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随机过程中的条件期望估计

随机过程是概率论和数理统计中的一个重要概念，用于描述随机变

量在不同时间点上的随机演化规律。条件期望是随机过程中的一个关

键概念，用于描述在给定某些条件下，随机变量的平均取值。

一、条件概率与条件期望的基本概念

随机过程是指一系列随机变量组成的集合，通常用 {X(t), t∈T} 表示，其中 t 表示时间点，X(t) 表示在时间点 t 上的随机变量。条件概率

是指在给定某些条件下，事件发生的概率。对于随机过程来说，条件

概率可以表示为 P(A|B)，表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的

概率。类似地，条件期望 E(X|Y) 表示在给定随机变量 Y 的取值的条件下，随机变量 X 的平均取值。

二、条件期望的性质与计算方法

条件期望具有以下性质：

1. 线性性质：如果 X 和 Y 是两个随机变量，a 和 b 是常数，则有

E(aX+bY|Z) = aE(X|Z) + bE(Y|Z)。

2. 条件期望的法则：如果 X 和 Y 是两个随机变量，则有 E(XY|Z) = E(X|Z)E(Y|Z)。

3. 独立性质：如果 X 和 Y 是独立的随机变量，则有 E(X|Y) = E(X)。

计算条件期望通常使用条件概率的定义和相关的概率计算公式。对

于离散型随机变量，有以下计算方法：

1. 条件期望的定义：E(X|Y=y) = ∑x xP(X=x|Y=y)。

2. 条件概率的求解：P(X=x|Y=y) = P(X=x, Y=y) / P(Y=y)。

3. 条件概率的计算：P(X=x, Y=y) = ∑z P(X=x, Y=y, Z=z)。

对于连续型随机变量，计算的方法与离散型类似，只是将求和替换为积分。

三、条件期望在实际应用中的例子

条件期望在概率论和数理统计的实际应用中有广泛的用途。以下是一些例子：

1. 金融风险管理：根据过去的市场数据，可以使用条件期望来估计未来的金融资产价格。例如，在 Black-Scholes 期权定价模型中，使用条件期望来计算期权的价格。

2. 信号处理：在数字通信中，可以使用条件期望来估计接收信号的传输误差。通过计算接收信号与已知发送信号之间的条件期望差异，可以判断信号传输的质量。

3. 机器学习：在监督学习中，可以使用条件期望来进行模型训练和预测。通过计算给定输入变量的条件下，输出变量的期望，可以优化模型的预测性能。

总结：

随机过程中的条件期望是描述随机变量在给定某些条件下的平均取值的概念。通过掌握条件概率的计算方法和条件期望的性质，可以在

实际问题中灵活应用。在金融风险管理、信号处理和机器学习等领域，条件期望发挥着重要的作用，为我们提供了有效的问题求解方法。

随机过程的模拟与特征估计三

一：实验题目：随机过程的模拟与特征估计二：实验目的：（1）学会使用MATLAB模拟产生各类随机序列；（2）熟悉和掌握随机信号数字特征估计的基本方法。三：实验仪器： MATLAB软件、PC机一台四：实验内容： 1、模拟产生随机过程中各种随机序列，并画出信号和波形：（1）二元随机信号（2）随机相位正弦波 2、随机信号数字特征的估计估计上述随机信号的均值，方差，自相关函数，概率密度，功率谱密度。五;实验原理：对随机变量长用到的数字特征有数学期望、方差、相关函数等。类似的对随机过程常用到的数字特征有数学期望、方差、相关函数等。它们是由随机变量的数字特征推广而来，但一般不再是确定的数值，而是确定的时间函数。六：实验步骤： 1、利用MATLAB编写程序。（1）二元随机信号 n=1000;

