幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案
幂函数是数学中常见的一种函数形式,它的表达式为y = ax^n,其中a和n为
常数,x为自变量。幂函数在实际问题中具有广泛的应用,例如物理学中的力
学问题、经济学中的需求曲线等。下面将给出一些幂函数的练习题及其答案,
帮助读者更好地理解和掌握幂函数的性质和应用。
1. 练习题:已知函数y = 2x^3,求当x取值为2时,y的值是多少?
解答:将x = 2代入函数表达式中,得到y = 2*(2^3) = 2*8 = 16。因此,当x
取值为2时,y的值为16。
2. 练习题:已知函数y = 5x^(-2),求当x取值为0.5时,y的值是多少?
解答:将x = 0.5代入函数表达式中,得到y = 5*(0.5^(-2)) = 5*(1/0.5^2) =
5*(1/0.25) = 5*4 = 20。因此,当x取值为0.5时,y的值为20。
3. 练习题:已知函数y = 3x^2,求当y取值为12时,x的值是多少?
解答:将y = 12代入函数表达式中,得到12 = 3*(x^2)。将方程两边同时除以3,得到4 = x^2。再开平方根,得到x = ±2。因此,当y取值为12时,x的值为±2。
4. 练习题:已知函数y = 4x^(-1/2),求当y取值为2时,x的值是多少?
解答:将y = 2代入函数表达式中,得到2 = 4*(x^(-1/2))。将方程两边同时除
以4,得到1/2 = x^(-1/2)。两边同时取倒数,得到2 = x^(1/2)。再平方,得到
4 = x。因此,当y取值为2时,x的值为4。
通过以上练习题的解答,我们可以看到幂函数的特点和性质。首先,幂函数的
自变量可以取任意实数值,但要注意当指数为负数时,自变量不能取0。其次,
幂函数的图像在正数指数时呈现出上升趋势,指数越大,曲线上升得越快;而在负数指数时,图像则呈现下降趋势。此外,幂函数的图像在指数为偶数时,始终位于x轴的上方,而在指数为奇数时,图像则会穿过x轴。
幂函数在实际问题中的应用非常广泛。例如,在物理学中,力的大小与物体的质量和加速度之间的关系可以用幂函数来表示;在经济学中,需求曲线的形状也可以用幂函数来描述。掌握和理解幂函数的性质和应用,对于解决实际问题和深入理解数学知识都有着重要的意义。
总之,通过以上的练习题及其答案,我们可以更好地理解和掌握幂函数的性质和应用。幂函数作为数学中常见的一种函数形式,其在实际问题中的应用非常广泛。希望读者能够通过练习题的解答,加深对幂函数的理解,提高数学解题的能力。
幂函数的概念 例1、下列结论中,正确的是( ) A .幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B .幂函数的图象可以出现在第四象限 C .当幂指数α取1,3,1 2时,幂函数y =x α是增函数 D .当幂指数α=-1时,幂函数y =x α在定义域上是减函数 解析 当幂指数α=-1时,幂函数y =x -1的图象不通过原点,故选项A 不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y =x α (α∈R ),y >0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B 不正确;而当α=-1时,y =x -1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数. 答案 C 例2、已知幂函数f (x )=(t 3-t +1)x 1 5(7+3t -2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,求实数t 的值. 分析 关于幂函数y =x α (α∈R ,α≠0)的奇偶性问题,设p q (|p |、|q |互质), 当q 为偶数时,p 必为奇数,y =x p q 是非奇非偶函数;当q 是奇数时,y =x p q 的奇偶性与p 的值相对应. 解 ∵f (x )是幂函数,∴t 3-t +1=1, ∴t =-1,1或0. 当t =0时,f (x )=x 7 5是奇函数; 当t =-1时,f (x )=x 2 5是偶函数; 当t =1时,f (x )=x 85是偶函数,且25和8 5都大于0, 在(0,+∞)上为增函数. 故t =1且f (x )=x 85或t =-1且f (x )=x 2 5. 点评 如果题中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视. 例3、如图是幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象,则( )
幂函数练习题及答案 一、选择题 1. 下列函数中,属于幂函数的是: A. y = 3x^2 B. y = 5x + 2 C. y = 2^x D. y = √x 答案:C 2. 对于幂函数y = ax^n,若n > 0,则函数图像为: A. 上升曲线 B. 下降曲线 C. 横坐标轴 D. 常数函数y = a 答案:A 3. 若幂函数y = 3^x在点(0, a)处的函数值为12,则a的值为: A. 9 B. 8 C. 4
D. 2 答案:C 二、填空题 1. 当幂函数图像关于点(1, b)对称时,函数的底数a为_________。答案:1 2. 若幂函数y = a^x的图像过点(2, 4),则底数a的值为_________。答案:2 3. 幂函数y = 3^x图像的对称轴方程为_________。 答案:x = 0 三、计算题 1. 求解以下幂函数方程: 1) 8^x = 2 解:8^x = 2 取对数得:xlog8 = log2 x = log2 / log8 ≈ 0.333 2) (1/2)^x = 4 解:(1/2)^x = 4 取对数得:xlog(1/2) = log4
