一点一练2016版高考数学第十一章选修4系列专题演练文(含两年高考一年模拟)

第十一章综合测试答案解析基础练习一、 1.【答案】D【解析】直线AC 与直线PO 交于点O ，所以平面PCA 与平面PBD 交于点O ，所以必相交于直线PO ，直线AM 在平面PAC 内，点N AM ∈故N ∈面PAC ，故O ，N ，P ，M 四点共面，所以A 错，点D 若与M ，N 共面，则直线BD 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错，O ，M 为中点，所以OM PA ∥，ON PA P =，故ON OM O =，故C 错，故选D 。

2.【答案】D【解析】连接1B C 交1BC 于点O ，取AC 中点D ，连接OD ，设12AA AB AC BC ====，三棱柱111ABC A B C −为直三棱柱，∴四边形11BCC B 为矩形，O ∴为1B C 中点，1//DO AB ∴且112DO AB ===又1DC 1112OC BC ==，11cos 4DOC ∴∠==−， ∴异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值为11cos 4DOC ∠=， 故选：D 。

3.【答案】C【解析】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ MN ∥、QM PN ∥， 则PQ ACD ∥平面、QM BDA ∥平面，所以PQ AC ∥，QM BD ∥，由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，故A 正确； 由PQ AC ∥可得AC PQMN ∥截面，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的， 故选C 。

4.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥11D B EF −的体积为1 111112·2213323D EF V S B C ==⨯⨯⨯⨯=为定值，①正确； 11EF D C ∥，111B D C ∠是异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒，②正确；若11D B ⊥平面1B EF ，则11D B EF ⊥，而11EF D C ∥故1111D B D C ⊥，而11D B 与11D C 所成角为45︒，③错误；平面1D EF 即为平面11D C CD ，故直线11D B 与平面1D EF 所成的角是为11145C D B ∠=︒，④错误。

第七章 立体几何考点21 空间几何体的结构、三视图、几何体的表面积与体积两年高考真题演练1．(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 32．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 3．(2015·新课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛4．(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π25.(2014·新课标全国Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱6．(2014·陕西)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π37．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．8．(2015·四川)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是________.考点21 空间几何体的结构、三视图、几何体的 表面积与体积一年模拟试题精练1．(2015·北京朝阳区期末)一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2015·成都市一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是( )3．(2015·桂林市一调)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )4．(2015·厦门市质检)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1－B 1C 1E 的体积等于( )A.13B.512C.36D.16第4题图 第5题图5．(2015·山西省三诊)如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则正视图中实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6．(2015·厦门质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于( )A.34B.41 C ．5 2 D ．2157．(2015·衡水中学期中)三棱锥P －ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ＝6，则该球的体积为( )A ．163πB ．323πC ．48πD ．643π8．(2015·武汉市调考)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.1112 B ．5 C.92D ．4 9．(2015·眉山市一诊)一个棱锥的三视图如图，则此棱锥的全面积是( )A ．4＋2 6B ．4＋ 6C ．4＋2 2D ．4＋ 2考点22 平行关系两年高考真题演练1．(2015·新课标全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．2．(2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．(3)证明：直线DF⊥平面BEG.3．(2014·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F 分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．考点22 平行关系一年模拟试题精练1．(2015·宿迁市摸底)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.(1)求证：BD⊥PC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.2．(2015·重庆一中检测)如图，已知DE⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，且F是CD 的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求四棱锥C－ABED的全面积．3．(2015·桂林市一调)如图，四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD.(1)求证：AC⊥PD.(2)在线段PA 上，是否存在点E ，使BE ∥平面PCD ？若存在，求PE PA的值，若不存在，请说明理由．4．(2015·盐城模拟)如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点． (1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．考点23 垂直关系两年高考真题演练1．(2015·新课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．2．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.3．(2014·重庆)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12. (1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P －ABMO 的体积．4．(2014·福建)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积．考点23 垂直关系一年模拟试题精练1．(2015·唐山一中检测)如图所示，△ABC和△BCE是边长为2的正三角形，且平面ABC⊥平面BCE，AD⊥平面ABC，AD＝2 3.(1)证明：DE⊥BC；(2)求三棱锥D－ABE的体积．2．(2015·晋冀豫三省调研)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥，点M是棱BC的中点，DM＝3 2.