x=randint(n,1); m=mean(x); sigma2=var(x); pxx=pwelch(x); r=xcorr(x,‘biased’); figure subplot(3,1,1); plot(x); title(‘样本曲线’); grid subplot(3,1,2); plot(r); title(‘自相关函数’); grid subplot(3,1,3); i=-2.9:0.1:2.9; hist(x,i) title(‘随机序列的直方图’); grid (2)随机相位正弦波 fs=1000; t=0:1/fs:1;

c=2*pi*rand(size(t)); x=sin(2*pi*t+c); m=mean(x) sigma2=var(x) pxx=pwelch(x); r=xcorr(x,’biased’); figure subplot(4,1,1); plot(x); title(‘样本曲线’); grid subplot(4,1,2); plot(r); title(‘自相关函数’); grid subplot(4,1,3); plot(pxx); title(‘功率密度谱’); grid [f,xi]=ksdensity(x); subplot(4,1,3); plot(pxx);

随机过程知识点

第一章：预备知识 §1.1 概率空间随机试验，样本空间记为Ω。定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。如果（1）∈ΩF ；（2）∈A 若 F ，∈Ω=A A \则F ；（3）若∈n A F ，，，21=n ，则 ∞ =∈1 n n A F ；则称F 为-σ代数(Borel 域)。(Ω,F)称为可测空间，F 中的元素称为事件。由定义易知： . 216\,,)5)4(1 1 1 F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈?∞ === ，，则，，，）若（；则若（；定义1.2 设(Ω,F)是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。如果 ()()()()∑∞ =∞==???? ???=?≠=Ω≤≤∈1 121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ?，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ， ,2,1=n 有： (),1 1∏===???? ??n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族。 §1.2 随机变量及其分布随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数， {}T t X t ∈,是独立的。 §1.3随机变量的数字特征定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若 ? ∞ ∞ -∞<)(||x dF x ，则称 )(X E ＝?∞ ∞ -)(x xdF 为X 的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DY DX B XY XY =ρ 为X 、Y 的相关系数。若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关。（Schwarz 不等式）若,,22 ∞<∞

条件期望的性质及应用论文

条件期望的性质及应用论文条件期望是概率论中的重要概念，它描述了在给定某一事件发生的条件下，另一事件的平均值。条件期望具有以下的性质： 1. 线性性质：条件期望具有线性性质，即对于任意的常数a和b，以及任意的两个随机变量X和Y，有E(aX+bY Z) = aE(X Z) + bE(Y Z)。这意味着条件期望与线性运算是相容的。 2. 不等式性质：条件期望也满足不等式性质。如果随机变量X和Y满足X ≤Y，那么在给定另一个随机变量Z的条件下，有E(X Z) ≤E(Y Z)。这表明条件期望保持了不等式的顺序。 3. 独立性质：如果两个随机变量X和Y在给定另一个随机变量Z的条件下是相互独立的，那么有E(XY Z) = E(X Z)E(Y Z)。这个性质用于计算条件方差。条件期望在概率论和数理统计中有广泛的应用。下面介绍一些相关的应用领域和经典研究论文： 1. 金融领域：条件期望在金融领域中应用广泛，例如在期权定价和投资组合管理中。Fama和Bliss（1987）的论文"The information in long-maturity forward rates"中使用条件期望构建了一种利率模型，用于预测未来利率。

2. 经济学：条件期望在经济学中的应用涉及到最优决策和预测。Hansen和Jagannathan（1991）的论文"The implications of security market data for models of dynamic economies"中利用条件期望分析了经济模型中的风险溢价。 3. 机器学习：条件期望在机器学习中广泛应用于回归模型。Brecklinghaus （1990）的论文"Least squares regression with a quadratic loss function for stochastic processes"中利用条件期望解决了随机过程的最小二乘回归问题。 4. 信号处理：条件期望在信号处理中用于估计信号的特征。Kay（1998）的论文"Fundamentals of Statistical Signal Processing"中介绍了使用条件期望进行信号参数估计的方法。 5. 生物信息学：条件期望在生物信息学中用于基因表达数据的分析。Baldi和Long（2001）的论文"A Bayesian framework for the analysis of microarray expression data: regularized t-test and statistical inferences of gene changes"中利用条件期望提出了一种基于贝叶斯方法的基因表达数据分析方法。总之，条件期望是概率论中重要的工具，具有线性性质、不等式性质和独立性质。它在金融、经济学、机器学习、信号处理和生物信息学等领域有广泛的应用。相

