[推荐学习]课标通用2018年高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数12.3数学归纳法学案理
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§12.3 数学归纳法考纲展示►1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．考点1 用数学归纳法证明等式数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，这一步是归纳奠基．②假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． (2)框图表示：答案：(1)②n ＝k ＋1[典题1] 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n 2n ＋＝n n ＋(n ∈N *)．[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1＋＝18， 右边＝1＋＝18， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k ＋＝k k ＋， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k ＋＋1k ＋k ＋＋2]＝kk ＋＋1k ＋k ＋＝k k ＋＋1k ＋k ＋＝k ＋2k ＋k ＋＝k ＋1k ＋＝k ＋1k ＋1＋.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *等式都成立．[点石成金] 用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．考点2 用数学归纳法证明不等式[典题2] 用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2<2－1k＋1k ＋2<2－1k ＋1kk ＋＝2－1k＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立．由(1)(2)知，原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立． [点石成金] 用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.已知数列{a n }，当n ≥2时，a n <－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N *时，a n＋1<a n .证明：(1)当n ＝1时，∵a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根， ∴a 2<a 1.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1<a k ， ∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0，∴a 2k ＋1－a 2k >0， 又a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0，∴a k ＋2<a k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n .考点3 观察——归纳——猜想——证明[考情聚焦] 通过近几年的高考试题分析，“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式成为高考命题的热点之一．从考查题型看，数学归纳法常与数列、函数等知识结合在一起考查，常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度，属中高档题．主要有以下几个命题角度： 角度一与数列的通项公式或前n 项和有关的证明[典题3] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． (1)[解] 当n ＝1时，由已知，得a 1＝a 12＋1a 1－1，则a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知，得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)[证明] ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式， 整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， ∴a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1， 即n ＝k ＋1时通项公式成立．由①②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．[点石成金] “归纳——猜想——证明”的基本步骤是“观察——归纳——猜想——证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．角度二 证明存在性问题[典题4] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． [解] 解法一：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1， 再由题设条件知，(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝x －2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，即c ＝c －2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题：a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立， 即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2， 即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.解法二：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1. 则a k ＋1＝a k －2＋1＋1＝k －＋1＋1＝k ＋－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝x －2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立， 所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n < a 22n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1> a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1， 解得a 2n ＋1>14.④综上，由②③④知，存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．[点石成金] 利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.[方法技巧] 1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．[易错防范] 1.数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1.2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法．课外拓展阅读 归纳、猜想、证明[典例] [2016·江西九江模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明； (2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤n ＋.[审题视角] (1)将n ＝1,2,3代入已知等式得a 1，a 2，a 3，从而可猜想a n ，并用数学归纳法证明．(2)利用分析法，结合x >0，y >0，x ＋y ＝1，利用基本不等式可证． (1)[解] 分别令n ＝1,2,3，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋1a 1＋a 2＝a 22＋2a 1＋a 2＋a 3＝a 23＋3，∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. 猜想：a n ＝n . ∵2S n ＝a 2n ＋n ，①当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．② ①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2. (ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1，∴[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立．∴a n ＝n (n ≥2)． 显然n ＝1时，也成立， 故对于一切n ∈N *，均有a n ＝n . (2)[证明] 要证nx ＋1＋ny ＋1≤n ＋，只要证nx ＋1＋2nx ＋ny ＋＋ny ＋1≤2(n ＋2)．即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋nx ＋y ＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2， 即只要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2， 即4xy ≤1.∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立． [答题模板]第1步：寻找特例a 1，a 2，a 3等． 第2步：猜想a n 的公式．第3步：转换递推公式为a n 与a n －1的关系． 第4步：用数学归纳法证明a n .①验证递推公式中的第一个自然数n ＝2. ②推证a k ＋1的表达式为k ＋1. ③补验n ＝1，说明对于n ∈N *成立． 第5步：分析法证明．[方法点睛] (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)为了正确地猜想a n ，首先准确求出a 1，a 2，a 3的值．(3)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．如本题：∵2S n －1＝a 2n －1＋n －1，∴2(S n －S n －1)＝a 2n －a 2n －1＋1，推导a n 与a n －1的递推关系，再推出a n ，则不是数学归纳法．(4)本题第(2)问中的不等式证明不是关于n 的不等式，由x ＋y ＝1来推证，则不能称为数学归纳法．。
