n^2和(n+1)^2之间至少含两个质数

２０１８．２５科学技术创新一１一　ｎ２和（ｎ＋１）２之间至少含两个质数　王立民　（黑龙江省肇东师范学校，黑龙江肇东１５１１００）　

摘要：本文讨论的是区间【２，ｎ２】上任意２ｎ个“连续”正整数中至少含２个质数及其推论ｎ　和（ｎ＋１）　之间至少含２个质数。　关键词：质数；整除；内质因数；半质因数；奇级超循环；偶级超循环　中图分类号：Ｏ１—０　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９６—４３９０（２０１８）１８—０００１—０６　

我们规定：若数列ａｌ，ａ　，ｄ３，ａ……，ａＩ（ｔ是大于１的整数）是ｔ　个两两互异的正整数按从小到大顺序的排列，并且以任意相　邻两项为端点的开区间内不含整数，则称此数列为ｔ个连续　正整数．显然区间（满足区间上正整数的个数多于１个）上的　正整数是连续正整数，所以我们也用区间上的正整数表示连　续正整数。　由于论证的需要，先复习两个初等数学知识：　预备知识ｌ设Ｐ是任意大于１的整数，则开区间组（ｔｐ，　（ｔ＋１）ｐ）（ｔ是自然数）中每一个小开区间内没有被Ｐ整除的数．　证明：（反证法）假定存在ａ∈（ｔｐ，（ｔ＋１）ｐ）（ｔ是自然数），且　ａ＝ｑｐ（ｑ∈Ｎ，Ｎ是正整数集），把ａ与区间右端点（ｔ＋１）ｐ的距离　记做ｃ，则　（ｔ＋１）ｐ—ｑｐ＝ｃ，　．’．（ｔ＋１－ｑ）ｐ＝ｅ．　（１）　又因为开区间内的点ａ与开区间右端点的距离ｃ小于任　一小开区间两端点之间的距离，即　Ｏ＜Ｃ＜（ｔ＋１）ｐ—ｔｐ＝ｐ，　．‘．０＜ｅ＜ｐ．　由此式可知等式（１）右边ｅ＜ｐ，故不被Ｐ整除，而左边被Ｐ　整除，等式（１）矛盾，故假设不成立，原命题成立，预备知识１　得证。　预备知识２在２ｎ（ｎ＞１）个连续正整数ａ。，ａ２，ａ３，……，ａ　中：　①若ｐｌａｉ，则ｐｌａｊ的充要条件是ｐｔｊ—ｉ；　②当Ｐｌａ。且ｐｌａｊ时，闭区间［ａｉ，ａｊ】上被Ｐ整除的数是　：！二　＋１个；　Ｐ　其中ｉ，ｉ是项数，ｉ≤ｊ．　ｆ证明略、与预备知识２类似的命题在初等数学中出现　过，其中卜ｉ是ａｉ与ａｊ之间的距离）．　命题１任意Ｐ（ｐ＞１）个连续正整数中有且只有一个被Ｐ　整除的数．　证明：先证明存在性（反证法１　假定Ｐ个连续正整数：　ａ１，ａ２，ａ３，……，ａ　（１）　中没有被Ｐ整除的数，由预备知识１知数列（１）的各项必须　都在开区间组（ｔｐ，（ｔ＋１）ｐ））（ｔ是自然数）　（２）　的同一个小开区间内，按此计算数列（１）的项的个数Ｐ必不大　于开区间组（２）的同一个小开区间内整数的个数，即Ｐ≤（ｔ＋１）　ｐ—ｔｐ—ｌ＝ｐ—ｌ，这与事实ｐ＞ｐ一１相矛盾，存在性得证。　再证唯一性（反证法）　假定Ｐ个连续正整数中被Ｐ整除的项多于１个，则存在　ｍｌ，ｍ２∈Ｎ，且ｍｌ≠Ｉｌｌ２，使得ａｉ＝ｍＩＰ，ａｊ＝ｍｚｐ，ｉ≠ｊ，ｉ、ｊ∈｛１，２，３，…ｐ｝，　Ｉ　ｉｎｌ—ｉｎ２　Ｉ≥１．　．·．Ｉ　ａｉ－ａｊ　Ｉ－Ｉ　ｍｌ—ｍ２　Ｉ　ｐ≥Ｐ．　这与数列（１）中任意两个正整数之间的距离不大于其首　末两项之间的距离ｌ　ａｐ－ａ。Ｉ＿ｐ一１相矛盾，唯一性得证．综合　上述讨论，命题１得证．　定义１我们把区间［２，２ｎｌ（ｎ＞１）上的整数叫做相对于２ｎ　个连续正整数的内因数，简称内因数，内因数中的质数叫做内　质因数（本文定义的各种因数皆可称作因子）　命题２设ｎ是大于１的整数，已知Ｐ是２ｎ个连续正整数　的内因数，２ｎ＝ｐｗ＋￣，０≤考＜ｐ，（ｗ∈Ｎ），则任意２ｎ个连续正整数　中被Ｐ整除的数是Ｗ或ｗ＋１个，并且ｐｔ（ｔ＝１，２，３．……，ｗ）是内　因数，ｐ（ｗ＋１）不是内因数．特别地，当毒＝Ｏ时，则任意２ｎ个连续　正整数中被Ｐ整除的数恒为Ｗ个．　证明：已知２ｎ＝ｐｗ＋￣，０≤∈＜ｐ，把任意２ｎ（即ｐｗ＋考）个连续　正整数记作　ａｌ，ａ２，ａ３，……，ａｐｗ＋￡　（１）　由命题１知（１）的前Ｐ项中有且只有一项被Ｐ整除的数，　把这一项记作　ａｉ（１≤ｉ≤Ｐ）　（２）　ａｐｗ＋∈－ａｉ＝ｐｗ＋￣－ｉ　（３）　因为０≤毫＜ｐ，再根据（２）可知　Ｏ≤Ｉ∈一ｉ　Ｉ≤Ｐ．　（４）　下面分两种情形来讨论　１）当ｉ≤毒时，贝４　０≤考一ｉ＜ｐ一１　（５）　先根据预备知识２．①知，任一被Ｐ整除的项到ａ．的距离　都是Ｐ的倍数（即任一被Ｐ整除的项的项数与ｉ的差都是Ｐ　的倍数），再根据命题１知只要被Ｐ整除的项在从末项向前数　的Ｐ项之内就是最大的被Ｐ整除的项（以下按上述办法来求　最大的被Ｐ整除的项，下文不再重述）．由（３）和（５）两式可求得　数列（１）中被Ｐ整除的项中最大的项是ａ　，再根据预备知识　

