1()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立
当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-≤--≥-≥∆1
220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔
例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23，则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立
令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或
而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F ，∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。
例4．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=
x x
a
x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=
x
a
x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022
>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=x
a
x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。 三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔
实际上，上题就可利用此法解决。略解：022
>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x
x a 22
-->在),1[+∞∈x 时恒成立。而易求得二次函数x x x h 2)(2
--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。
例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(解： 将问题转化为x x x a 2
4-<
对]4,0(∈x 恒成立，令x
x x x g 2
4)(-=，则min )(x g a < 由14
4)(2
-=-=
x
x
x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式
044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。
解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。
当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。
当2≠x 时，应有⎩⎨
⎧>->0
)1(0
)1(f f 解之得31>故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。
注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0
)(0
)(βαf f 。
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方； 2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。 例7．设x x x f 4)(2--=
, a x x g -+=
13
4
)(,若恒有)()(x g x f ≤
求实数a 的取值范围.
解：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g 的图象 如图所示，
