【推荐精选】2018届高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第一节 数系的扩充与复数的引入夯基

真题演练集训

1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )

A．(－3,1) B．(－1,3)

C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)

答案：A

解析：由已知，可得 m＋3>0m－1<0⇒ m>－3m<1⇒－3

2．若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )

A．1＋2i B．1－2i

C．－1＋2i D．－1－2i

答案：B

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋z＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，∴a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i，故选B.

3．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )

A．－15x4 B．15x4

C．－20ix4 D．20ix4

答案：A

解析：T3＝C26x4i2＝－15x4，故选A.

4．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )

A．1 B.2

C.3 D．2

答案：B

解析：∵x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi，∴ x＝1y＝1，∴|x＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝2.故选B.

5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为________．

答案：2

解析：由(1＋i)(1－bi)＝a得1＋b＋(1－b)i＝a，则 b＋1＝a1－b＝0，解得 a＝2b＝1，所以ab＝2.

6．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.

答案：－1

解析：(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，

∵a∈R，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，∴a＋1＝0，∴a＝－1.

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利用共轭复数的性质解复数方程

复数方程是复数学习中的一个重要内容，解题时，不少学生总是迫不及待地将方程中的复数z设为代数形式a＋bi(a，b∈R)，将复数方程转化为实数方程解决．这种方法有时候是非常费时费力的．有没有解决此类问题的更简单的方法呢？

真题演练集训

1．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

答案：1和3

解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．

2．已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．

(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；

(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.

证明：若an

(1)解：当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．

(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及an

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反证法应用举例 反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，考查方向主要有以下几个方面：

一 证明否定性命题

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

(1) 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，

两式相减得an＋1＝12an，所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 §12.2 直接证明与间接证明

考纲展示►

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．

2．了解反证法的思考过程和特点．

考点1 分析法

分析法

(1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．

(2)框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3

→…→得到一个明显成立的条件.

答案：(1)结论 充分条件

(1)[教材习题改编]命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了________．

答案：综合法

解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件到结论，所以该命题的证明过程应用了综合法．

(2)[教材习题改编]用分析法证明不等式n＋n＋4<2n＋2(n>0)时，最后推得的显然成立的最简不等式是________．

答案：0<4

解析：要证n＋n＋4<2n＋2，即证2n＋4＋2n2＋4n<4(n＋2)，即证n2＋4n

K12的学习需要努力专业专心坚持

证明方法的两个易错点：分析法证明的书写格式．

证明不等式3＋7<25，是否可以把“3＋7<25”作已知条件？________.(填“是”或“否”)

答案：否

解析：要证明不等式3＋7<25，只需证明不等式(3＋7)2<(25)2，

逐步推出结论成立的充分条件，不能把“3＋7<25”作为已知条件使用．

[典题1] (1)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

[证明] 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，

第十二章 推理证明、算法初步、复数第1讲 归纳与类比一、选择题1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为 ( )．A．76 B．80 C．86 D．92解析　由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案　B2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…

＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝，观察正方形数：nn＋121,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案　C3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )．A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列{an}中，a1＝1，an＝，由此归纳出{an}的通项公式12(an－1＋1an－1)解析　A、D是归纳推理，B是类比推理；C运用了“三段论”是演绎推理．答案　C4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )．A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析　由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案　D5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；22③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1