随机过程中的条件期望应用

随机过程中的条件期望应用随机过程是随机事件随着时间变化的数学模型。它是概率论与统计学中的重要概念，被广泛应用于各个领域。在随机过程中，条件期望是一个有用的工具，用来描述在给定一些条件的情况下，某个事件的平均值或期望值。 1. 条件期望的定义在随机过程中，条件期望是指在给定一些条件时，某个事件的平均值。设X是一个随机变量，Y是另一个随机变量。那么给定随机变量Y=y的条件下，X的条件期望E(X|Y=y)是在Y=y的条件下，X的平均值。 2. 条件期望的性质条件期望具有以下性质： - 线性性质：设a和b是实数，X和Y是随机变量，那么 E(aX+bY|Y=y) = aE(X|Y=y) + bE(Y|Y=y)。 - 独立性质：如果X和Y是相互独立的随机变量，那么E(X|Y=y) = E(X)。 - 保持性质：如果X是一个可测函数，那么E(f(X)|Y=y) = f(E(X|Y=y))。 3. 条件期望在随机过程中的应用条件期望在随机过程中有广泛的应用，以下是其中的一些例子：

3.1. 马尔可夫链马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即给定了前一个状态，下一个状态只依赖于当前状态。在马尔可夫链中，条件期望可以用来计算给定当前状态的条件下，下一个状态的期望。 3.2. 随机游走随机游走是一种随机过程，表示随机漫步的模型。在随机游走中，条件期望可以用来计算在给定当前位置的条件下，下一步移动的期望。 3.3. 排队论排队论是研究等待行列和相互竞争的问题的数学理论。在排队论中，条件期望可以用来计算在给定一些条件下，等待时间、系统负载等指标的期望。 3.4. 信号处理在信号处理中，条件期望可以用来计算在给定一些条件下，信号的平均能量、功率等指标的期望。 4. 实际应用举例条件期望在实际应用中有着广泛的应用，以下是一些例子： 4.1. 股票市场在股票市场中，投资者可以使用条件期望来估计某只股票未来的收益。根据给定的一些条件，比如公司的财务状况、行业发展趋势等，可以计算出某只股票未来的收益的期望值。

《应用随机过程》A卷及其参考答案

《应用随机过程》A卷及其参考答案《应用随机过程》A卷一、课程简介《应用随机过程》是一门应用数学学科，旨在研究随机现象的变化规律。通过对这门课程的学习，我们可以掌握随机过程的基本理论和方法，并能够运用这些理论解决实际问题。本课程共分为两个部分：A 卷和B卷。二、考试内容 1、随机过程的定义、性质和分类 2、随机过程的概率分布和数字特征 3、常见的随机过程，如泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等 4、随机过程的极限理论，如强大数定律、中心极限定理等 5、随机过程在各个领域的应用，如金融、生物、物理等三、考试形式 1、试题类型：选择题、填空题、简答题、应用题 2、分值分配：选择题30分，填空题20分，简答题30分，应用题

20分四、考试策略 1、理解基本概念：随机过程的概念、性质和分类是考试的重点，需要充分理解并熟练掌握。 2、掌握基本理论：考试中涉及的基本理论较多，需要平时多加学习和巩固。 3、应用实践：掌握基本理论后，需要能够将其应用于实际问题中，因此要多做练习和实际操作。五、参考答案选择题部分： 1、（1）B （2）C （3）A （4）D （5）C 2、（1）C （2）B （3）D （4）A （5）C 3、（1）D （2）A （3）B （4）C （5）D 填空题部分： 1、（1）正态分布（2）独立性（3）离散型随机变量 2、（1）均匀分布（2）连续型随机变量（3）二项分布

