新课标高中数学人教A版必修五课件：等比数列复习

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1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q≠0)．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.

3．等比中项

若G2＝a·b (ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn .

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )

(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( )

(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )

(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )

(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.( )

2 (6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(

)

1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达

【选题明细表】

知识点、方法 题号

等比数列的性质及应用 1、2、3、5、6、8

等比数列与等差数列综合 4、7、9、10、11

实际应用

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基础达标

1.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,此数列是( B )

(A)公比为q的等比数列 (B)公比为q2的等比数列

(C)公比为q3的等比数列 (D)不一定是等比数列

解析:由于𝑎𝑛𝑎𝑛+1𝑎𝑛-1𝑎𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛-1×𝑎𝑛+1𝑎𝑛=q·q=q2,n≥2且n∈N*,

∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列. -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达 故选B.

2.(2014潍坊高二期末)公比为12的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a6=16,则a7等于( B )

(A)12 (B)1 (C)2 (D)4

解析:由a4a6=16得𝑎52=16,

∴a5=4,

∴a7=a5q2=4×(12)2=1.故选B.

3.(2014珠海市高二期末)已知{an}为等比数列,且an>0,若a2a4+2a3a5+𝑎52=16,那么a3+a5等于( D )

(A)±4 (B)2 (C)±2 (D)4

解析:由a2a4+2a3a5+𝑎52=16得𝑎32+2a3a5+𝑎52=16,

等比数列

1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，即：an∶an－1＝q(q≠0)

注意：（1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；

（2）｛na｝成等比数列nnaa1=q（Nn，q≠0．）

(3) 隐含：任一项00qan且

(4) q=1时，{na }为常数数列．

（5）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

2.等比中项：2Gab

3.等比数列的通项公式: )0,(111均不为qaqaann

(1)叠乘法：由等比数列的定义，有：qaa12；qaa23；qaa34；„；qaann1

所以11342312nnnqaaaaaaaa，即)0(111qaqaann，

(2)归纳法：由等比数列的定义，有：qaa12；

21123)(qaqqaqaa； 312134)(qaqqaqaa；„

)0(1111qaqaqaannn，

例1.在等比数列中,

练习

2.等比数列{na}中,14a,公比q=3，则通项公式na（ ）

Ａ.3n Ｂ. 4n Ｃ. 134n Ｄ.143n

3.在等比数列{na}中，256,48aa，则8a 。

4.232+3与的等比中项为 4(1)27,3,;naqa求341(2)12,18,.aaa若求57912,8(2)a=4,a=6,a.求出下列等比数列中的未知项：（）a,；求变式：0122222333...?例：9是等比数列，，，的第几项等比数列的前n 项和

推导)1(11212111nnnqaqaqaqaaS

)2(111211nnnqaqaqaqaqS

- 1 - 必修五第五讲：等比数列

一、【知识点】

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比.

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比 . 变形公式：),(Nmnqaamnmn

⑵前n项和公式：①当1q时，1naSn

②当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11.

3.等比中项：如果bGa,,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列baG2.

4.等比数列的判定方法

⑴定义法：qaann1（Nn，0q是常数）na是等比数列

⑵中项法：221nnnaaa(Nn)且0nana是等比数列.

5.等比数列的常用性质

⑴数列na是等比数列，则数列npa、 都是等比数列；

⑵在等比数列na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq.

（3）若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；

（4）若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列.

二、【解题方法】

例1.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.

例1.若实数数列4,,,,1321aaa是等比数列，则2a .

题型2：已知等比数列的某些项，求某项

例2.已知na为等比数列，162,262aa，则10a

题型3：等比数列的对称设法

例3.已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.

题型4 等比数列的性质