２．②知被ｐ整除的项的个数是上　＋ｌ＝ｗ＋ｌ，故此时　Ｐ　数列（１）中被Ｐ整除的项是ｗ＋１个．　

２）当ｉ＞毫时，由（４）式可得　

一Ｐ≤￣－ｉ＜０　把（３）式整理为　（６）　

ａｐｗ＋∈一ａ。＝ｐ（ｗ－１）＋ｐ＋｛－ｉ　（７）　根据预备知识２．①及命题１，由（６）和（７）可求得数列（１）中　被Ｐ整除的项中最大的项是ａｐ（ｗ－ｉ）＋ｉ￣根据预备知识２．②知被　

Ｐ整除的项的个数是—ｐ（ｗ－－１

—）＋ｉ－ｉ＋ｌ＝ｗ，故此时数列（１）中　

Ｐ　一２一科学技术创新２０１８．２５　被ｐ整除的项是Ｗ个．　显然当１≤ｔ≤Ｗ时，２≤ｐｔ≤ｐｗ＋￣＝２ｎ，即２≤ｐｔ≤２ｎ，所以　ｐｔ（ｔ＝１，２，３，…，ｗ）是内因数．ｐ（ｗ＋１）＝ｐｗ＋ｐ＞ｐｗ＋善＝２ｎ，即ｐ（ｗ＋１）＞　２ｎ，因此ｐ（ｗ＋１）不是内因数．　特别地，当ｐｌ２ｎ时，∈＝０，而１≤ｉ≤ｐ．所以ｉ恒大于毛，根据　２）的讨论知，当ｐｌ２ｎ时，任意２ｎ个连续正整数中被Ｐ整除的　数恒为Ｗ个。　综合上述１）和２）的讨论，命题２得证．　定义２把２ｎ（ｎ＞１）个连续正整数中的数被内因数整除　这一特征叫作内因数循环．在不至于产生误解的情况下，本文　简述作循环．　定义３在２ｎ（ｎ＞１）个连续正整数　ａｌ，ａ２，ａ３，……，ａ　（ｓ）　中，设２ｎ＝ｐｗ＋｛，０≤考＜ｐ，Ｐ　Ｅ【２，２ｎ］，其中Ｗ，Ｐ，∈是整数．　若数列（ｓ）中被Ｐ整除的数是ｗ（或ｗ＋１）个，则此循环叫做　关于Ｐ的常（或超）循环，统称关于Ｐ的循环，称Ｐ是常（或超）　循环基因数．这ｗ（或ｗ＋１）个被Ｐ整除的数从小到大的排列叫　做关于Ｐ的常（或超）循环数列，统称关于Ｐ的循环数列．ｗ（或　ｗ＋１）叫做循环次数．数列ｐ，２ｐ，３ｐ，…，ｗｐ叫做关于Ｐ的常循环　因数列，数列ｐ，２ｐ，３ｐ，…，（ｗ＋１）ｐ叫做关于Ｐ的超循环因数列，　统称关于Ｐ的循环因数列．把超循环因数列中的项（ｗ＋１）ｐ叫　做关于Ｐ的超循环因数，其它各项都叫做关于Ｐ的内循环因　数，统称关于Ｐ的循环因数．把超循环数列巾被（ｗ＋１）Ｐ整除　的项叫做关于Ｐ的超循环数，其它各项都叫做关于Ｐ的内循　环数，统称关于Ｐ的循环数．　根据定义及命题２的讨论立刻可得内因数循环的性质：　１．若内因数ｐｌ２ｎ（即２ｎ＝ｐｗ，ｗ是正整数），对于任意２ｎ个　，）＂　连续正整数，Ｐ永远是常循环基因子，Ｐ循环的次数恒为　＝　Ｗ，今后把整除２ｎ的内因子叫作稳定基因子。　２．在任一关于Ｐ的超循环数列ｆ或超循环因数列）中关于　Ｐ的超循环数（或超循环因数）的个数是唯一的（其证明与命　题ｌ中唯一Ｉ生的证明类似）．　