3、（1）泊松分布（2）几何分布（3）超几何分布 4、（1）马尔可夫过程（2）齐次性（3）有限性 5、（1）中心极限定理（2）强大数定律（3）大数定律简答题部分： 1、简述随机过程的基本概念及分类。答：随机过程是指在一定条件下，随时间变化的随机现象的变化规律。它可以根据不同的分类标准分为连续型和离散型、定值型和随机场、马尔可夫性和非马尔可夫性等。 2、请列举几个常见的随机过程，并简述其应用场景。答：常见的随机过程有泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等。泊松过程在物理学、生物学、计算机科学等领域有广泛应用；马尔可夫过程在语音识别、天气预报等领域有应用；随机漫步在金融领域有应用。 3、什么是强大数定律？其在统计学中有何应用？答：强大数定律是指在独立同分布的大量观察中，其算术平均值几乎一定等于期望值。它是大数定律的一种形式，在统计学中有重要应用，如用于样本均值的估计和假设检验等。 4、请简述中心极限定理及其应用。答：中心极限定理是指在独立同分布的大量观察中，其标准化后的随机变量的分布逐渐趋近于正态分布。它是概率论中最重要的事实之一，广泛应用于统计学、金融学等

条件数学期望及其应用

条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matri* and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical. Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重〔一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积〕后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为},,{21 p p .又事件A 有0)(>A P ，这时为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有则称 A i i i p x A X E |]|[∑=．为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望〔简称条件期望〕．定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)(>A P ，且X 在条件A 之下的条件分布密度函数为)|(A x f ．假设⎰∞ ∞-∞

概率中数学期望的变式应用

概率中数学期望的变式应用 1. 引言 1.1 概率中数学期望的变式应用概率中数学期望是概率论中的一个重要概念，通常用来衡量随机变量的平均值。在实际问题中，除了简单的期望计算外，还会涉及到一些变式的应用，如条件期望、随机变量的函数的期望等。这些变式应用能够更加深入地挖掘随机变量的特性，为问题的解决提供更多的参考依据。在接下来的我们将逐一介绍这些内容，通过案例分析和推导论证，展示概率中数学期望的变式应用的重要性和实用性。在我们将对概率中数学期望的变式应用进行总结，并展望未来的研究方向，希望能够为相关领域的研究和应用提供一些参考和启发。的研究将在不断的探索中不断取得新的进展和成果，为概率论的发展和应用贡献力量。 2. 正文 2.1 条件期望的定义与性质条件期望是概率论中一个重要的概念，它描述了在已知一些附加信息的情况下，对随机变量的平均预测值。其定义如下：对于给定的事件A，条件期望E(X|A)是指在A发生的情况下，随机变量X的取值的加权平均值。具体来说，条件期望满足以下性质: 1. 非负性：对于任意随机变量X和事件A, E(X|A) >= 0

2. 线性性：对于任意随机变量X和Y以及常数a,b，有E(aX + bY | A) = aE(X|A) + bE(Y|A) 3. 常数性：如果X是A可测的，那么E(X|A) = X 4. 独立性：如果X和Y是独立的随机变量，那么E(X|Y) = E(X) 在实际计算中，条件期望的计算方法涉及到对样本空间的划分和概率计算。通常采用的方法包括利用条件概率和辅助变量的方法。通过对条件期望的计算，我们可以更好地理解随机变量之间的关系，为问题的解决提供更有效的方法。条件期望在概率论中有着重要的应用，能够帮助我们更好地理解随机变量之间的关系，为问题的建模和求解提供了重要的工具。通过对条件期望的深入研究和应用，我们可以进一步拓展概率论的应用领域，为未来的研究提供更多的可能性和方向。 2.2 条件期望的计算方法条件期望的计算方法可以根据不同情况进行分类和求解。我们来看在离散情况下的条件期望计算方法。设有两个离散随机变量X和Y，我们要计算X在给定Y的条件下的期望。如果X和Y的联合概率分布已知，我们可以利用条件概率的公式进行计算。具体而言，条件期望E(X|Y)的计算公式为： E(X|Y) = Σ x P(X=x|Y)

