展开与折叠精讲精练(含答案)-

展开与折叠精讲精练(1)

【学习目标】

1．经历展开与折叠、模型制作等活动，发展学生的空间观念，积累数学活动经验．

2．在操作活动中认识棱柱的某些特性．

3．了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，并能根据展开图判断和制作简单的立体模型．

【基础知识精讲】

1．棱柱的分类

我们已经了解了棱柱，那么棱柱之间是否还有区别呢？

通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……长方体和正方体都是四棱柱．

2．棱柱的特点

若有若干几何体，你能立刻找到棱柱吗？棱柱有什么与众不同的特征呢？

(1)棱柱的上、下底面是完全相同且互相平行的多边形．

(2)棱柱的侧面都是矩形．

(3)棱柱的侧棱长都相等．

(4)棱柱各元素间的数量关系如下：

名称 底面形状 顶点数 棱数 侧棱数 侧面数 侧面形状 总面数

n棱柱 n边形 2n个 3n个 n条 n个 长方形 (n＋2)个

3．部分几何体的平面展开图．

将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢？

(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．

图1—9

(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．

图1—10

(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)

图1—11

4．能折成棱柱的平面图形的特征

我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体．比如：棱柱．若能折成棱柱，一定要符合以下特点：

(1)棱柱的底面边数＝侧面数．

(2)棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两端．

(3)四棱柱的平面展开图中只有5条相连的棱．

5．正方体的平面展开图

在课本中、习题中会经常遇到让大家辨认正方体表面展开图的题目．为了查阅方便，在此列出正方体的十一种展开图，供大家参考．

图1—12

【学习方法指导】

［例1］三棱柱有_______条棱，_______个面，其中侧面是_______形，_______面的形状一定完全相同．

点拨：n棱柱的数量特征如下：它有3n条棱，(n＋2)个面，侧面一定是长方形．对于完全相同的面则需注意．棱柱的侧棱都是相等的但底面边长不一定相等，因此以底面边长和侧棱为长和宽的侧面的大小不一定相同．如：

图1—13

易错点：

(1)“三棱柱的侧面是三角形．”是常出现的错误，一定要记住：棱柱的侧面是长方形．

(2)“侧面都相等．”这也是易犯的错误．侧棱长都相等，易使学生误认为侧面也全都相同．

解答：9 5 长方 上、下底

［例2］一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长和为36 cm，求每条侧棱的长．

点拨：先根据棱柱的数量特征，由顶点数求出是几棱柱，则相应有几条侧棱，再由侧棱长相等，求出结果．

解：有12个顶点的棱柱是六棱柱，有6条侧棱．则每条侧棱长36÷6＝6 cm．

答：每条侧棱长6 cm．

［例3］图1—14所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的？

(1) (2) (3)

图1—14

点拨：找几何体的表面展开图，关键是看侧面和底面的形状．

底面是圆的几何体有圆柱、圆锥、圆台．

侧面是扇形的几何体是圆锥．

侧面是长方形的几何体是棱柱、圆柱．

解答：(1)圆锥；(2)圆柱；(3)圆台．

［例4］下面图形经过折叠能否围成棱柱？

图1—15

点拨：看能否围成棱柱，可参考“内容全解4”中的几条内容，如有不符合，就不能围成棱柱．

解答：(1)侧面数(4个)≠底面边数(3条)，不能围成棱柱．

(2)两底面在侧面展开图的同一端，不在两端，所以也不能围成棱柱．

(3)可以折成棱柱．

［例5］一个正方体纸盒沿棱剪开，最多剪几条棱？最少呢？

点拨：正方体是四棱柱，共有12条棱，要剪开纸盒使每个面相连，必须剪开部分棱，棱的总数不变(即12)，若知道剩下未被剪开的棱数，就可以得到剪开的棱数了．

解答：由正方体平面展开图知正方体的所有展开图中都只有5条相连的棱，而正方体共有12条棱，那么需要剪开的棱数就是12－5＝7条了．

【拓展训练】

1．矩形、长方形和正方形都可称为矩形．

2．圆台与棱锥的展开图．

(1)圆台：圆台的展开图是由大小两个圆(作底)和部分扇形(作侧面)组成的．

图1—16

(2)棱锥：棱锥的展开图是由一个多边形(作底)和几个三角形(作侧面)组成的．

图1—17 图1—18

展开与折叠精将精练(2)