３．当ｎ确定时，对于任意２ｎ（２ｎ＝ｐｗ＋￣，Ｐ∈【２　７２ｎ］，０≤毛＜ｐ）　个连续正整数，所有关于Ｐ的常循环数列及常循环因数列的　项的个数都相等且等于Ｗ，所有关于Ｐ的超循环数列及超循　环因数列的项的个数都相等且等于ｗ＋１，所以任一关于Ｐ的　超循环数列或超循环因数列比任一关于Ｐ的常循环数列或　常循环因数列的项的个数恰好多一个。　根据定义及命题２的讨论立刻可得　判定定理对于２ｎ（ｎ＞１）个连续正整数，若内因数Ｐ满足：　２ｎ＝ｐｗ＋｛，０＜∈＜ｐ，则ｐ为超循环基因子的充要条件是：数列左　边（或右边）第一个被ｐ整除的数，在２ｎ个连续正整数中的项　数（或从后向前数的项的个数）不大于∈。　定义４把区间［２，ｎｌ（ｎ＞１）上的内因数叫做２ｎ个连续正整　数的半因数，在不至于产生误解的情况下可简称半因数，半因　数中的质数叫半质因数。　定义５在２ｎ（ｎ＞１）个连续正整数中，若ｔ（ｔ＝１，２，３，…，ｒ；ｒ　是半质因数的总个数）个两两互异的半质因数Ｐ．，ｐ２，ｐ　一，Ｐ　之积ＰｔＰ２Ｐ３…Ｐ。满足：　１）当Ｐｌｐ２ｐ，…ｐｔ＜２ｎ时，Ｐ　ＰｚＰ３…Ｐ　是超循环基因子；或　２）当ｐｌｐ２ｐ３…ｐＩ＞２ｎ时，２ｎ个连续正整数中存在被ｐｌＰ２Ｐ３…　Ｐ　整除的项；　则称这ｔ个半质因数在此２ｎ个连续正整数中构成ｔ级超　循环，ｔ是奇数时的ｔ级超循环叫奇级超循环，ｔ是偶数时的ｔ　级超循环叫偶级超循环．关于ｐｌｐ２ｐ　…Ｐ。的内（或超）循环数叫　做ｔ级内（或超）循环数，ｔ是奇数时叫奇级内（或超）循环数，ｔ　是偶数时叫偶级内（或超）循环数．关于ＰｌＰ２Ｐ　…Ｐ。的常（或超）　循环数列叫做ｔ级常（或超）循环数列，ｔ是奇数时叫奇级常　（或超）循环数列，ｔ是偶数时叫偶级常（或超）循环数列．关于　ＰｌＰ２Ｐ　…Ｐ　的内（或超）循环因数叫做ｔ级内（或超）循环因数，ｔ　是奇数时叫奇级内（或超）循环因数，ｔ是偶数时叫偶级内（或　超）循环因数．关于Ｐ　Ｐ２Ｐ　一Ｐ　的常（或超）循环因数列叫做ｔ　级常（或超）循环因数列，ｔ是奇数时叫奇级常（或超）循环因　数列，ｔ是偶数时叫偶级常（或超）循环因数列．　我们规定：已知ｐｌ，ｐ　，Ｐ　一，Ｐ　是ｔ（２≤ｔ≤ｒ，ｒ是半质因数　的总个数）个两两互异的半质因数，为叙述方便我们把被　ｐｌｐ２ｐ　…Ｐ　整除的数（包括ｐｌｐ２ｐ，…Ｐ　本身）通称为ｔ级重合，　简称ｔ重合。　（注意：我们没有给出ｔ级内重合和ｔ级超重合的概念，所　以ｔ级重合是ｔ级循环数和ｔ级循环因数的统称）。　命题３在２ｎ（ｎ＞１）个连续正整数｛ａ２　）中，若ｔ（１≤ｔ≤ｒ，ｒ　