条件分布定义及其在随机过程中的应用

条件分布定义及其在随机过程中的应用在概率论中，条件分布是指在给定一些信息或事件时，随机变量的概率分布。简单地说，条件分布是指事件发生的条件下，其他事件发生的概率。条件分布在随机过程中有很多应用，本文将对条件分布的定义及其在随机过程中的应用进行深入讨论。一、条件分布的定义条件分布的定义可以由条件概率来推导。设A、B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发生的条件下事件A的条件概率为： P(A|B) = P(AB) / P(B) 其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件 B发生的概率。如果X和Y是两个随机变量，P(Y=y)>0，则在Y=y的条件下 X的条件概率为： P(X=x|Y=y) = P(X=x，Y=y) / P(Y=y)

3. 乘法公式：由条件概率的定义可以得到乘法公式： P(X=x，Y=y) = P(Y=y|X=x)P(X=x) 4. 全期望公式：设X和Y是两个随机变量，则： E(X) = E[E(X|Y)] 其中，E(X|Y)表示在Y条件下X的期望。三、条件分布的应用条件分布在随机过程中有很多应用，本节将讨论其中的一些应用。 1. 马尔可夫性质

条件概率、离散型随机变量的期望和方差

条件概率、离散型随机变量的期望和方差、正态分布【A 】条件概率（1）条件概率：设B A ，为两个事件，且0)(>A P ，称) () ()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率. )|(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率. 【注意】：① 任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤)|(A B P ≤1. ② 如果B 和C 是两个互斥事件，则)|()|()|(A C P A B P A C B P += . ③ 要注意)|(A B P 与)(AB P 的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键. 联系：事件B A ，都发生了. 区别：)(AB P 表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而)|(A B P 表示在缩小的样本空间A Ω中，计算B 发生的概率，用古典概率公式，则中样本点数中样本点数A AB A B P Ω=)|(，中样本点数中样本点数 Ω= AB AB P )(，一般来说，)|(A B P 比)(AB P 大. 【例1】：抛掷一颗骰子，观察出现的点数{}3{==出现的点数不超过A 1， 2， 3}， {}{==出现的点数是奇数B 1， 3， 5}，若已知出现的都是不超过3，求出现的点数是奇数的概率. 【例2】某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20 岁这种动物活到25岁的概率. 【B 】期望与方差（1）数学期望（又叫均值）产生的背景——加权平均数（样本的平均值）在含有n 个数据的样本中，数据1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次，其中n f f f k =+++ 21，）（k i f i ,,2,1 =叫权数（是一个起权衡轻重作用的数值）那么该组数据的平均数为： x n f x n f x n f x n f x f x f x k k k k =⋅++⋅+⋅=+++ 22112211

随机过程的发展

随机过程的发展随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。随机过程的定义设(Ω,F,p)为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时

随机过程分析

. 随机过程分析摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系, 从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。关键字通信系统随机过程噪声通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t 为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。一、随机过程的统计特性 1、数学期望 : 表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，

即均值 a(t) E[ X (t)]xp1 ( x; t) dx1 2、方差 : 表示随机过程在时刻 t对于均值 a(t)的偏离程度。即均方值与均值平方之差。 2 (t ) D[ X (t)] E [ X (t) E( X (t))]2E[ X (t ) a(t)] [ x a(t)]2 p (x; t)dx 2 11 3、自协方差函数和相关函数: 衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。（1）自协方差函数定义 C x (t1; t 2 ) E [ X (t1 ) a(t1 )][ X (t 2 )a(t 2 )] [ x1a(t1 )][ x2a(t 2 )] p( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2 式中 t1 与 t2 是任意的两个时刻；a(t1) 与 a(t2) 为在 t1 及 t2 得到的数学期望；用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。（2）自相关函数 R X (t1 ,t 2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]x1 x2 p2 ( x1 , x2 ;t1 ,t 2 )dx1 dx2 用途： a 用来判断广义平稳； b用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。二、平稳随机过程 1、定义（广义与狭义）：则称 X(t) 是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或

