)，求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．答案第一部分1. (2,4)【解析】−1<x−3<1，即2<x<4．2. −3【解析】z=−i(3+2i)=2−3i．3. 2√55【解析】d=√22+12=2√55．4. 1.76【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76．5. log2(x−1)【解析】a3+1=9，故a=2,f(x)=1+2x．所以x=log2(y−1)，所以f−1(x)=log2(x−1)．6. 2√2【解析】BD=3√2，DD1=BD⋅23=2√2．7. x=π6,5π6【解析】3sinx=2−2sin2x，即2sin2x+3sinx−2=0．所以(2sinx−1)(sinx+2)=0，所以sinx=12，所以x=π6,5π6．8. 112【解析】2n=256，n=8．通项C8r⋅x8−r3⋅(−2x )r=C8r(−2)r⋅x8−4r3．取r=2，常数项为C82(−2)2=112．9. 7√33【解析】a=3，b=5，c=7，cosC=a 2+b2−c22ab=−12，所以sinC=√32，所以R=c2sinC =7√33．10. (2,+∞)【解析】由已知，ab=1，且a≠b，所以a+b>2√ab=2．11. 4【解析】当n=1时，a1=2或a1=3；当n≥2时，若S n=2，则S n−1=2，于是a n=0，若S n=3，则S n−1=3，于是a n=0．从而存在k∈N∗，当n≥k时，a k=0．其中数列{a n}:2,1,−1,0,0,⋯⋯满足条件，所以k max=4．12. [0,1+√2]【解析】设 P (cosα,sinα)，α∈[0,π]，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα+1)． BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosα+sinα+1=√2sin (α+π4)+1∈[0,1+√2]． 13. 4【解析】（i ）若 a =2， 若 b =3，则 c =5π3；若 b =−3，则 c =4π3．（ii ）若 a =−2，若 b =−3，则 c =π3；若 b =3，则 c =2π3．共 4 组． 14. 528【解析】5C 82=528．第二部分 15. A【解析】a >1⇒a 2>1，a 2>1⇒a >1 或 a <−1， 所以是充分非必要条件．16. D 【解析】θ=−π2 时，ρ 达到最大． 17. B 【解析】S n =a 1(1−q n )1−q ，S =a 11−q，−1<q <1．2S n <S ，即 a 1(2q n −1)>0， 若 a 1>0，则 q n >12，不可能成立． 若 a 1<0，则 q n <12，B 成立．18. D 【解析】①不成立，可举反例．f (x )={2x,x ≤1,−x +3,x >1.g (x )={2x +3,x ≤0,−x +3,0<x <1,2x,x ≥1.ℎ(x )={−x,x ≤0,2x,x >0.② f (x )+g (x )=f (x +T )+g (x +T ) f (x )+ℎ(x )=f (x +T )+ℎ(x +T ) g (x )+ℎ(x )=g (x +T )+ℎ(x +T )前两式作差，可得 g (x )−ℎ(x )=g (x +T )−ℎ(x +T )． 结合第三式，可得 g (x )=g (x +T )，ℎ(x )=ℎ(x +T )． 也有 f (x )=f (x +T )． 所以②正确． 第三部分19. （1） 连 O 1B 1，则 A 1B 1⏜=∠A 1O 1B 1=π3， 所以 △A 1O 1B 1 为正三角形，所以 S △A 1O 1B 1=√34， 所以 V C−O 1A 1B 1=13OO 1⋅S △A 1O 1B 1=√312． （2） 设点 B 1 在下底面圆周的射影为 B ，连 BB 1，则 BB 1∥AA 1， 所以 ∠BB 1C 为直线 B 1C 与 AA 1 所成角（或补角）． BB 1=AA 1，连 BC ，BO ，OC ， AB ⏜=A 1B 1⏜=π3，AC ⏜=2π3，所以 BC ⏜=π3， 所以 ∠BOC =π3， 所以 △BOC 为正三角形， 所以 BC =BO =1， 所以 tan∠BB 1C =BC BB 1=1，所以 ∠BB 1C =45∘，所以直线 B 1C 与 AA 1 所成角大小为 45∘．20. （1） 设分界线上任一点为 (x,y )，依题意 ∣x +1∣=√(x −1)2+y 2， 可得 y =2√x (0≤x ≤1)． （2） 设 M (x 0,y 0)，则 y 0=1， 所以 x 0=y 024=14．所以设所表述的矩形面积为 S 3，则 S 3=2×(14+1)=52．设五边形 EOMGH 面积为 S 4，则 S 4=S 3−S △OMP +S △MGQ =52−12×14×1+12×34×1=114，S 1−S 3=83−52=16，S 4−S 1=114−83=112<16．所以五边形 EOMGH 的面积更接近 S 1 的面积． 21. （1） 由已知 F 1(−√b 2+1,0)，F 2(√b 2+1,0)， 取 x =√b 2+1，得 y =b 2，∣F 1F 2∣=√3∣∣F 2A∣∣． 