是数列｛ａ　｝的半质因数的总个数）个两两互异的半质因数　ｐｌ，ｐ　，Ｐ　一，Ｐ。构成ｔ级超循环时，则被ｐｌＰ２Ｐ３…Ｐ。整除的数的个　数比关于ｐｌｐｚＰ，…Ｐ　的内循环因数的个数多一个；反之，若Ｐ．，　ｐ２，ｐ　一，Ｐ．不构成ｔ级超循环时，则被ｐｌＰ２Ｐ　…Ｐ　整除的数的个　数等于关于ｐｌＰ２Ｐ　…Ｐ　的内循环因数的个数。　证明：１）当ｐｌｐ２ｐ，…ｐｌ≤２ｎ时，Ｐ　ｐｚＰ３…Ｐ。是内因数，根据内　因数循环的性质３，立刻可判断命题３成立。　２）当Ｐ　ＪＰ２Ｐ３…Ｐｔ＞２ｎ时，ｐｌＰ２Ｐ３…Ｐ　不是内因数，所以关于　ｐ。ｐ　Ｐ，…Ｐ　的内循环因数的个数是０，若Ｐｌ，Ｐ２，Ｐ　一，Ｐ　构成ｔ级　

超循环，由定义５知数列｛ａ：　｝中存在被Ｐ。Ｐ２Ｐ，…Ｐ　整除的　数，与命题ｌ中唯一性的证明类似地可以证明被ｐｌｐ２ｐ　…Ｐ　整　除的数只能是一个，故被ｐｌｐ２ｐ，…Ｐ　整除的数的个数比关于　ｐｌｐ２ｐ，…Ｐ。的内循环因数的个数多一个；显然若Ｐ　，Ｐ　，Ｐ　，Ｐ【不　构成ｔ级超循环时，被ｐｌｐｚｐ，…Ｐ　整除的数的个数等于关于　ＰｌＰ２Ｐ３…Ｐ　的内循环因数的个数０。　综合上述１）和２）的讨论，命题３得证。　由命题３的证明可知：当ｐｌＰｚＰ３…ｐｌ＞２ｎ时，由Ｐ　，Ｐ２，Ｐ３，