平面向量复习三学生版

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节 平面向量的基本概念与线性运算考纲要求：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示；2. 掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义；3. 掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；4. 了解向量线性运算的性质及其几何意义。

考点梳理：1．向量的有关概念 (1)向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或模)． (2)零向量：________的向量，其方向是任意的． 3)单位向量：长度等于__________的向量．(4) 平行向量：方向________的非零向量．平行向量又叫________． 规定：0 与任一向量平行．(5)相等向量：长度________的向量． (6)相反向量：长度________的向量． 2．向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则． 运算性质：a ＋b ＝________；(a ＋b)＋c ＝________.(2)减法与________互为逆运算；服从三角形法则． 3．实数与向量的积(1)实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λa ，规定：①长度：|λa|＝________；②方向：当________时，λa 与 a 的方向相同；当________时，λa 与a 的方向相反；当________时，λa ＝0．(2)运算律：设 λ、μ∈R ，则：① λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a ＝________；③λ(a ＋b)＝________． 4．两个向量共线定理向量 b 与 a(a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得________成立。

基础自测：1．(教材改编题)平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数 1λ、2λ，使1λa ＋2λb ＝02．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ,满足02=+CB AC ,则=OC ( )A ．OB OA -2 B ．OB OA 2+-C ．OB OA 3132- D ．OB OA 3231+-3．已知向量a 、b ，且b a AB 2+=，b a BC 65+-=，b a CD 27-=，则一定共线的三点是（ ）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D讲练互动：考向一 向量的有关概念 例1给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；=，则b a ±=；③若DC AB =，则ABCD 为平行四边形；④若//，//，则//. 其中不正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4变式训练:(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能 比较大小；(3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；(4) 已知λ，μ为实数，若b a μλ=，则a 与b 共线。

学而思高中完整讲义：向量.板块三.平面向量的数量积.学生版题型一：数量积运算【例1】 已知向量(11)a , =，(2)b , n =，若||a b a b +=⋅，则n =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【例2】 已知7a =，2b =，a 与b 的夹角为60，求(3)(5)a b a b -+；【例3】 已知向量a 与b 的夹角为120，且4a b ==，那么(2)b a b ⋅+的值为 ．【例4】 若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（ ） A ．()()a b c a b c ++=++ B ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅C ．()m a b ma mb +=+D ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅【例5】 等边ABC ∆的边长为4，则AB BC ⋅=【例6】 设a b c ，，是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为（ ） A ．2- B ．222 C ．1- D ．12【例7】 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===°，，，D 是BC 边上一点，2DC BD =，则AD BC⋅等于（ ）A ．83-B ．83C ．23D ．23-DCBA【例8】 在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）DABCA ．2AC AC AB =⋅ B ．2BC BA BC =⋅ C ．2AB AC CD =⋅D ．22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【例9】 若向量a ,b 满足1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则a a a b ⋅+⋅=（ ）A ．12 B ．32C. 31+ D ．2【例10】 直角坐标平面上三点(12)A ，、(32)B -，、(97)C ，，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅= ．题型二：向量求模【例11】 已知4a =，3b =，且6a b ⋅=．⑴ 求a b ，的值；⑵求a b +的值．【例12】 在ABC ∆中，已知3AB =，4BC =，60ABC ∠=，求AC ．典例分析【例13】 已知2a =，3b =，a 与b 的夹角为120°，求：⑴a b ⋅；⑵22a b -⑶()()23a b a b -+；⑷a b +【例14】 已知向量(1),(1)a n b n ==-，，，若2a b -与b 垂直，则a = ．【例15】 已知向量(1),(1)a n b n ==-，，，若2a b -与b 垂直，则a =（ ）A ．1 BC ．2D ．4【例16】 已知向量(21)10||52a a b a b =⋅=+=，，，，则||b=（ ） ABC ．5D ．25【例17】 已知2,1,a b ==a 与b 的夹角为π3，那么4a b -等于（ ） A ．2B ．C ．6D ．12【例18】 设ABC ∆是边长为1的正三角形, += .【例19】 已知212-=⋅b a ，4=a ，a 和b 的夹角为︒135，则b 为 （ ）A ．12B ．3C ．6D ．33【例20】 已知平面向量(2,4)a =，(1,2)b =-．若()c a a b b =-⋅，则||c =_____________．【例21】 已知a ，b 是非零向量，且a ，b 夹角为π3，则向量a b p a b=+的模为 ．【例22】 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c --=，则c 的最大值是( )A.1B.2【例23】 在△ABC 中，已知1,AB AC ⋅= 2AB BC ⋅=-．(1) 求AB 边的长度； (2)证明：tan 2tan A B =； (3) 若||2AC =,求||BC ．题型三：向量求夹角与向量垂直【例24】 已知两单位向量a 与b 的夹角为120︒，若23c a b d b a =-=-，，试求c 与d 的夹角．【例25】 1a =，2b =，c a b =+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【例26】 设非零向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，求x 的取值范围【例27】 已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ,如果→a 与→b 的夹角为锐角,则λ的取值范围 。

1 第六篇 平面向量与复数 专题6.02 平面向量基本定理及坐标表示 【考试要求】 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识梳理】 1.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. 4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 【微点提醒】 1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) 2

(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( ) (3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )

平面向量专题：共线定理与等和线适用题型：在向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。

共线定理：已知OP mOA nOB =+，若1m n +=，则,,P A B 三点共线；反之亦然。

例：已知ABC ∆中，3BC BD =,过D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，AN AC μ=，(),0λμ>，则21λμ+= 。

变式1：如图，在OAB ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，则：（1）OG = （用a b ，表示）.（2）过G 的直线分别交直线OA ，OB 于点M ，N ，若OM a λ=，ON b μ=，(),0λμ>， 则12λμ+= 。

变式2：如图，在OAB ∆中，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 交于点G ，设OA a =，OB b =，过G 的 直线分别交OA ，OB 于点M ，N ，若OM a λ=，ON b μ=，(),0λμ>，则13λμ+= 。

变式3：在AOB ∆中，点P 在AB 上，若2OP tPA tOB =+，则PB PA= 。

变式4：如图所示，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，且12AF FC =，BF 与CD 相交于点E ， 过E 的直线分别交线段AB ，AC （不含端点）于点M ，N ，若AM AB λ=，AN AC μ=， 当1tλμ+为定值时，t λμ的取值范围为 。

变式5：在△ABC 中，=2，=3，设P 为△ABC 内部及边界上任一点，若=λ+μ，则λμ最大为 ．变式6：设G 为△ABC 的重心，过G 作直线l 分别交线段AB ，AC （不与端点重合）于P ，Q ．若=λ，=μ（1）求+的值； （2）求λ•μ的取值范围．等和线：平面内一组基底OA , OB 及任一向量OP , OP OA OB λμ=+,若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为等和线。