随机过程(二)

第三章泊松过程（Possion Process ）定义3.1 如果对任何12,,,n t t t T ∈ ，12n t t t <<< ，随机变量211()(),,()()n n X t X t X t X t --- 相互独立，则称{(),}X t t T ∈为独立增量过程。如果对任何12,t t ，有1122()()()()d X t h X t X t h X t +-=+-，则称{(),}X t t T ∈为平稳增量过程。兼有独立增量和平稳增量过程称为平稳独立增量过程。

平稳独立增量过程主要有 ⏹随机游动 ⏹泊松过程 ⏹布朗运动 ⏹Cauchy过程 ⏹稳定过程（Stable Process）

本章主要内容 ⏹泊松过程的定义 ⏹与泊松过程有关时刻的分布⏹泊松过程的推广 ⏹非齐次泊松过程 ⏹复合泊松过程 ⏹条件泊松过程 ⏹更新过程 ⏹排队论*

一、泊松过程的定义定义3.2 随机过程{(),0} N t t≥称为计数过程，如果N(t)表示从时刻0到t时刻内某一事件A发生的次数，它具备以下两个特点： 1.()0 N t≥且取值为整数； 2.s

定义3.3 计数过程{(),0} N t t≥称为参数为λ的泊松过程，如果 1.(0)0 N= 2.过程有独立增量； 3.对任意,0 s t≥， λ称为泊松过程的强度或速率，表示单位时间内发生事件的平均次数。

常见的泊松过程 ✧火车站售票数 ✧保险公司的索赔数 ✧到达电话总机的呼叫数目例：设从早上8：00开始，某火车站售票处开始连续售票，乘客以10人/小时的平均速率达到，请问：（1）从9：00到10：00这一个小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少。（2）假设每位乘客平均购买1张车票，从8：00到12：00，此售票处平均售出多少张车票。

条件期望的性质与应用

条件期望的性质与应用 It was last revised on January 2, 2021

条件期望的性质和应用摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。关键词：条件期望；定义；性质；应用条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。现代概率论总是从讲述条件期望开始的。鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。 1 条件期望的几种定义条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===， 1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞ ⋅====>∑的j y ，称为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。此时条件分布函数为 () ()i i j i j i j x x x x F x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()1 0i i ij j P X x p p +∞ ⋅====>∑的i x ，称为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。此时条件分布函数为 ()()j j i j i j i y y y y F y x P Y y X x p ≤≤= === ∑∑。故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下 ()()i i i E X Y y x P X x Y y ====∑或()()j j j E Y X x y P Y y X x ====∑。定义2 连续随机变量的条件期望

随机过程第1章概论课件

随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书： 1．随机信号分析基础。王永德王军编著，电子工业出版社。2．随机信号分析。朱华等编著，北京理工大学出版社。3．随机过程及其应用。陆大絟编著，清华大学出版社。

