4.3用公式法解一元二次方程(2)

通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).当a，b，c
满足什么条件时，方程的两根互为相反数？
一元二次方程的解法
————公式法
回顾复习：
解法一：直接开平方法：x2+6x+9=0
解法二：因式分解法：
1.x2 (5 2)x 5 2 0
2. 3x2 5x 0
3.x2 12x 27 0
1.x1 5; x 2 2.
15
2.x1 0;x2
. 3
3.x1 3;x2 9.
回顾复习：
解法三：配方法：
2x2 4x 1 0
用配方法解一元二次方程的步骤： （1）二次项系数化为1：x2+px+q=0 （2）移项，整理得 x2+px=-q ；
（3）配方： （4）开平方法解方程.
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
【解析】把方程两边都除以a, 移项，得 x2 + x= ba
【解析】设方程的两个根为x1,x2，依题意，得
x1 +x2 b
b 2+ 4ac
2a
b
0
a
b b2 4ac 2a
因为a≠0, 所以b=0.
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
2.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广

一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。

解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。

一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。

1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。

在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。

判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。

在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。

与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。

当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。

根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。

需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。

此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。

2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。

中考数学人教版专题复习：用公式法解一元二次方程一、考点突破1. 熟练掌握公式法的公式及推导过程；2. 掌握一元二次方程的判别式及其应用。

二、重难点提示重点：应用公式法解一元二次方程。

难点：应用判别式解决相关问题。

考点精讲1. 公式法解一元二次方程（适用于全部一元二次方程）求根公式：x=a acb b24 2-±-求解步骤：①先用判别式Δ=b²－4ac判断方程有无实数根。

②若有实数根，继续代入公式计算两根。

注意：①利用公式法时先把一元二次方程化成一般形式。

②方程有两相等实数根时，要写成x1=x2的形式。

2. 用根的判别式（Δ=b²－4ac）来判断一元二次方程有几个根：①当Δ=b²－4ac＜0时方程无实数根；②当Δ=b²－4ac＝0时方程有两个相等的实数根即x1=x2 ；③当Δ=b²－4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；④当Δ=b²－4ac≥0时方程有实数根。

典例精析例题1 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2－2x－3=0，下列说法正确的是（）A. ①②都有实数解B. ①无实数解，②有实数解C. ①有实数解，②无实数解D. ①②都无实数解思路分析：求出①、②的判别式，根据：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根；即可得出答案。

答案：解：方程①的判别式△=4－12=－8，则①没有实数解；方程②的判别式△=4+12=16，则②有两个实数解。

故选B。

点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握根的判别式与方程根的关系。

例题2 已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k －4=0有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。

思路分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的取值范围；（2）找出k 的取值范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意的k 的值。

得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= = 即 x1=2, x2 = =
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =
• 练习:用公式法解方程 • 1、 x²- x -1= 0 • 2、 2x²- 4 x+2= 0
一、用配方法解下列方程 2x² -12x+5=0
二、用配方解一元二次方程的步 骤是什么？
1、若二次项系数不是1，把二次项系数 化为1(方程两边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数绝 对值的一半的平方，使左边成为完全 平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数， 用直接开平方法解之，如果右边是个 负数，则指出原方程无实根。
b b 4ac x . 2a 2a 2 b b 4ac 2 x . b 4ac 0 .
2


5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 2 当b 4ac 0时, 它的根是 :
b 2 4ac 0
时，一元二次方程有两个
a 1, b 2 2 3, c 3
2 3x 3 0
例
用公式法解方程：
x2 – x =0
例 用公式法解方程：
x2 +3 = 2 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = = x
解：方程两边同乘以 3
即
x1= 2
, 6
x 2= 2 6 .