重点与难点：

1. 重点：

（1）认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类。

（2）认识点、线、面，了解有关点、线及某些基本图形的一些简单性质。

（3）认识棱柱的某些特征，开始学习较为规范的几何语言。

（4）了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图。

（5）能根据展开图判断和制作简单的立体模型。

2. 难点：

（1）正确认别几何体，会对几何体进行简单的分类。

（2）认识简单的平面图形，会对平面图形进行简单的分割和组合。

（3）根据展开图判断立体图形的形状。

（4）根据简单立体图形的形状画出它的展开图。

（5）在展开与折叠的过程中，发展空间观念，积累数学活动经验。

教材分析：

立体图形的展开和折叠，这是两个步骤相反的过程。在学习这个内容时，应该注重实践，多动手，多观察，多动脑，多总结规律，特别要从不同的角度去分解立体图形。

例题分析：

[例1] 将下面的几何体进行分类，并写出简单理由。

.

（1） （2） （3） （4） （5）

答：按柱、锥、球划分，则有（5）、（3）、（4）为柱体类，（2）是锥体，（1）是球体。

[例2] 看下图，这些图经过折叠可以围成一个棱柱吗？想一想，亲自动手折一折。

（1） （2） （3）

答：（2）、（3）能围成一个棱柱，（1）不能围成棱柱。

[例3] 下图是一多面体的展开图形，每个面都标有字母，请根据要求回答提问：

ABECDF

（1）如果面A在多面体的底部，那么哪一面会在上面？

（2）如果面F在前面，从左面看是面B，则那么哪面会在上面？

（3）从右面看面C，面D在面后，那么哪一面会在上面？ 解：（1）面F；（2）面C；（3）面A。

说明：此图为一个长方形的表面展开图，共有6个面，其中面A与面C、E、F相同，根据所处位置可知面A与面F相对，面C与面E相对，面B与面D相对，那么（1）、（2）（3）的问就能根据这上述的提示，完成提问。

【同步达纲练习】

一. 填空：

1. 在日常生活中，我们见到类似棱柱、圆柱、圆锥、正方体、长方体以及球体的物体有哪些？请举例说出来： 。

2. 圆柱体有 个面围成，长方体有 个面成。

3. 由点动成 ，由线动成 ，由 动成体。

4. 观察下图，正方体有 个顶点， 条棱， 个面，这些面的形状都是 。

5. 下图1所示的平面图形是 的表面展开图。

（1）

6. 下图2所示的平面图形是 的表面展开图。

（2）

7. 下边的两图形是哪种多面体的展开图？

（1） （2）

（1） ，（2） 。

8. 根据正方体展开图上的编号，写出相对面的号码：3的相对面 ，4的相对面 ，5的相对面 。 123456

二. 选择：

9. 下图是一个立体图形的三视图，这个图形是由一些相同的小正方体搭成的，这些小正方体的个数是（ ）

左视图 俯视图 主视图

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

10. 下列每个图都是由6个大小相同的正方形组成，其中能折叠成正方体的是（ ）

A B C D

11. 下面的图形中，由三棱柱的侧面展开图的是（ ）

A B C D

三. 解答：

12. 请写出下面几何体的展开图是什么几何体的展开图。

A B C D

E F

13. 如图所示，在正方体能见到的面上写上数1、2、3，而在展开的图中也已分别写上了两个和一个指定的数。请你在展开图的其它各面上写上适当的数，使得相对的面上两数的和等于7。

123 23 1

参考答案

【同步达纲练习】

一.

1. 略（提示：球体——乒乓球） 2. 3；6 3. 线；面；面 4. 8；12；6；正方形

5. 圆柱 6. 三棱柱

7.（1）三棱锥 （2）三棱柱 8. 6；1；2

二.

9. B 10. D 11. A

三.

12. A. 长方体 B. 五棱柱 C. 正方体 D. 圆柱 E. 圆锥 F. 三棱柱

13.

231156465324