(1)求证：平面ABC⊥平面MDO.(2)求三棱锥M－ABD的体积．3．(2015·山西省三诊)如图，已知菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求多面体ABCDEF的体积．4．(2015·北京西城区高三检测)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AD ＝2BC＝2，AB＝1.点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.(1)求证：A1F∥平面B1CE；(2)求证：AC⊥平面CDD1C1；(3)写出三棱锥B1－A1EF体积的取值范围．考点24 立体几何综合问题两年高考真题演练1．(2015·福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2015·安徽)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面3．(2015·新课标全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π4．(2014·辽宁)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 5．(2015·安徽)如图，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°. (1)求三棱锥P ­ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．6．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．考点24 立体几何综合问题一年模拟试题精练1．(2015·荆门市调研)若m，n是两条不重合的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是( )A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥α，则m∥α2．(2015·眉山市一诊)下列说法错误的是( )A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行3．(2015·深圳五校一联)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n4．(2015·汕头市质检)设l ，m 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，α∩β＝m ，则l ∥mB ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β5．(2015·黄冈中学检测)设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．綈p 或qD ．p 且綈q6．(2015·山西省三诊)已知a ，b ，c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是真命题，如果把a ，b ，c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．(2015·山东省实验中学三诊)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β，其中，可以判定α与β平行的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．(2015·青岛模拟)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，2 D ．[2，3]9．(2015·眉山市一诊)如图，圆O 为三棱锥P －ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点．(1)求证：BC ⊥PB ；(2)设PA ⊥AC ，PA ＝AC ＝2，AB ＝1，求三棱锥P －MBC 的体积； (3)在△ABC 内是否存在点N ，使得MN ∥平面PBC ？请证明你的结论．参考答案 第七章 立体几何考点21 空间几何体的结构、三视图、几何体的表面积与体积【两年高考真题演练】1．C [由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.故选C.]2．D [由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝4＋3π.]3．B [由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ＝3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．]4．B [该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成，其体积为V ＝π×12×2＋12×13π×12×1＝2π＋π6＝136π.]5．B [由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱，故选B.]6．D [正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1，球的体积V ＝4π3r 3＝4π3.故选D.] 7.7 [设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.]8.124[由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵VP －A 1MN ＝VA 1－PMN ，又∵AA 1∥平面PMN ，∴VA 1－PMN ＝V A －PMN ， ∴V A －PMN ＝13×12×1×12×12＝124，故VP －A 1MN ＝124.]【一年模拟试题精练】1．D [满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形．]2．C [由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故C 不可能．] 3．C [选项A ，B ，D 中的俯视图，正方形内的线应该为另一条对角线，当四棱锥的直观图为右图时，它的三视图是C.]4．D [VD 1－B 1C 1E ＝13S △B 1C 1E ·D 1C 1＝13×12×1×1×1＝16.]5．C [由三视图知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成，由条件得：2πa ＋3π＝9π，解得a ＝3.]6.C [该多面体的直观图为底面为直角三角形，一条棱垂直于底边的三棱锥，其直观图如图所示，故该多面体最长的棱为CD ＝AD 2＋AC 2＝5 2.]7．B [设O 为球的球心，O 1为△ABC 外接圆的圆心，连接OO 1得OO 1＝12PA ＝3，AO 1＝23×32×3＝3，故R ＝OO 21＋AO 21＝2 3. 因此该球的体积为43πR 3＝323π.]8．D [由题意可知，该几何体为一直六棱柱，∴底面六边形的面积可以看成一个矩形与两个等腰直角三角形的面积和，即S ＝1×2＋12×2×1×2＝4， ∴V ＝Sh ＝4.]9．A [其直观图为三棱锥，如图所示AE ⊥面BCD ，BE ＝ED ＝1，EC ＝AE ＝2，AD ＝DC ＝AB ＝BC ＝5，AC ＝22，故其全面积为S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ADC ＝4＋2 6.]考点22 平行关系【两年高考真题演练】1．解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97(79也正确)．2．(1)解 点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)证明 平面BEG ∥平面ACH ，证明如下： 因为ABCD －EFGH 为正方体， 所以BC ∥FG ，BC ＝FG ， 又FG ∥EH ，FG ＝EH ， 所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是BCHE 为平行四边形， 所以BE ∥CH ，又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH ， 同理BG ∥平面ACH ， 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH . (3)证明 连接FH ， 因为ABCD －EFGH 为正方体， 所以DH ⊥平面EFGH ， 因为EG ⊂平面EFGH ， 所以DH ⊥EG ，又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ， 所以EG ⊥平面BFHD ， 又DF ⊂平面BFHD ， 所以DF ⊥EG ， 同理DF ⊥BG ， 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG . 3.(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC . 所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，且BC ∩BB 1＝B ，BC ，BB 1⊂面B 1BCC 1， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 又AB ⊂面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明 取AB 中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG . 又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 【一年模拟试题精练】1．证明 (1)连接AC ，交BD 于点O ，连接PO . 因为四边形ABCD 为菱形， 所以BD ⊥AC又因为PB ＝PD ，O 为BD 的中点， 所以BD ⊥PO ， 又因为AC ∩PO ＝O ， 所以BD ⊥平面APC ，又因为PC ⊂平面APC ，所以BD ⊥PC . (2)因为四边形ABCD 为菱形，所以BC ∥AD ， 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD . 所以BC ∥平面PAD ，又因为BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD ＝l . 所以BC ∥l .2．(1)证明 取CE 中点P ，连接FP ，BP ， ∵F 为CD 的中点，∴FP 綉12DE ，又AB 綉12DE ，∴AB 綉FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP ，又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)解 S ABED ＝3，S △ACD ＝3，S △CDE ＝2，S △ABC ＝1，S △BCE ＝6，S 全＝6＋3＋ 6. 3．(1)证明 ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，AC ⊥CD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PCD ，∵PD ⊂平面PCD ，∴AC ⊥PD .(2)解 线段PA 上，存在点E ，使BE ∥平面PCD ，∵AD ＝3，∴在△PAD 中，存在EF ∥AD (E ，F 分别在AP ，PD 上)，且使EF ＝1，又∵BC ∥AD ， ∴BC ∥EF ，且BC ＝EF ， ∴四边形BCFE 是平行四边形，∴BE ∥CF ，BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ， ∴BE ∥平面PCD ，∵EF ＝1，AD ＝3，∴EF AD ＝PE PA ＝13. 4．解 (1)连接A 1B ，A 1B ∩AB 1＝E ， 连接D 1E ，若BC 1∥面AB 1D 1， 则BC 1∥D 1E ，∵AE ＝B 1E ， ∴A 1D 1＝D 1C 1，故A 1D 1D 1C 1＝1. (2)∵面BC 1D ∥面AB 1D 1，面A 1BC 1∩面AB 1D 1＝D 1E ， ∴BC 1∥ED 1，又∵A 1E ＝EB ，∴A 1D 1＝D 1C 1，∵面BC 1D ∥面AB 1D 1，AD 1C ⊂面ACC 1A 1，DC 1⊂面ACC 1A ，∴AD 1∥DC 1，∴AD ＝D 1C 1，故AD ＝DC ，因此AD DC＝1.考点23 垂直关系【两年高考真题演练】1．(1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E －ACD 的侧面积为3＋2 5. 2.证明 (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以BC 1⊥AC . 因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形， 因此BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ， 所以BC 1⊥AB 1. 3.(1)证明 如图，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因∠BAD ＝π3，故OB ＝AB ·sin∠OAB ＝2sin π6＝1，又因BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos∠OBM＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×cos π3＝34. 所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，PO 都垂直， 所以BC ⊥平面POM .(2)解 由(1)可得，OA ＝AB ·cos∠OAB ＝2×cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形，故PA 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.由△POM 也是直角三角形， 故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋(12)2－2×2×12×cos2π3＝214. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则PA 2＋PM 2＝AM 2， 即a 2＋3＋a 2＋34＝214，得a ＝32，a ＝－32(舍去)， 即PO ＝32. 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538.所以四棱锥P －ABMO 的体积V P －ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516.4．法一 (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)解 由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ， ∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1， 因此三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V C －ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.法二 (1)同法一．(2)解 由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ， 又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12，又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1， ∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V A －BCD －V M －BCD＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 【一年模拟试题精练】 1．(1)证明取BC 的中点为F ，连接AF ，EF ，BD ， ∵△BCE 为正三角形，∴EF ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCE ，且交线为BC ，∴EF ⊥平面ABC ，又AD ⊥平面ABC ，∴AD ∥EF ，∴D ，A ，F ，E 共面，又易知在正三角形ABC 中，AF ⊥BC ，AF ∩EF ＝F ， ∴BC ⊥平面DAFE ，又DE ⊂平面DAFE ， 故DE ⊥BC .(2)解 由(1)知EF ∥AD ，所以有V D －ABE ＝V E －DAB ＝V F －DAB ＝V D －ABF ， 所以S △ABF ＝12BF ·AF ＝32，所以V D －ABF ＝13S △ABF ·AD ＝1，即V D －ABE ＝1.2．