因为 ∣F 1F 2∣=2√b 2+1，∣F 2A∣∣=b 2， 所以 2√b 2+1=√3b 2，即 3b 4−4b 2−4=(3b 2+2)(b 2−2)=0， 所以 b =√2，所以渐近线方程为 y =±√2x ． （2） 若 b =√3，则双曲线为 x 2−y 23=1，所以 F 1(−2,0)，F 2(2,0),设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1)，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1) 所以 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2+4,y 1+y 2)， (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 22−x 12+4(x 2−x 1)+y 22−y 12(∗)． 因为 x 12−y 123=x 22−y 223=1，所以 y 22−y 12=3(x 22−x 12)．所以代入 (∗) 式，可得 4(x 22−x 12)+4(x 2−x 1)=0．直线 l 的斜率存在，故 x 1≠x 2， 所以 x 1+x 2=−1．设直线 l 为 y =k (x −2)，代入 3x 2−y 2=3， 得 (3−k 2)x 2+4k 2x −(4k 2+3)=0，所以 3−k 2≠0，且 Δ=16k 4+4(3−k 2)(4k 2+3)=36(k 2+1)>0 x 1+x 2=−4k 23−k 2=−1， 所以 k 2=35， 所以 k =±√155， 所以直线 l 的斜率为 ±√155． 22. （1） log 2(1x +5)>0⇔1x +5>1⇔4x+1x>0⇔x (4x +1)>0，所以不等式的解为 {x ∣ x >0或x <−14}．（2） 依题意，log 2(1x+a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，所以 1x +a =(a −4)x +2a −5，① 可得 (a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即 (x +1)[(a −4)x −1]=0，②当 a =4 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立． 当 a =3 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立． 当 a ≠3 且 a ≠4 时，方程②的解为 x =−1,1a−4．若 x =−1 为方程①的解，则 1x +a =a −1>0，即 a >0． 若 x =1a−4为方程①的解，则 1x+a =2a −4>0，即 a >2．要使得方程①有且仅有一个解，则 1<a ≤2．综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则 a 的取值范围为 1<a ≤2 或 a =3 或 a =4． （3） 在 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上单调递减． 依题意，f (t )−f (t +1)≤1， 即 log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，所以 1t+a ≤2(1t+1+a)，即 a ≥1t−2t+1=1−tt (t+1)． 设 1−t =r ，则 r ∈[0,12]， 1−t t (t+1)=r(1−r )(2−r )=rr 2−3r+2． 当 r =0 时，rr 2−3r+2=0． 当 0<r ≤12 时，rr 2−3r+2=1r+2r−3．因为函数 y =x +2x在 (0,√2) 递减， 所以 r +2r ≥12+4=92， 所以1r+2r−3≤192−3=23，所以 a 的取值范围为 a ≥23． 23. （1） a 2=a 5=2， 所以 a 3=a 6， 所以 a 4=a 7=3， 所以 a 5=a 8=2，所以 a 6=21−a 7−a 8=16， 所以 a 3=16．（2） 设 {b n } 的公比为 d ，{c n } 的公差为 q ，则 q >0． b 5−b 1=4d ， 所以 d =20， 所以 b n =20n −19， 所以 c5c 1=q 4=181，所以 q =13， 所以 c n =(13)n−5，所以 a n =b n +c n =20n −19+(13)n−5．因为 a 1=82，a 5=82，而 a 2=21+27=48，a 6=101+13=3043，a 1=a 5，但 a 2≠a 6，故 {a n } 不具有性质 P ．（3） 充分性：若 {b n } 为常数列，设 b n =C ， 则 a n+1=C +sina n 若存在 p ，q 使得 a p =a q ，则 a p+1=C +sina p =C +sina q =a q+1 ， 故 {a n } 具有性质 P ．必要性：若对任意 a 1，{a n }，具有性质 P ， 则 a 2=b 1+sina 1．设函数 f (x )=x −b 1，g (x )=sinx ，由 f (x )，g (x ) 图象可得，对任意的 b 1，二者图象必有一个交点，所以一定能找到一个a1，使得a1−b1=sina1，所以a2=b1+sina1=a1，所以a n=a n+1，故b n+1=a n+2−sina n+1=a n+1−sina n=b n，所以{b n}是常数列．。