x = log4 / log(1/2) ≈ -2 2. 求以下幂函数的极限: 1) lim(x→∞) 3^x 解:当x趋于正无穷时,幂函数3^x趋于无穷大,因此极限为正无穷。 2) lim(x→-∞) 2^x 解:当x趋于负无穷时,幂函数2^x趋于零,因此极限为零。 四、证明题 证明:幂函数y = a^x和指数函数y = e^x都是定义域为实数集合R 的递增函数。 证明过程略。 综上所述,幂函数是具有底数a和自变量x的数学函数,根据底数的不同,幂函数的特性也会有所不同。通过练习题的训练,我们可以更好地理解和掌握幂函数的概念、性质以及解题方法,提升数学应用能力和解决问题的能力。
3.3 幂函数练习 一、单选题 1、已知幂函数f (x )=kx α(k ∈R ,α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫1 2,2,则k +α=( A ) A .12 B .1 C .3 2 D .2 2、下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A ) A .y =x -2 B .y =x -1 C .y =x 2 D .y =3 1 x 3、幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是( C ) 4、幂函数()()22 22m f x m m x -=--在( ) 0,∞+上单调递减,则实数m 的值为( A ) A .1- B .3 C .1-或3 D .3- 5、若f (x )=12 x ,则不等式f (x )>f (8x -16)的解集是( A ) A .⎣⎡⎭⎫2,167 B .(0,2] C .⎝⎛⎭⎫-∞,16 7 D .[2,+∞) 6、若幂函数f (x )=( ) 1 2 2 55a a a x ---在(0,+∞)上单调递增,则a 等于( D ) A .1 B .6 C .2 D .-1 7、幂函数a b c d y x y x y x y x ====,,,在第一象限的图像如图所示,则a b c d ,,,的大小关系是 ( D )
A .a b c d >>> B .d b c a >>> C .d c b a >>> D .b c d a >>> 8、已知幂函数y =p q x (p ,q ∈Z 且p ,q 互质)的图象关于y 轴对称,如图所示,则( D ) A .p ,q 均为奇数,且p q >0 B .q 为偶数,p 为奇数,且p q <0 C .q 为奇数,p 为偶数,且p q >0 D .q 为奇数,p 为偶数,且p q <0 二、多选题 9.下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有( CD ) A .当1α=-时,函数在其定义域上递减 B .当0α=时,函数图象是一条直线 C .当2α=时,函数是偶函数 D .当3α=时,函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10.已知函数() a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则( CD ) A .()f x 的图象经过点(3,9) B .()f x 的图象关于y 轴对称 C .()f x 在(0,)+∞上单调递减 D .()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞ 11、已知幂函数f (x )=() 2 23 1m m m m x +---,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,都满足
幂函数练习题及答案解析 1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^ 2. 解析:定义域为实数集,f(-x) = (-x)^2 = x^2,因此是偶函数。 2.若 a < 1,则 5a < 0.5a < 5-a。 解析:因为 a < 1,所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a,因此 5a < 0.5a < 5-a。 3.α 可能的取值为 1 和 3,使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。 解析:只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数,因此α 可能的取值为 1 和 3. 4.当 n = -1 或 n = 2 时,满足 (-2)^n。(-3)^n。 解析:因为 (-2)^n。0 且 (-3)^n < 0,所以 y = x^n 在 (-∞。+∞) 上为减函数。因此 n = -1 或 n = 2. 1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。-4)。
解析:函数的开口向上,关于 x = -4 对称,因此在 (-∞。-4) 上递减。 2.幂函数的图像过点(2.4),则其单调递增区间是(-∞。0)。 解析:因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线,过点(2.4),因此其单调递增区间为 (-∞。0)。 3.正确的说法有 2 个。 解析:①错误;②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1);③正确;④正确,因此有 2 个正确的说法。 4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值 的个数是 1. 解析:因为f(x) = x^α 为奇函数,所以α 为奇数,因此α 可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减,所以只有α = -1 满足条件。因此个数为 1. 1.α=-1,1,3. 由于f(x)在(,+∞)上为减函数,所以α=-1. 2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3 幂函数练习题及答案 幂函数是数学中常见的一类函数,其形式为 f(x) = a^x,其中 a 为常数且a ≠ 0。