空间点、直线、平面之间的位置关系
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空间点、直线、平面之间的位置关系
一、知识要点：
1.平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2.空间中直线与直线之间的位置关系：
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
（1）直线在平面……有无数个公共点；
（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行……没有公共点。
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意，我们不提倡如下画法．
4.平面与平面之间的位置关系：
（1）两个平面平行……没有公共点；
（2）两个平面相交……有一条公共直线。
二、例题讲解：
例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．
图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．
图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．
分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．
解：图1可以用几何符号表示为：
即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面，直线b在平面
，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．
图2可以用几何符号表示为：，△ABC的
三个顶点满足条件
即：平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，
点B在但不在直线MN上，点C在平面但不在直线MN上．
例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．
分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图．
解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图．
点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习．
（2）与本题类似的其它变形还有：
用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形．
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）DD1和A1B1的位置关系如何？
D1B和AC的位置关系如何？
A1C和D1B的位置关系如何？
（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？
（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？
（4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？
解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。
（1）异面直线；异面直线；相交直线；
（2）4条．分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C；
（3）6条．分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD；
（4）30对。
例4、已知：如图，立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD ，E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．
求证：△EFG∽△BCD．
证明：∵在平面ABC 中，EF∥BC ，∴ ＝．
又在平面ACD中，FG∥CD， ∴
=．
∴
=．
∴ EG∥BD．
∴ ∠EFG =∠BCD．
同理∠FGE =∠CDB，
∴ △EFG∽△BCD．
与本例类似变形还有：
已知：将一长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示，连结
AD、BC．
求证：AD BC，∠ADE＝∠BCF．（证明略）
三、练习：
1．下列图形中，满足的图形是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
2．已知A、B表示点，b表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
3．用符号表示“若A、B是平面的两点，C是直线AB上的点，则C必在”，即是
________________．
4．“a，b为异面直线”是指：
（1）且a不平行于b；
（2）且
；
（3）且；
（4）；
（5）不存在平面，使且
成立．
上述结论中，正确的是（ ）．
（A）（1）（4）（5） （B）（1）（3）（4）
（C）（2）（4） （D）（1）（5）
5．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）．
（A）平行或异面 （B）异面 （C）相交 （D）相交或异面
6．如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN ＝__________．
7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________，它们所成的角为________度。
四、练习答案：
1. 提示: 根据平面的无限延展性及平面画法来判断．
答案:（C）．
2. 提示：根据点与平面应用“”“
”连接排除A；根据公理两个平面相交为一条直线，排除B；再跟据图形可排除D，因为A有可能在平面上．
答案：（C）．
3. 提示: 熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“”、
“”等符号．
答案: .
4. 提示：根据异面直线定义“不同在任何一个平面，没有公共点的两条直线叫异面直线”，结合图形可排除（2）、（3）、（4）．（∵（2）中可能有a∥b，（3）中可能有a∥b，（4）可能有a与b相交或平行．）（5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的．
答案：（D）．
5. 提示：由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证．
答案：（D）．
6. 提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2∶3．连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，再连结MN、EF，根据三角形重心性质得BE ＝EC，CF＝FD．
∴ MN
EF，EF
BD．
∴ MN
BD ∴ MN ＝m．
答案：m．
7.解析：展开图还原成正方体如图所示（C点与D点重合），成异面直线的是AF与BC（或BD)，AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。
