欧式空间上的变换是线性变换的充分条件

第ｌ０卷第２期　辽宁科技学院学报　Ｖｏ１．１０　Ｎｏ．２　

２００８年５月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＬＩＡＯＮＩＮＧ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　ＯＦ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＡＮＤ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ｍａｙ．　２００８　

文章编号：１００８—３７２３（２００８）０２—００３３—０２　

欧式空间上的变换是线性变换的充分条件　

张锦来　

（朝阳师范高等专科学校数学系，辽宁朝阳１２２０００）　

摘要：研究了欧式空间上线性变换的若干问题，推导出欧式空间上的变换是线性变换的充分条件。　

关键词：欧式空间；线性变换；充分条件　

中图分类号：Ｏ　１８９．３　文献标识码：Ａ　

１　引言　

线性变换的研究是高等代数研究的一个重要内容，本文　

借鉴参考文献，给出了欧式空间上的变换是线性变换的充分　

条件。首先引述几个原有结论：　引理ｌ…　欧式空间Ｖ上一个变换盯是线性变换的充　

要条件是　

ｏｒ（ａ考＋ｂ－ｑ）＝ａ　（毫）＋ｂ　（　），Ｖ毫、－ｑ　Ｅ　Ｖ，ａ．ｂ　Ｅ　Ｆ（Ｆ为　

数域）。　

引理２　欧式空间Ｖ上一个变换　是正交变换的充　

要条件是：对任意∈、－ｑＥＶ，都有　

＜　（∈），　（－ｑ）＞＝＜∈，－ｑ＞　

引理３　欧式空间Ｖ上一个变换　是正交变换的充　

要条件是：对任意∈、－ｑ　Ｅ　Ｖ，都有　

ｌ　（∈）＋　（－ｑ）ｌ＝ｌ∈　ｌ　引理４【４　欧式空间Ｖ上一个变换　是正交变换的充　

要条件是：　保持向量的长度和夹角不变。　

由文［４］知，满足引理２—４条件的变换　一定是线性　

变换。本文再给出变换　为线性变换的几个充分条件。　

２主要结果　

定理１设　是欧式空间Ｖ上的变换，如果对任意∈、　

Ｅ　Ｖ，有　

＜　（毛），　（－ｑ）＞＝Ｃ＜毛，－ｑ＞　

其中Ｃ为一实数，则　为一线性变换。　

推论１．　设　是欧式空间Ｖ上的变换，如果对任意∈、　

－ｑ　Ｅ　Ｖ．有　

ｌ　（∈）＋　（－ｑ）ｌ＝Ｃｔ∈　ｌ　

其中Ｃ为一非负实数，则　为一线性变换。　

推论２．设　是欧式空间Ｖ上的变换，如果对任意∈Ｅ　

Ｖ，满足　

ｌ　（∈）ｌ＝Ｃｌ∈ｌ　并且　保持向量的长度和夹角不变，　

其中Ｃ为一非负实数，则　为一线性变换。　

定理２．　设　是欧式空间Ｖ上的变换，如果对任意向　

量，ｕ、∈、－ｑＥＶ，任意ａ、ｂ－ｑ　ＥＲ，满足　

＜　（ａ考＋ｂ　），ｕ＞＝＜ａｏｒ（毫）＋ｂ　（　），ｕ＞　

收稿日期：２ｏｏ８一ｏ４—０８　

作者简介：张锦来（１９５９～），女，汉族，辽宁省朝阳市人，朝　

阳高等师范专科学校副教授。　那么　是Ｖ上的一个线性变换。　

推论３．　设　是欧式空间Ｖ上的变换，若对任意∈，　

ＥＶ，满足　

＜　（∈），－ｑ＞＝±＜∈，　（－ｑ）＞　

那么　是一个线性变换。　

３定理及推论的证明　

定理１．　

证：因＜　（ａ《＋ｂ　）一ａｏ＂（∈）一ｈ　（　），　

（ａ毫＋ｂＴ１）一ａｏ＂（毫）一ｂ　（－ｑ）＞＝＜　（ａ考＋ｂＴ１）　

（ａ毫＋ｂ　）一２ａ＜　（ａ考＋ｂＴ１），ａｏ＂（毫）＞一２ｂ＜Ｏｒ　

（ａ∈＋　）　（－ｑ）＋ａ２＜　（∈），　（∈）＞＋２ａｂ＜　（∈）　

（－ｑ）＞＋ｂ　＜　（－ｑ），　（－ｑ）＞　＝Ｃ【＜　＋ｂ　，ａ考＋ｂＴ１＞一２ａ＜ａ考＋ｂＴ１，善＞一２ｂ　

＜　＋ｂ　，　

－ｑ＞＋ａ　＜毫，毫＞＋２ａｂ＜毫，－ｑ＞＋ｂ　＜－ｑ，－ｑ＞＝Ｃ　［＜ａ　１＋２ａｂ＜∈，　

－ｑ＞＋ｂ２＜ｌ　ｌ一２ａ２ｌ毫　ｌ一２ａｂ＜毫，－ｑ＞一２ｂ　ｌ　ｌ　

