高中数学 第一章 立体几何初步章末复习课学案 北师大版必修2

1.2 直观图[核心必知]1．斜二测画法的规则(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x 轴和y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.2．立体图形的直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，其直观图中对应于z 轴的是z ′轴，平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示直立平面，平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．[问题思考]1．斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么？提示：斜是指坐标轴倾斜，使之成45°，二测是指测量与x 轴平行的线段长度不变，测量与y 轴平行的线段长度减半．2．斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗？ 提示：平行．3．空间几何体的直观图一定唯一吗？提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．讲一讲1．用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．[尝试解答] 法一：(1)如图①所示， 以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．法二：(1)如图③所示，以BC 边所在的直线为y 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为x 轴．(2)画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，在y ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝12OC ＝1 cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图④所示．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．练一练1．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解：画法：(1)如图(1)，取AB 所在直线为x 轴，以AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，设y 轴与DC 交于点E ，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ， 在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点作C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图(2)．讲一讲2．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[尝试解答] 画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．练一练2．画出五棱柱的直观图．解：画法：(1)画轴：画x′轴，y′轴，z′轴，记坐标原点为O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在俯视图中，建立直角坐标系xOy(如图①)，利用斜二测画法画出底面ABCDE 的直观图A′B′C′D′E′.(3)画侧棱：过A′，B′，C′，D′，E′各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取A′A″，B′B″，C′C″，D′D″，E′E″，使它们都等于主视图中矩形的高．(4)成图：连接A″B″，B″C″，C″D″，D″E″，E″A″，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到原几何体的直观图(如图②)．讲一讲3．一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．[尝试解答] 如图(1)是四边形的直观图，取B ′C ′所在直线为x ′轴．因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′所在直线为y ′轴．过D ′作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形．所以E ′C ′＝ 2.再建立一个直角坐标系xBy ，如图(2)所示，在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2，在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2.过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的实际图形．四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1， 下底BC ＝1＋2，高AB ＝2， 所以S 梯形ABCD ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2) ＝2＋ 2.(1)由直观图还原平面图形关键有两点：①平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴线段变为原来的2倍；②对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴平行线变换确定其在xOy 中的位置．(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是S 直观图S 原图＝24. 练一练3．已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )A.32a 2B.34a 2C.62a 2D.6a 2 解析：选C 如图(1)为直观图，图(2)为实际图形．取B ′C ′所在直线为x ′轴，过B ′C ′中点O ′与O ′x ′成45°的直线为y ′轴，过A ′点作A ′N ′∥O ′x ′，交y ′轴于N ′点，过A ′点作A ′M ′∥O ′y ′，交x ′轴于M ′点．则在直角三角形A ′O ′M ′中， ∵O ′A ′＝32a ，∠A ′M ′O ′＝45°，∴A ′M ′＝62a . 则AM ＝2A ′M ′＝6a ，∴S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.画出右图中四边形OABC 的直观图(图中数据已给出)．[错解] 以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，如图甲，作∠C ′O ′B ′＝45°，其中O ′B ′是水平的，O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝90°，使A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，所得四边形O ′A ′B ′C ′即为四边形OABC 的直观图，如图乙．