幂函数在数学中有广泛的应用,涉及到各个领域的问题。本文将通过一些幂函 数的练习题及其答案,来帮助读者更好地理解和掌握幂函数的性质和运算。 1. 练习题一:简单的幂函数求值 计算以下幂函数在给定点上的函数值: (a) f(x) = 2^x,当 x = 3; (b) g(x) = (-3)^x,当 x = -2; (c) h(x) = 0.5^x,当 x = 4。 答案: (a) f(3) = 2^3 = 8; (b) g(-2) = (-3)^(-2) = 1/((-3)^2) = 1/9; (c) h(4) = 0.5^4 = 1/2^4 = 1/16。 这些计算可以通过将给定的 x 值代入幂函数的定义中进行求解。注意负指数 的处理方式。 2. 练习题二:幂函数的图像与性质 研究以下幂函数的图像,并回答相应问题: (a) f(x) = 2^x; (b) g(x) = (-2)^x; (c) h(x) = 3^x。 答案: (a) f(x) = 2^x 的图像是一条递增曲线,穿过点 (0, 1)。当 x 取负值时,函数值 逐渐趋近于 0,当 x 取正值时,函数值逐渐增大。 (b) g(x) = (-2)^x 的图像是一条交替变化的曲线。当 x 为偶数时,函数值为正,当 x 为奇数时,函数值为负。 (c) h(x) = 3^x 的图像是一条递增曲线,穿过点 (0, 1)。函数值随 x 的增大而迅 速增大。 通过观察这些幂函数的图像,我们可以发现幂函数的一些共同性质,如递增 或递减性、穿过点 (0, 1)、趋近于 0 等。 3. 练习题三:幂函数的运算 计算以下幂函数的运算结果: (a) f(x) = 2^x * 2^3; (b) g(x) = (2^x)^3; (c) h(x) = 2^(x+3)。 答案: (a) f(x) = 2^x * 2^3 = 2^(x+3); (b) g(x) = (2^x)^3 = 2^(3x); (c) h(x) = 2^(x+3) = 2^x * 2^3。 幂函数的运算可以利用指数运算的性质进行简化。幂函数相乘时,底数相同 则指数相加;幂函数的幂次运算时,指数相乘。 通过以上的练习题和答案,我们可以更好地理解和掌握幂函数的性质和运算。 幂函数在数学中的应用非常广泛,涉及到各个领域的问题,如经济学中的复利 计算、物理学中的指数增长等。希望读者通过这些练习题的训练,能够提升对 幂函数的理解和运用能力,为解决实际问题提供有力的数学工具。 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 ( ) A .y x =43 B .y x =32 C .y x =-2 D .y x =-1 4 2.函数2-=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是 ( ) A . 4 1 B .1- C .4 D .4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3 x y -= B .3 -=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 4.函数34x y =的图象是 ( ) A . B . C . D . 5.下列命题中正确的是 ( ) A .当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1 x y =图象满足 ( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于 y 轴对称 D .关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A .是奇函数又是减函数 B .是偶函数又是增函数 C .是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数 8.函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ) A .]6,(--∞ B .),6[+∞- C .]1,(--∞ D .),1[+∞- 9. 如图1—9所示,幂函数α x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A .102431<<<<<αααα B .104321<<<<<αααα C .134210αααα<<<<< D .142310αααα<<<<< 10. 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<,则 )2( 21x x f +,2) ()(21x f x f +大小关系是( ) A .)2( 21x x f +>2) ()(21x f x f + B . )2( 21x x f +<2 ) ()(21x f x f + C . )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + D . 无法确定 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分). 11.函数y x =-3 2 的定义域是 . 12.的解析式是 . 13.9 42 --=a a x y 是偶函数,且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 14.幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限,不过原点,则n m k ,,的 1α 3α 4α 2α 幂函数练习题及答案 、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的, 填在题后的括号内(每小题 5 分,共50 分). B.幂函数的图象都经过(0 ,0)和(1,1 )点 C .若幂函数y x 是奇函数,则y x 是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 1 6.