一２ａｂ＜∈，　－ｑ＞＋ａ　＜ｌ毫　ｌ＋ｂ　ｌ　Ｉ＋２ａｂ＜毫，－ｑ＞］＝０　

所以　（ａ《＋　）＝ａ　（∈）＋ｂ　（　）　

故由引理１知，　是一个线性变换。　

推论１．　证：对任意∈、－ｑＥＶ，当∈＝一　时有　

ｌ　（∈）＋　（－ｑ）ｌ＝ｌ　＋（一　）ｌ＝０　故　（一－ｑ）＝一　（－ｑ），又当时∈＝－ｑ＝０，得Ｏｒ（ｏ）＝０　

又因÷［１　（∈）＋Ｏｒ（ｎ）ｌ　一ｆ盯（∈）＋Ｏｒ（－ｑ）１　２］　

＝÷［ＩＯｒ（Ｏ　ｌ　＋ｌ　（　）Ｉ　＋２＜Ｏｒ（∈），Ｏｒ（－ｑ）＞一ｌ　

（∈）ｌ　一ｌ　（－ｑ）ｌ　

＋２＜　（毫），　（－ｑ）＞］＝＜　毫，　（－ｑ）＞　

但÷［ｆ　（∈）＋Ｏｒ（ｎ）ｌ　一ＩＯｒ（Ｏ—Ｏｒ（ｎ）１　２］　

＝　１［ｃ　ｌ∈　ｌ　一ｃ　ｌ∈一　ｌ　］　

：　ｌ　＋ｌ　ｌ　＋２＜《，　＞一ｌ∈ｌ　一ｌ　ｌ　＋２＜　

∈，－ｑ＞］　

＝Ｃ　＜∈，－

ｑ＞　维普资讯 http://www.cqvip.com ３４　辽宁科技学院学报　第ｌＯ卷　

所以＜盯（∈），盯（ｎ）＞＝Ｃ　＜∈，ｎ＞　故由定理１得知，是盯一个线性变换。　

推论２．　证：对任意非零向量∈、ｎ∈Ｖ，下式成立　

（量２　（丑２三一　ｆ圭２：ｇＩ卫２三一　至：　三　ｌ仃（∈）ＩｌＯｒ（ｎ）Ｉ—　Ｃ　ｌ∈ｌ　ｌ　ｌ　—ｌ∈ｌ　ｌ　ｌ　

所以＜盯（∈），盯（ｎ）＞＝Ｃ　＜∈，ｎ＞　

定理２．　

证：由内积的对称性知＜ｕ，盯（　＋　）＞＝＜ｕ，ａＯｒ（∈）　

＋　＞　因＜盯（ａ专＋ｂＴ１）一ａｏｒ（专）一ｂ盯（ｎ），盯（ａ专＋ｂ　）一ａｏｒ（专）　

一ｂＯｒ（ｎ）＞　＝＜盯（ａ毫＋ｂＴ１），盯（ａ毫＋ｂＴ１）＞一２ａＯｒ＜盯（ａｔ＋ｂ　）　

叮（∈）＞一２ｂ＜盯（ａ∈＋ｂ　）　Ｏｒ（ｎ）＞＋ａ　ｌ盯（专）ｌ　＋ｂ　Ｉ　Ｏｒ（　）ｌ　＋２ａｂ＜Ｏｒ（毫），盯　

（　）＞　

参考文献　＝ａ　ｌ盯（专）ｌ　＋ｂ　ｌＯｒ（　）ｌ　＋２ａｂ＜Ｏｒ（专），Ｏｒ（　）＞一　

２ａ　ｌ盯（∈）ｌ　一２ａｂ＜Ｏｒ（∈），　

盯（　）＞一２ａｂ＜Ｏｒ（专），Ｏｒ（ｎ）＞一２ｂ　ＩＯｒ（　）ｌ　＋ｂ　Ｉ盯　

（考）｝　

＋ｂ　ｌＯｒ（ｎ）Ｉ　＋２ａｂ＜Ｏｒ（专），Ｏｒ（　）＞＝Ｏ　

所以盯（ａ专＋ｂＴ１）＝ａＯｒ（∈）＋ｂ叮　故由引理１知，盯是一个线性变换。　

推论３．　证：对任意ａ　ｍｂ∈Ｒ，任意∈，ｎ∈Ｖ，由内积定义知　

＜∈，盯（ｎ）＞±＜盯（§），ｎ＞故＜盯（ａ∈＋　），ｕ＞　

＝±＜盯毫＋　，盯（ｕ）＞＝±盯＜专，盯（ｕ）＞±ｂ＜ｎ，盯　

（ｕ）＞　

＝ａ＜盯（考），ｕ＋ｂ＞＋ｂ＜盯（ｎ），ｕ＞　

＝＜ａＯｒ（专）＋　（　），ｕ＞　由定理２得知，盯是一个线性变换。　

［１］贺昌亭．高等代数（下册）［Ｍ］．沈阳：辽宁人民出版社．１９８３；２８７—２８８　

［２］张禾瑞，郝炳新．高等代数［Ｍ］．北京：人民教育出版社．１９７９；２８９—２９０　

［３］寇福来．欧式空间的变换是正交变换的条件［ｊ］．数学通报．１９９０（１２）３４—３５　

［４］北京大学数学力学系，高等代数［Ｍ］．北京：人民教育出版社．１９７８；３５１　

（上接第２８页）　

参考文献　

［１］Ｋｎｉｇｈｔ，Ｃ．，ａｎｄ　Ｎｕｎｒｏ，Ｍ．，“Ｖｉｒｔｕａｌ　ｂｕｔ　Ｖｉｓｉｂｌｅ　Ｓｏｆｔｗａｒｅ”，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ＩＶ’００，Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎ，Ｌｏｎｄｏｎ，ＩＥＥＥ　ＣＳ　Ｐｒｅｓｓ，２０００．　

［２］徐丹，石教英．虚拟现实中基于图像的绘制技术”［Ｊ］．中国图像图形学报，１９９９，（５）．　