(1)证明 ∵∠BAD ＝60°，菱形的边长为6，∴OM ＝OD ＝3，∵DM ＝32，∴∠DOM ＝90°，OD ⊥OM ，又∵折叠前四边形ABCD 是菱形，∴OD ⊥AC . ∵OM ∩AC ＝O ，∴OD ⊥平面ABC . ∵OD ⊂平面MDO ，∴平面ABC ⊥平面MDO . (2)解 ∵V M －ABD ＝V D －ABM ，由(1)知OD ⊥平面ABC ， ∴OD ＝3为三棱锥D －ABM 的高．S △ABM ＝12BA ×BM ×sin 120°＝12×6×3×32＝932， ∴V ＝13S △ABM ×OD ＝932.3．(1)证明 在菱形ABEF 中，因为∠ABE ＝60°，所以△AEF 是等边三角形，又H 是线段EF 的中点，所以AH ⊥EF ⇒AH ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，所以AH ⊥平面ABCD ，所以AH ⊥BC ，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，得到：AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥CB ；所以CB ⊥平面AHC ，又BC ⊂平面BCE ，所以平面AHC ⊥平面BCE .(2)解 多面体ABCDFE 可拆分成一个四棱锥C －ABEF 和一个三棱锥D －AFC ，由题可知AD ⊥平面ABEF ，且CD ∥平面ABEF ，∴点C 到平面ABEF 的距离d ＝AD ＝2.∴V C －ABEF ＝13·AD ·S ABEF ＝13×2×2S △ABE ＝13×2×2×12×AB ·BE ·sin 60°＝1633，又V D －AFC ＝V F －ADC ，∵EF ∥平面ABCD ，∴点F 到平面ACD 的距离d ＝AH ＝23，S △ADC ＝12AD ·DC ＝12×2×2＝2，∴V D －AFC ＝13×AH ·S △ADC ＝433，∴多面体ABCDFE 的体积为1633＋433＝2033.4．(1)证明因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱， 所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1. 又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ， 平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ， 所以A 1F ∥CE .又A 1F ⊄平面B 1CE ，CE ⊂平面B 1CE ， 所以A 1F ∥平面B 1CE . (2)证明 在四边形ABCD 中，因为∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且AD ＝2BC ，AD ＝2，AB ＝1， 所以AC 2＝12＋12＝2，CD 2＝12＋12＝2. 所以AC 2＋CD 2＝AD 2，所以∠ACD ＝90°，即AC ⊥CD . 因为A 1A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以A 1A ⊥AC .因为在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ∥C 1C ， 所以C 1C ⊥AC .又因为CD ，C 1C ⊂平面CDD 1C 1，CD ∩C 1C ＝C ， 所以AC ⊥平面CDD 1C 1.(3)解 三棱锥B 1－A 1EF 的体积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23.考点24 立体几何综合问题【两年高考真题演练】1．B [m 垂直于平面α，当l ⊂α时，也满足l ⊥m ，但直线l 与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l ∥α，一定有l ⊥m ，必要性成立．故选B.]2．D [对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．]3．C [如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.]4．B [对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α或n ∥α，C 错误；对于选项D ，若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交．D 错误．故选B.]5.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ­ABC 的高，又PA ＝1. 所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.6．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由已知可知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD 綉12AC ， OE 綉12AC ，因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .【一年模拟试题精练】1．C [选项A 、B 、D 均存在m ⊂α的情形，排除A 、B 、D ，故选C.]2．D [对于D ，一个等腰三角形的底放在桌面上，两个腰与桌面所成的角相等，但两腰所在直线平行．]3．D [对于选项A ：若m ∥α，n ∥α，则m ，n 平行、相交、异面都有可能；对于选项B ：若m ∥α，m ∥β，则α，β可能平行、可能相交；对于选项C ：若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行、可能相交；所以选项A 、B 、C 都不正确．]4．D [对于A ：l 与m 可能异面，排除A ；对于B ：m 与α可能平行或相交，排除B ；对于C ：l 与m 可能相交或异面，排除C ；故选D.]5．C [命题p ：l 和m 可能平行也可能异面，故p 为假命题；命题q ：α和β可能平行也可能相交，故q 为假命题，因此p 或q 为假，p 且q 为假，綈p 或q 为真，p 且綈q 为假．]6．C [根据题意，可构成四个命题：①面α∥面β，且面α⊥面γ，则面β⊥面γ；②直线a ∥面β，且a ⊥面γ，则面β⊥面γ；③面α∥面β，且面α⊥直线c ，则面β⊥直线c ；④面α∥直线b ，且面α⊥面γ，则直线b ⊥面γ，可知①②③为真命题，④中直线b 与平面γ位置关系不确定，为假命题．]7．B [对于①：正方体的一个角的三个平面就是反例，故①错误；对于②：平面平行判定定理的推论，故②正确；对于③：可能两平面相交，三点分别在两侧，故③错误；对于④：过P 上任一点P 可做m 的平行线m ′，则l 与m ′相交，满足平面平行的判定定理，故④正确．]8．B [取B 1C 1的中点M ，BB 1的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，MN ，可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上，因为A 1M ＝A 1N ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，所以当点P 位于M ，N 处时，A 1P 最大，当P 位于MN 的中点O 时，A 1P 最小，此时A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，所以A 1O ≤A 1P ≤A 1M ，即324≤A 1P ≤52，所以线段A 1P 长度的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52，选B.] 9．(1)证明如图，因为，AC 是圆O 的直径，所以BC ⊥AB ，因为，BC ⊥PA ，又PA 、AB ⊂平面PAB ，且PA ∩AB ＝A ，所以，BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以，BC ⊥PB ，(2)解 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝2，AB ＝1，所以，BC ＝3，因此，S △ABC ＝32， 因为PA ⊥BC ，PA ⊥AC ，所以PA ⊥平面ABC ，所以，V P －MBC ＝V P －ABC －V M －ABC ＝13×32×2－13×32×1＝36. (3)解 如图，取AB 的中点D ，连接OD 、MD 、OM ，则N 为线段OD (除端点O 、D 外)上任意一点即可，理由如下：因为，M、O、D分别是PA、AC、AB的中点，所以，MD∥PB，MO∥PC，因为，MD⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以，MD∥平面PBC，同理可得，MO∥平面PBC，因为，MD、MO⊂平面MDO，MD∩MO＝M，所以，平面MDO∥平面PBC，因为，MN⊂平面MDO.故，MN∥平面PBC.。

