《高级宏观经济学》考研罗默版2021考研真题与习题
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《高级宏观经济学》考研罗默版2021考研真题与习题
1.10 假定与习题1.9类似，资本和劳动按照边际产出支付报酬。此外，假设所有资本收入用于储蓄，而所有劳动收入均用于消费。因此。
（a）证明该经济收敛于平衡增长路径。
（b）在平衡增长路径上，k大于、小于还是等于k的黄金律水平？这一结论的直观含义是什么？
解：（a）证明：由k＝K/AL，对其两边关于时间求导，可得：
（1）
将，和代入方程（1），可得：
（2）
将代入方程（2），可得：
（3） 当时，每单位有效劳动保持不变。即[f＇（k）－（n＋g＋δ）]＝0，因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由[f＇（k）－（n＋g＋δ）]＝0潜在地决定。
k＝K/AL，由于在平衡增长路径上k保持不变，因此，K必须与AL保持同样的增长速度。AL的增长速度为n＋g，所以K的增长速度为n＋g。由于生产函数是规模报酬不变的，因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n＋g。
综上所述，可以发现所有变量增长速度均不变。
下面证明经济收敛于平衡增长路径。
在k＝k*时，f＇（k）－（n＋g＋δ）＝0，此时经济处于平衡增长路径上。如果k＞k*，由于f＂（k）＜0，所以，则经济向下偏离平衡增长路径；反之，如果k＜k*，则，经济向上偏离平衡增长路径。所以，不管初始的k如何，经济都将收敛于平衡增长路径，此时，所有的经济变量都以不变的速率增长。
（b）满足黄金规则的资本水平是指使每单位有效劳动的消费最大时的资本水平，即f＇（kGR）＝（n＋g＋δ）。此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。而这正是经济收敛到均衡增长路径时k的水平，这时所有的资本收入被储蓄，所有的劳动收入被消费。
在本模型中，将资本的贡献（资本的边际产品乘以资本的数量）储蓄起来。如果资本的贡献超过持平投资，即kf＇（k）＞（n＋g＋δ）k，则k上升；反之，如果kf＇（k）＜（n＋g＋δ）k，则k下降。因此，经济收敛于kf＇（k）＝（n＋g＋δ）k，或者f＇（k）＝（n＋g＋δ）这一点上，此刻经济收敛于平衡增长路径。 1.11 仿照方程（1.28）～（1.31）的步骤，计算出在平衡增长路径附近y向y*收敛的速度。[提示：由y＝f（k）可得k＝g（y），其中。]
（1.28）
（1.29）
（1.30）
（1.31）
解：首先，由y＝f（k）求反函数可得，k＝f－1（y），令k＝g（y）＝f－1（y），即k可以表示成y的函数；又由于在索洛模型中，是由k的值所决定的，因而可以表示为k的函数，从而可以表示为y的函数，即有：。特别地，当k＝k*时，。
函数在处的一阶泰勒展式为：
（1）
令，则上式可以简化为：
（2） 方程（2）表明，在平衡增长路径附近，y移向y*的速度几乎与y和y*之间的距离成比例。也就是说，y（t）－y*的增长率近似于一个固定的常数－λ，这意味着
（3）
其中，y（0）是y的初始值。
其次，确定λ的值。对生产函数y＝f（k）两端关于时间t求导数可得：
（4）
而教材中资本积累的方程为：
（5）
由方程（4）和（5）可得：
（6）
方程（6）两端对k求导可得：
（7）
在平衡增长路径上，sf（k*）＝（n＋g＋δ）k*，因而方程（7）可以表示为：
（8）
由于k＝g（y），其中，从而有：
（9）
由方程（8）和（9）可得： 综上可得：
（10）
因为在平衡增长路径上，s＝（n＋g＋δ）k*/f（k*），从而方程（10）可以表示为：
（11）
又由于αK＝kf＇（k）/f（k），所以方程（11）可以简化为：
综上所述，在平衡增长路径附近，y以近似于 [1－αK（k*）]（n＋g＋δ）的不变速度收敛于平衡增长路径值。
1.12 物化的技术进步。[来自索洛（Solow，1960）和萨托（Sato，1966）。]有关技术进步的一种看法是，资本品在时刻t的生产力依赖于时刻t的技术水平，而与此后的技术进步无关，这就是物化的技术进步（技术进步必须物化为新的资本才能增加产出）。本题旨在探讨物化技术进步的影响。
（a）首先，我们修改基本的索洛模型，假定技术进步为资本增强型而不是劳动增强型。为了保证平衡增长路径的存在，假设生产函数为柯布—道格拉斯函数：Y（t）＝[A（t）K（t）]αL（t）1－α，A的增长率为。 证明该经济收敛于一个平衡增长路径，并计算Y与K在平衡增长路径上的增长率。[提示：证明Y/（AφL）可以写为K/（AφL）的函数，其中φ＝α/（1－α），并分析K/（AφL）的动态变化。]
（b）考虑物化的技术进步。具体来说，假定生产函数为Y（t）＝J（t）αL（t）1－α，其中J（t）为有效资本存量。J（t）的动态变化由给定。表达式中的A（t）项表明在时刻t投资的生产力取决于时刻t的技术水平。