第一章随机信号概论 1.1 确定性信号与随机信号工程中的数字信号主要指被量化的各种物理量，按特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等类型。按可预测性和可再现性原则，信号可分为确定性信号与随机信号两类。按确定性规律变化的信号称为确定性信号。确定性信号可以用数学解析式表达，或用确定性曲线准确地描述。在相同的条件下，确定性信号可以重复、再现，确定性信号可用函数()s t 或(,)s t θ来表达，其中θ是待定参数或参数向量，t 是时间或空间自变量。例1 正弦信号 0()sin(2)s t A t πωφ=+ A 、0ω、φ分别是信号的振幅、频率、相位，可以是确定的数值，也可以是待定参数。不遵循任何确定性规律变化的信号称为随机信号。随机信号具有不重复、不可预测的特点，在完全相同的条件下，不能保证信号能完全重现，对信号的未来值不能完全准确地预测。随机信号产生的原因是信号在产生、发射、传输、接收、测量、采样、计算等处理过程中受到各种噪声的干扰。随机信号常用随机函数()X t 表示，它与确定性信号(,)s t θ往往有如下关系： ()(,)()X t s t t θε=+ ()(,)()X t s t t θε=∙ ()t ε是噪声干扰。信号的确定性是相对的。在理想的环境、理想的条件下，信号是确定的；或者在精度要求不高的情况下，在某些噪声和干扰忽略不计的前提下，信号是确定的。由于噪声和干扰无处不在、无时不在，工程应用中的信号往往都具有随机性。处理随机信号的主要方法是信号统计处理方法，其中信号估计与信号检测是信号统计处理方法的核心内容。理论上，随机信号()X t 是时间连续的，即时间t 的取值是连续的。在信号计算机处理过程中，常常要对时间t 进行等间距离散采样，获得离散信号序列(1),(2),()X X X N ，或记为12,,N X X X 。在统计信号分析处理中，通常用12,, N X X X 来表示随机信号序列。例2：由雷达系统可确定飞机的位置。为了确定飞机与雷达的距离R ，我们可以发射一个电磁脉冲0()sin(2)s t A t πω=，这个

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的根本概念与根本类型一．随机变量及其分布 1．随机变量X ，分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰ ∞ -=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑= k k p x EX 连续型随机变量X ⎰∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：2 2 2 )()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度协方差〔两个随机变量Y X ,〕：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数〔两个随机变量Y X ,〕：DY DX B XY XY ⋅= ρ 假设0=ρ，则称Y X ,不相关。独立⇒不相关⇔0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞ ∞ -=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1(p EX =pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)(np EX =npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -==λ=EX λ=DX 均匀分布略

随机过程(十二)

鞅公平赌博的例子设{,1}n Y n ≥i.i.d ，表示输赢，(1)(1)0.5n n P Y P Y ===-= 赌注11(,...,)n n n b b Y Y -=，设X 0表示赌博前的初始赌资， 01n n i i i X X bY ==+∑ 表示第n 次赌博后的赌资，则 11(|,...,)n n n E X Y Y X += 即已知前面n 次赌博的结果，第n ＋1次赌博后的平均赌资等于第n 次赌博后的赌资。

证明：由于111n n n n X X b Y +++=+ 11111111111(|,...,)(|,...,) (|,...,)(|,...,) n n n n n n n n n n n n n n E X Y Y E X b Y Y Y X E b Y Y Y X b E Y Y Y +++++++=+=+=+ 由于{,1}n Y n ≥i.i.d ，()0,1,2,....n E Y n ==，因此 111(|,...,)()0n n n E Y Y Y E Y ++== 从而 11(|,...,)n n n E X Y Y X +=

定义1：称{,1}n X n ≥是关于{,0}n Y n ≥的鞅，如果（1）n X 是0(,...,)n Y Y 的函数；（2）(||)n E X <∞；（3）10(|,...,)n n n E X Y Y X +=。定义2：称{,1}n X n ≥是关于{,0}n Y n ≥的下鞅（上鞅），如果对任意n （1）n X 是0(,...,)n Y Y 的函数；（2）(||)n E X <∞；（3）10(|,...,)()n n n E X Y Y X +≥≤。

随机过程及其应用-清华大学

4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是 k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=) (0)()(t N k k t t t S 使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E == 对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下， n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和n t t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以 2))((2)2)(())((2 2)())(|)((2 0t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E n k k λ= ===- =-==∑=从而有 4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率)(t λ如下) (1) ()(t F t f t -= λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。定义随机过程 )(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=- 这里A #表示集合A 中的元素个数。如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。