2、2一元二次方程的解法(3)

适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，

2次方程公式ax^2 + bx + c = 0其中，a、 b 和 c 是已知的实数系数，且a不等于零。

x 是未知数，通常表示变量。

这个方程的解就是求出满足该方程的 x 的值，也就是方程的根或零点。

二次方程可以用各种方法解决，比如因式分解、求平方根、配方法、公式法等。

其中最常用的方法是求解二次方程的公式法，即使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a这个公式又称作根的公式，其中的±表示两个根，即一个是加号，一个是减号。

二次方程的解法也有很多不同的方法，比如使用因式分解法，先将二次方程化为(x-p)(x-q)=0的形式，再找到满足这个形式的p和q。

还可以使用“求平方根”的方法，将方程左边化为一个完全平方的形式，然后开根号得出解。

还有一种更简单的配方法，运用配方法将二次方程化简为一个完全平方的形式，然后求解。

解二次方程的公式法是最常用的解法之一，因为它通用性强，适用范围广，对于一般的二次方程都可以使用这个方法来求解。

不过，对于特殊的情况，比如系数为复数、方程无解、方程有重根等，也可以结合其他方法进行求解。

下面，我们将详细介绍二次方程的解法和应用，以及一些常见的问题和技巧。

1. 二次方程的求解公式二次方程的求解公式是用一元二次方程：ax2+bx+c=0表示。

其中a、b和c分别是一元二次方程的系数，a≠0，x是未知数。

一元二次方程的解法是用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a就是这个公式，其中的±表示两个根，即一个是加号，一个是减号。

在实际应用中，首先要对一元二次方程中a的值进行判别：（1）当a>0时，二次方程的曲线开口向上，称为“上凸函数”，则方程有两个不等根。

（2）当a<0时，二次方程的曲线开口向下，称为“下凹函数”，则方程有两个不等根。

（3）当a=0时，方程退化成一次方程，其解是x=-c/b。

5．用恰当的方法解下列方程： (3)12x(x－1)＝10. 解：原方程可变形为 x2－x＝20， 即x－122＝84Байду номын сангаас， x－12＝±92， ∴x1＝5，x2＝－4.
6．已知△ ABC 的两边长分别为 2 和 3，第三边的长 是方程 x2－8x＋15＝0 的根，求△ ABC 的周长．
变式 1 用公式法解方程：5x2－3x＝x＋1. 解：原方程可变形为 5x2－4x－1＝0. ∵a＝5，b＝－4，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝36. ∴x＝－b± 2ba2－4ac＝2±5 3. ∴x1＝1，x2＝－15.
例 2 用公式法解方程：2x2－2 2x＋1＝0.
解：∵a＝2，b＝－2 2，c＝1，
解：原方程可变形为 x2－8x＋17＝0. ∵a＝1，b＝－8，c＝17， ∴Δ＝b2－4ac＝－4. ∴原方程无解．
变式 3 用公式法解方程：2x(x－5)＋4＝0.
解：原方程可变形为 x2－5x＋2＝0.
∵a＝1，b＝－5，c＝2，
∴Δ＝b2－4ac＝17.
∴x＝－b±
2ba2－4ac＝5±2
4．用公式法解下列方程： (2)12x2－2x－1＝0； 解：∵a＝12，b＝－2，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝6. ∴x＝－b± 2ba2－4ac＝2± 6. ∴x1＝2＋ 6，x2＝2－ 6.
4．用公式法解下列方程：
(3)x(2x－4)＝5－8x.
解：原方程可变形为 2x2＋4x－5＝0.
17 .
∴x1＝5＋2
17，x2＝5－2
17 .
1．方程 x2－5x＋4＝0 的判别式等于( C )
A． 9
B．5
C．9
D． 21
2．用公式法解下列方程：x2＋2x－4＝0. ∵a＝11 ，b＝2 2 ，c＝－－4 4， ∴Δ＝b2－4ac＝2200 ． ∴x＝－b± 2ba2－4ac＝－－11±± 5 ． ∴x1＝－11＋＋ 5 ，x2＝－－11－－ 5 ．

一元二次方程是代数学中的基本概念之一，它在数学理论和实际问题中有着重要的应用。

自古至今，人们就一直在探索一元二次方程的解法，并不断寻找更加简洁、通用的解法。

本文将带您穿越古今，探寻一元二次方程的解法，并比较不同时期的解法特点。

古代1. 印度裂变法在古代印度，《布拉马格普塔数学》一书中提出了利用“裂变法”来解一元二次方程的方法。

该书主要是由印度数学家布拉马格普塔所编写，裂变法主要是通过将一元二次方程的中间项拆分成两个部分，并结合平方完成平方解法。

2. 空间几何法古希腊数学家欧几里得提出了利用空间几何的方法来解一元二次方程，他将方程的解与平面几何图形相通联，从而用几何推导法来求解方程的根。

中世纪1. 求根公式的出现在中世纪，一元二次方程的求解方法逐渐发展，数学家开始尝试总结出通用的求根公式。

其中，卡丹和维吉塔在16世纪提出了一元二次方程的求根公式，即在形如ax^2+bx+c=0的方程中，x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

近代1. 代数解法的完善18世纪，拉格朗日提出了拉格朗日插值法，该方法是通过对一元二次方程进行代数推导，将方程化为特定形式，并通过变换来求解方程的根。

2. 牛顿迭代法17世纪，牛顿提出了一种数值逼近的方法，即牛顿迭代法。

该方法是通过不断迭代逼近方程的根，直至满足精度要求。

现代1. 利用矩阵方法求解20世纪，随着线性代数的发展，人们开始利用矩阵方法来解一元二次方程。

通过将方程转化为矩阵形式，并进行行列式运算，可以求得方程的根。

2. 使用计算机辅助求解随着计算机技术的飞速发展，人们可以通过编程语言和计算软件来求解一元二次方程。

利用计算机的高速运算和精确性，可以快速得到方程的解。

总结穿越古今，可以发现一元二次方程的解法经历了漫长的发展过程。

从古代的裂变法到现代的矩阵方法、计算机辅助求解，人们对一元二次方程的解法进行了不断的探索和完善。

通过不同的方法，我们可以更加全面地理解一元二次方程，并在实际问题中灵活应用。