绝对值(基础)
【学习目标】
1.掌握一个数的绝对值的求法和性质;
2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义;
3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】 要点一、绝对值
1.定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|. 要点诠释:
(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a 都有:
(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.
2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0. 要点二、有理数的大小比较
1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a <b .
2.法则比较法:
两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下:
两数同号 同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 -数为0
正数与0:正数大于0 负数与0:负数小于0
要点诠释:
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小.
3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a -b >0,则a >b ;若a -b =0,则a =b ;若a -b <0,a <b ;反之成立.
4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若
1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a
b
<,则a b <;反之也成立.若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反.
5. 倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小. 【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1.求下列各数的绝对值.
(0)||0(0)(0)a a a a a a >??==??-
11
2-,-0.3,0,132??-- ???
【思路点拨】1
12
,-0.3,0,132??-- ??
?
在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解. 【答案与解析】 解法一:因为11
2-到原点距离是1
12
个单位长度,所以111122-=.
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|-0.3|=0.3.
因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|=0. 因为132??-- ???
到原点的距离是1
3
2
个单位长度,所以113322??
--= ???
.
解法二:因为11
02-<,所以111111222??
-=--= ???
.
因为-0.3<0,所以|-0.3|=-(-0.3)=0.3.
因为0的绝对值是它本身,所以|0|=0. 因为1302??--> ???,所以1133
22
??--= ???
. 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是0.再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是0.从而求出该数的绝对值.
2.已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是________. 【答案】2009或-2009
【解析】根据绝对值的定义,到原点的距离是2009的点有两个,从原点向左侧移动2009个单位长度,得到表示数-2009的点;从原点向右侧移动2009个单位长度,得到表示数2009的点.
【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念;(2)利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数. 举一反三:
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3. 【高清课堂:绝对值比大小 356845 典型例题3】
【变式2】如果|x |=2,那么x =_____ _ ; 如果|-x |=2,那么x =______. 如果|x -2|=1,那么x = ; 如果|x |>3,那么x 的范围是 .
【答案】2-2+或;2-2+或;1或3;x>3或x<-3
【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6,则点A 表示的数为 . 【答案】6或-6
类型二、比较大小
3.比较下列有理数大小:(1)-1和0; (2)-2和|-3| ;(3)13??-- ???
和12
-
;(4)1--______0.1--
【答案】(1)0大于负数,即-1<0;
(2)先化简|-3|=3,负数小于正数,所以-2<3,即-2<|-3|;
(3)先化简1133??--=
???,1122-=,1123>,即1132??
--<- ???
.
(4)先化简11--=-,0.10.1--=-,这是两个负数比较大小:因为11-=,
0.10.1-=,而10.1>,
所以10.1-<-,即1--<0.1--
【解析】(2)、(3)、(4)先化简,再运用有理数大小比较法则.
【点评】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断. 举一反三:
【高清课堂:绝对值比大小 356845 典型例题2】 【变式1】比大小: 6
5
3
-______763- ; -|-3.2|______-(+3.2); 0.0001______-1000;
1.38-______-1.384; -π______-3.14.
【答案】>;=;>;>;<
【变式2】(山东临沂)下列各数中,比-1小的数是( )
A .0
B .1
C .-2
D .2
【答案】C
【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示,则a ,-a ,-1的大小关系是( ).
A .-a <a <-1
B .-1<-a <a
C .a <-1<-a
D .a <-a <-1
【答案】C
类型三、绝对值非负性的应用
4. 已知|2-m|+|n-3|=0,试求m-2n的值.
【思路点拨】由|a|≥0即绝对值的非负性可知,|2-m|≥0,|n-3|≥0,而它们的和为0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此,2-m=0,n-3=0,所以m=2,n=3.
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|=0
且|2-m|≥0,|n-3|≥0
所以|2-m|=0,|n-3|=0
即2-m=0,n-3=0
所以m=2,n=3
故m-2n=2-2×3=-4.
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0时,则a=b=…=m=0.
类型四、绝对值的实际应用
5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数.检测结果(单位:克):-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.
【答案】因为|+10|<|+15|<|-20|<|-25|<|+30|<|-40|,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.
【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大.【点评】绝对值越小,越接近标准.
举一反三:
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油,根据质量要求,净含量(不含包装)可以有0.002L 的误差.现抽查6瓶食用调和油,超过规定净含量的升数记作正数,不足规定净含量的升数记作负数.检查结果如下表:
+0.0018 -0.0023 +0.0025
-0.0015 +0.0012 +0.0010
请用绝对值知识说明:
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量?
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶,分别是检查结果为+0.0018,-0.0015,+0.0012,+0.0010的这四瓶.
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少,最接近规定的净含量.
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,小虫爬行的各段路程(单位:cm)依次记为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10,在爬行过程中,如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻,那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】小虫爬行的总路程为:
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+6+12+10=54(cm).
小虫得到的芝麻数为54×2=108(粒).