证明该经济收敛于一个平衡增长路径，并计算在这个平衡增长路径上Y和J的增长率。[提示：令，然后用（a）中的方法，着重考虑而不是K/（AφL）。]
（c）在平衡增长路径上，产出对s的弹性是多少？
（d）在平衡增长路径附近，经济向平衡增长路径收敛得有多快？
（e）把（c）和（d）中得到的结果与课文中基本索洛模型的相应结果进行对比。
解：（a）A以Y＝F（K，AL）的形式进入，则技术进步为哈罗德中性的；A以Y＝F（AK，L）的形式进入，则技术进步为资本增加型的；A以Y＝AF（K，L）的形式进入，则技术进步为希克斯中性的。本题为第二种情况。
资本增加型的技术进步的生产函数的形式为：
（1）
在方程（1）左右两边同时除以A（t）α/（1－α）L（t），可得：
化简得： 上式再简化为：
定义：φ＝α/（1－α），及，代入上式，可得：
（2）
为求k的动态变动，将）两边求导数得：
即：
将，及代入上式，可得：
（3）
总资本存量的动态方程式为：
（4） 将方程（4）代入（3），可得：
将方程（2）代入上式，可得：
（5）
方程（5）与索洛模型（劳动增进型）中的资本动态方程非常相似。不过，本模型用而不是用有效劳动A（t）L（t）来衡量资本。图1-11是k的变化图。
图1-11 k收敛于k*
当每单位A（t）φL（t）的实际投资超过每单位A（t）φL（t）的持平投资时，k将上升趋向于k*；反之，当每单位A（t）φL（t）的实际投资小于每单位A（t）φL（t）的持平投资时，k将下降趋向于k*。忽略k为0的情况，经济将在k＝k*时收敛到平衡增长路径。因为，所以当k＝k*时，y也将保持不变。 再分析总的情况：总资本K为AφLk，由于k保持不变，因此K的增长率为；同理，总产出Y为AφLy，由于y保持不变，因此Y的增长率为。由于A和L被假定按既定的速率增长，因此，由于所有的变量均按既定的速率增长，经济收敛到平衡增长路径。
（b）考虑物化的技术进步的情况。
生产函数的形式为：
（6）
定义，代入方程（6），生产函数的形式可以重写为：
（7）
对方程（7）两边同时除以，得：
（8）
定义，及，代入方程（8），可得：
（9）
为分析的动态变化，对两边求导数，即：
将，及代入上式，可得：
（10）
为求得表达式，对两边取导数，即：
将，及代入上式，可得：
上式再简化为：
（11）
将方程（11）代入（10），可得：
将代入上式，可得：
（12） 图1-12 收敛于
图1-12是的变化图。忽略为0这种情况，经济将在时收敛。同理，由于，当经济收敛于时，y将保持不变。
总产出Y＝AφLy，由于y保持不变，总产出的增长率为。
由定义可知，在经济收敛于平衡增长路径时，保持不变，的增长率为。由于，所以，有效资本存量的增长率为，或者是。因此，由于所有的变量都以不变的速率增长，经济收敛于平衡增长路径。
（c）在平衡增长路径上，，由方程（12），可知进一步可推出：。
因此有下式：
（13） 将方程（13）代入（9），可以求得在平衡增长路径上每单位A（t）φL（t）的产出的表达式：
（14）
对y*关于s进行求导，即：
两边乘以以求得弹性形式，即：
上式简化为：
最终可以得到：
（15）
（d）求在y＝y*处的一阶泰勒展开式，即：
（16）
对方程（9）两边求导，可得：
（17）
将方程（12）代入（17）中，即：
或者如下：
（18）
方程（18）是用来表达，也可以用来表达。因为，可以推出，因此在y＝y*处，可以表达为：
因为，所以有：
最后，重新整理方程（13）为：，代入上式，可得：
上式再简化为：
（19）
将方程（19）代入（16），可得：
（20）
求解此微分方程，可得： （21）
这表示经济每年向y*移动。
（e）本模型中产出关于储蓄的弹性与基本的索洛模型中得到的结果一样。本模型中收敛的速度快于索洛模型中的收敛速度。在基本的索洛模型中，收敛的速度为，小于本模型中的。
1.13 考虑处于平衡增长路径上的索洛经济。假设1.7节中的增长核算技术适用于本经济。
（a）根据增长核算的方法，工人平均产出增长中有多大比例来自于工人平均资本的增长？多大比例来自于技术进步？
（b）如何用（a）中的结论解释如下事实：索洛模型表明，平衡增长路径上的工人平均产出增长率由技术进步率唯一确定。
答：（a）根据增长因素分析法，产出可以分解为：
其中，αK（t）是产出关于资本的弹性，R（t）是索洛剩余。
在平衡增长路径上，每位工人平均产出增长率和每位工人平均资本增长率都等于技术进步率。在上述公式中，索洛将每位工人平均产出的αK（t）部分归于资本的贡献，而将1－αK（t）部分归于技术进步，即索洛剩余。通常估计αK（t）＝1/3，因此，增长因素分析法将67%的贡献归于技术进步，而仅有33%的部分是资本所做的贡献。
（b）从增长因素分析法看，（a）部分的结论是正确的，但是，实际上不完全正确。在平衡增长路径上，资本—劳动比率的增长率为g，这是因为有效劳动的增长率为
