【中考必备】最新中考数学试题分类解析 专题52 平面几何的综合

1几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）

几何综合问题在中考中以填空题和解答题的

形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考

查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一

般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、

圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和

二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形

结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以

下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形

面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右

图为几何综合问题中各题型的考查热度.

题型1：线段最值问题

①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题

2

解题模板：

1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD

内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）

A．B．C．D．

【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，

利用勾股定理即可求得结论．

【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，

由对称性可知：圆心O在AC上．

AC＝＝4．

∵BC与⊙O相切于点E，

∴OE⊥EC．

3

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°．

∴△OEC为等腰直角三角形．

∴OC＝OE＝．

∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．

∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．

故选：C．

【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用

切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．

【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、

C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，

作射线DF交射线CA于点G．

（1）求证：EF＝DE；

（2）当AF＝2时，求GE的长．

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例

当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究

（1）正方形FGCH的面积是

；（用含a， b的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展

小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．

【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析．

【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；

应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．

详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；

剪拼方法如图2-图4；

联想拓展：能，

剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）．

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中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题

1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，

（1）求证：CF＝BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．

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2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．

[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△

，可推证△CEF是 三角形，从而求得∠DCE＝ ．

[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．

[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．

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3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，求证：AD＝2DC．

（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；

（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．

第4页（共57页）

4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．

第1页（共46页） 2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）

专题52：平面几何的综合

一、选择题

1. （2012湖北鄂州3分）如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为【 】

A.34 B.35 C.2 D.3

【答案】A。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。

【分析】如图，连接OB．

∵OA=OB=OC=AB=BC，∴∠AOB+∠BOC=120°。

又∵∠1=∠2，∴∠DOE=120°。

又∵OA=2，

∴扇形ODE的面积为21202 4 3603。故选A。

2. （2012湖南岳阳3分）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；

②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是【 】

A．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤

【答案】A。

【考点】切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质。1052629

第2页（共46页） 【分析】如图，连接OE，

∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，

∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC。

∴CD=DE+EC=AD+BC。结论②正确。

在Rt△ADO和Rt△EDO中，OD=OD，DA=DE，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）

∴∠AOD=∠EOD。

同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC。

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，

∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°。结论⑤正确。