［３］Ｐａｕｌ　Ｔｒｅｍｂｌｅｔｔ“Ｊ２ＭＥ无线Ｊａｖａ应用开发”［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２００２，（９）．　［４］阮秋琦．数字图像处理学［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００２，（４）．　

Ｍｏｂｉｌｅ　Ｐａｎｏｒａｍａ　Ｒｏａｍｉｎｇ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　Ｖｉｒｔｕａｌ　Ｍｕｓｅｕｍ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｖｉｒｔｕａｌ　ｍｕｓｅｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｃｉｅｎｃｅ＆ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｏｎ　Ｉｎｔｅｒａｃｔ　ｏｒ　ＰＣ　ｂｅｃｏｍｅｓ　ｐｏｐｕｌａｒ　ｃｕｒｒｅｎｔｌｙ．　

Ｃｏｍｐａｒｉｎｇ　ｔｏ　ＰＣ　ａｎｄ　Ｉｎｔｅｒａｃｔ，ｍｏｂｉｌｅ　ｐｈｏｎｅ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｗｉｄｅｓｐｒｅａｄ　ｉｎ　ｄａｉｌｙ　ｌｉｆｅ　ｆｏｒ　ｅｖｅｒｙｂｏｄｙ．Ｔｈｕｓ，ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｖｉｒ－　

ｔｕａｌ　ｍｕｓｅｕｍ　ｏｆ　ｓｃｉｅｎｃｅ＆ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｓｈｏｗｓ　ｍｏｒｅ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ　ａｓ　ｍｏｂｉｌｅ　ｇａｍｅｓ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ。ｂａｓｅｄ　ｏｎ　

Ｊ２ＭＥ（Ｊａｖａ　２　Ｍｉｃｒｏ　Ｅｄｉｔｉｏｎ），ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ａ　ｖｉｒｔｕａｌ　ｒｏａｍｉｎｇ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ａｎｄ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ　ａ　ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ　ｏｆ　ｖｉｒｔｕａｌ　ｐａｎｏｒａｍａ　

—ｒｏａｍｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅ　ｅｎｖｉｓｉｏｎｅｄ　ｏｕｒ　ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇ　ｍｏｂｉｌｅ　ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｗａｌｋ—　

ｔｈｒｏｕｇｈ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｐａｒａｄｉｓｅ．　

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｖｉｒｔｕａｌ　Ｍｕｓｅｕｍ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊ２　ＭＥ，Ｐａｒａｎｏｍａ　Ｒｏａｍｉｎｇ，Ｖｉｒｔｕａｌ　Ｒｅａｌｉｔｙ，Ｍｏｂｉｌｅ　Ｇｒａｐｈ—　

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