1.(2014·山东)用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·山东)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1 ＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·安徽)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·福建)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．7．(2014·重庆)设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·陕西师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·湖北黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·山东威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·湖北七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·广东模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·山东日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·安徽淮南模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.1.(2015·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．2 B．1 C．0 D．－12．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)3．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·四川)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．31．(2015·黑龙江绥化模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的值为22，则输出的S 的值为( )A ．232B ．211C ．210D ．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x 2＋y 2＝10内的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2015·遂宁模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，不断执行如图所示的程序框图，且输入x 的值为1，然后输出n 的值为N ，则M ≤N －2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·济宁一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·陕西一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·山东枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?1.(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·广东)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·陕西)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·四川)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·北京)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·福建)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·湖南)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·山东)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·重庆)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件13．(2014·山东)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i14．(2015·重庆)设复数a＋b i(a，b∈R)的模为3，则(a＋b i)(a－b i)＝________．15．(2015·天津)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．1．(2015·安徽江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·广东广州模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·遂宁模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·济宁一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·青岛一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i 等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·陕西一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·山东枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·四川成都模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·陕西西安模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·贵州模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·甘肃河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·安徽马鞍山模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202 ＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C [分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。

机密★启用前2016年5月16日2016年普通高等学校招生模拟考试卷文科数学测试试卷注意事项：1、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上·2、作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·3、考试结束后，将本试卷和答题卡哦一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N＝()．A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0} C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}2．复数2+i12i的共轭复数是()A．－i B．i C．－3i5D．3i53．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝() A．8 B．7 C．6 D．54．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)是奇函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则() A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r16．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．B ．C ．4D ．7．如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B ．