函数y x3和y x3图象满足 请把正确答案的代号 1.下列函数中既是偶函数又是( ,0)上是增函数的是 4 x3 2.函数 3 B.y x 2 21 y x 2在区间[ ,2] 上的最大值是 2 C.D. 1 A. 4 B. 1C.D. 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是 A.y x3 3 B.y x C. 2x3D. 5.下列命题中正确的是 A.当0 时函数y x的图象是一条直线 y y 1 4 4 A.关于原点对称B.关于x 轴对称 7. 函数 y x|x|,x R ,满足 A .是奇函数又是减函数 B .是偶函数又是增函 数 C .是奇函数又是增函 数 D .是偶函数又是减函 数 2 8.函数 y x 2 2x 24 的单调递减区间是 ( ) A . ( , 6] B .[ 6, ) C .( , 1] D .[ 1, ) 9. 如图 1— 9所示,幂函数 y x 在第一象限的图象,比较 x 1 x 2 f (x 1) f (x 2 ) f(x 12x 2), f(x 1)2 f(x 2) 大小关系是( ) 奇偶性为 . 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 (共 76 分) . 15 .( 12 分)比较下列各组中两个值大小 6 6 5 5 C .关于 y 轴对称 D .关于直线 y x 对称 0, 1, 2, 3 , 4 ,1的大小( A . 1 3 4 2 1 B . 0 1 2 3 4 1 C . 2 4 0 3 1 1 D . 3 2 4 1 1 4 10 . 对于幂函数 f (x) x , 若 0 x 1 x 2 ,则 A . f(x 1 x 2 2 f (x 1) f (x 2) 2 B . f(x 1 x 2 ) f (x 1) f(x 2) 2 C . x 1 f( 1 x 2 2 f (x 1) f (x 2 ) 2 D . 无法确定 、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) k n ( 1)k 14 .幂函数 y x m (m,n,k N*, m,n 互质 ) 图象在一、二象限,不过原点,则 k,m,n 的 3 4 幂函数练习题及答案 幂函数练习题及答案 幂函数是数学中常见的一种函数形式,它的表达式为y = ax^n,其中a和n为 常数,x为自变量。幂函数在实际问题中具有广泛的应用,例如物理学中的力 学问题、经济学中的需求曲线等。下面将给出一些幂函数的练习题及其答案, 帮助读者更好地理解和掌握幂函数的性质和应用。 1. 练习题:已知函数y = 2x^3,求当x取值为2时,y的值是多少? 解答:将x = 2代入函数表达式中,得到y = 2*(2^3) = 2*8 = 16。因此,当x 取值为2时,y的值为16。 2. 练习题:已知函数y = 5x^(-2),求当x取值为0.5时,y的值是多少? 解答:将x = 0.5代入函数表达式中,得到y = 5*(0.5^(-2)) = 5*(1/0.5^2) = 5*(1/0.25) = 5*4 = 20。因此,当x取值为0.5时,y的值为20。 3. 练习题:已知函数y = 3x^2,求当y取值为12时,x的值是多少? 解答:将y = 12代入函数表达式中,得到12 = 3*(x^2)。将方程两边同时除以3,得到4 = x^2。再开平方根,得到x = ±2。因此,当y取值为12时,x的值为±2。 4. 练习题:已知函数y = 4x^(-1/2),求当y取值为2时,x的值是多少? 解答:将y = 2代入函数表达式中,得到2 = 4*(x^(-1/2))。将方程两边同时除 以4,得到1/2 = x^(-1/2)。两边同时取倒数,得到2 = x^(1/2)。再平方,得到 4 = x。因此,当y取值为2时,x的值为4。 通过以上练习题的解答,我们可以看到幂函数的特点和性质。首先,幂函数的 自变量可以取任意实数值,但要注意当指数为负数时,自变量不能取0。其次, [基础巩固] 1.函数f (x )=x 3的图象( ) A .关于直线y =x 对称 B .关于x 轴对称 C .关于原点对称 D .关于y 轴对称 解析 ∵f (x )=x 3是奇函数,∴f (x )的图象关于原点对称. 答案 C 2.若幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2,14,则f ⎝⎛⎭ ⎫12等于( ) A .4 B .2 C .12 D .14 解析 设f (x )=x α,则14 =2α,∴α=-2. ∴f (x )=x -2.∴f ⎝⎛⎭⎫12=⎝⎛⎭⎫12-2=22=4. 答案 A 3.(多选)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎫27,13,则幂函数f (x )具有的性质是( ) A .在其定义域上为增函数 B .在(0,+∞)上单调递减 C .奇函数 D .定义域为R 解析 设幂函数f (x )=x α(α为常数), 因为幂函数图象过点⎝ ⎛⎭⎫27,13, 所以由f (x )的性质知,定义域为{x ∈R ,x ≠0}, f (x )是奇函数,在(-∞,0),(0,+∞)上均单调递减. 答案 BC 4.下列幂函数中是奇函数且在(0,+∞)上单调递增的是________(填序号). ①y =x 2;②y =x ;③y =x 12 ;④y =x 3;⑤y =x -1. 解析 由奇偶性的定义知 y =x 2为偶函数,y =x 12 =x 既不是奇函数也不是偶函数.由幂函数的单调性知y =x -1在(0,+∞)上单调递减,易知②④满足题意. 答案 ②④ 5.幂函数y =x -1在[-4,-2]上的最小值为________. 解析 ∵y =x -1在(-∞,0)上单调递减,∴y =x -1在[-4,-2]上递减,∴y =x -1在[-幂函数练习题及答案
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