2A B为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数8．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )．A ．14B ．13C D9．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．30+B ．28+C ．56+D ．60+10．在平行四边形ABCD 中，π3A ∠=，边AB ，AD 的长分别为2，1. 若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD ==31，则AM AN ⋅= ( )． A ．4 B ．938 C ．940 D ．31411．若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．21e e xx－＞ln x 2－ln x 1 B ．21e e xx－＜ln x 2－ln x 1 C ．1221e e xxx x > D ．1221e e xxx x <12．设f(x)=⎩⎨⎧<-≥010sin x e x x x，， ，g(x)=|f(x |)－ax ，若函数g(x)存在2个或2个以上的零点，a的取值范围是( )A ．(－∞，－1) (1，+∞)B ．(－∞，－1) (0，π2]C ．(－1，0) (0，π2] D ． (－1，0) (0，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．14．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是__________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)15．直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，对任意正整数m ，n ，都有S m+n =S m S n ，则{a n }的通项公式为a n = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－b2＋c2－ac=0(1)求B；(2)若sin A sin C，求C.18．如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD=2，△P AB和△P AD都是等边三角形．(1)证明：P A⊥BD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．19．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B．已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)从甲厂生产的产品中随机抽取100件，统计其等级系数得到下表，已知甲厂产品的等级系数X1的平均值为6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，估算乙厂产品达到A标准的概率．353385563 4634753485 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的零售价值产品的等级系数的平均；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．20．设椭圆1222=+y x上两个不同的点A 、B 关于直线y=kx +21对称(1)求k 的取值范围(2)k =1时，求三角形OAB 的面积21．设f (x )=x1+ln x ． (1)求f (x )的单调区间和最小值； (2)讨论f (x )与f (x1)的大小关系，证明你的结论； (3)求a 的取值范围，使得f(a)－f(x)<a1对任意x ＞0成立 22．选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．23．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．24．选修4—5：不等式选讲设函数()1||(0)f x x x a a a++>＝－． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．2016全国新课标卷 (文科答案)1 C2 A3 D 4B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 B 11 C 12 D 13、 －6 14、 3 15、4316、⎩⎨⎧≥=-2,2121n n n ， 17、解：(1) a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝1+22=故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.18、(1)证明：取BD 的中点O ，连结PO ，则由已知PB ＝PA=PD 可得PO ⊥BD由AB=AD ，可得AO ⊥BD而PO 、AO 在平面APO 内，且相交，所以BD ⊥平面APO 而PA 在平面APO 内，所以P A ⊥BD(2)在RT ΔABD 中，可得AO=21BD =22由ΔPBD 与ΔABD 全等可得PO=AO=22. 由勾股定理可得：PO ⊥AO结合(1)PO ⊥BD ，故PO ⊥底面ABCD V=4221)21(223131=⨯+⨯⨯=⨯⨯ABCD S PO 19(1)a ＋b ＝50， (40＋5a ＋6b ＋1)/100＝6，解得a =30，b =20(2)X 2的概率如下：故P(X ≥5)=0.5 (3) 甲厂产品的性价比=66＝1 而X 2的平均值=(3×9＋4×6＋5×6＋6×3＋7×3＋8×3)/30＝4.8.； 乙厂产品的性价比=4.84＝1.2； 乙厂产品的性价比>甲厂产品的性价比，故乙厂的产品更具可购买性． 20(1)设l ：y=kx +21依题意，直线AB 与直线l 垂直，且线段AB 的中点在l 上 设AB ：x =－ky +m ，代入椭圆方程：(k 2+2)y 2－2kmx +m 2－2=0 判别式Δ＝8(k 2－m 2+2)AB 中点y 0=221y y +=22+k km ，x 0=－ky 0+m =222+k m代入直线l 方程中化简得22+k km =－21所以m =)0(222≠+-k k k由Δ>0，解得k <－36或k >36(2) |AB |=2)2(81||12222112+-++=-+k m k k y y k ， d O-AB =21||k m + S =21|AB |d =2)2(2||222+-+k m k m =42422228443||2)4)2(2(2k k k k k k k -+=+-+=4621、解：(1)f ’(x)=21x x -，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，故(0，1)是f (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，f g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是f (x )的单调增区间． 最小值为g (1)＝1.(2) 设h(x)=f(x)-f(x 1)=2lnx+x 1-x ，则22(1)()x h x x -'=-.当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0，即f (x )>f (x1)， 当x=1时，f (x )=f (x1) 当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，即f (x )<f (x1)． (3)由(1)知，g (x )的最小值为1，所以1()()g a g x a -<，对任意x ＞0成立1()1,g a a⇔-<， 即ln a ＜1，从而得0＜a ＜e.22、(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF23、(1)曲线C 的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则|5sin()6|sin305d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |当sin(θ＋α)＝1时，|P A |24、(1)由a ＞0，有()111||+2f x x x a x x a a a a a++≥+-(-)=≥＝－. 所以f (x )≥2. (2) ()133|3|f a a+＝+－.当a ＞3时，()13f a a +＝，由f (3)＜5得3a <<.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜53a <≤.综上，a 的取值范围是52⎫+⎪⎪⎝⎭。