[错因] 坐标轴上的点O ，B ，C 画得正确，点A 的直观图位置画错了，应该依据点A 到y 轴的距离不变，到x 轴的距离减半的方法确定A ′的位置．[正解] 如图所示，作∠C ′O ′B ′＝45°，其中O ′B ′是水平的，O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，O ′C ′＝1，过点D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，使A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，所得四边形即为四边形OABC 的直观图．1．用斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中，仍然相等； ②正方形在直观图中是矩形；③等腰梯形在直观图中仍然是等腰梯形； ④菱形的直观图仍然是菱形． 上述结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 利用斜二测画法，上面说法没有一个正确．2．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )解析：选C 按斜二测画法的规则：平行于x 轴或x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠x ′O ′y ′＝45°，将图形还原成原图形知选C.3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )解析：选A 根据斜二测画法，知在y 轴上的线段长度为原来的一半，可知A 正确． 4．平行四边形的直观图________平行四边形．(用“是”或“不是”作答) 解析：斜二测画法不改变图形中的平行关系． 答案：是5．如图，为△ABO 水平放置的直观图，其中O ′D ′＝B ′D ′＝2A ′D ′，由图判断原三角形中AB ，BO ，BD ，OD 由小到大的顺序是________________．解析：将直观图还原为平面图形如图所示，由三角形的有关性质可知，OB >AB >BD >OD . 答案：OD <BD <AB <OB6．已知一等腰△ABC 底边AB ＝a ，高为32a ，求用斜二测画法得到的直观图的面积． 解：如图(1)(2)所示的是实际图形和直观图， 由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.一、选择题1．下列说法中正确的个数是( )①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 只有③④正确．2．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是如图所示中的( )解析：选D 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )A．16 B．64 C．16或64 D．都不对解析：选C 当其中在x′轴上的边长为4时，正方形面积为16；当其中在y′轴上的边长为4时，正方形面积为64.4．如图，直观图所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)的平面图形是( )A．正三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形解析：选D 由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°知对应的平面图形为直角三角形．5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A.24a 2 B.433a 2 C.34a 2D ．22a 2 解析：选D 由题意知，平行四边形的直观图为对应在直角坐标系下的图形为：∴平行四边形的面积为S ′＝2×12×a ×22a ＝22a 2.二、填空题6．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：在直观图中，A ′B ′C ′O ′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，∴B ′到x ′轴的距离为22. 答案：227．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由于直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， 则斜边AB ＝5，故斜边AB 上的中线长为2.5. 答案：2.58．如图所示是水平放置的△ABC 在直角坐标系中的直观图，其中D 是AC 的中点，原△ACB 中，∠ACB ≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条．解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD 长度相等的线段，把△ABC 还原后为直角三角形，则D 为斜边AC 的中点，∴AD ＝DC ＝BD .答案：2 三、解答题9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm 、2 cm ，高为2 cm)． 解：(1)画轴，以底面△ABC 的垂心O 为原点，OC 所在直线为y 轴，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A ′B ′C ′的垂心O ′与O 的连线为z 轴，建立空间坐标系． (2)画下底面，在xOy 平面上画△ABC 的直观图，在y 轴上量取OC ＝33 cm ，OD ＝36cm. 过D 作AB ∥x 轴，且AB ＝2 cm ，以D 为中点，连接AC 、BC ，则△ABC 为下底面三角形的直观图．(3)画上底面，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，过O ′作x ′轴∥x 轴，y ′轴∥y 轴，在y ′轴上量取O ′C ′＝36 cm ，O ′D ′＝312cm ，过D ′作A ′B ′∥x ′轴，A ′B ′＝1 cm ，且以D ′为中点，则△A ′B ′C ′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图，连接AA ′，BB ′，CC ′，并擦去辅助线，则三棱台ABC －A ′B ′C ′，即为所要画的三棱台的直观图(如图)．10.用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC ，AC ＝1，∠ABC ＝30°，如图所示，试求原图的面积．解：如图(1)所示，作AD ⊥BC 于D ，在BD 上取一点E 使DE ＝AD ，由AC ＝1，可知BC ＝2，AD ＝32，AE ＝62， 由斜二测画法(如图(2))可知11 B ′C ′＝BC ＝2，A ′E ′＝2AE ＝6，∴S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′E ′＝12×2×6＝6.(1) (2)。

第1课时垂直关系的判定[核心必知]1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(3)二面角的记法．如图，记作：二面角α­AB­β.(4)二面角的平面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．如图二面角α－l－β，若有①O∈l.②OAα，OB β.③OA⊥l，OB⊥l.则∠AOB就叫作二面角α－l－β的平面角．4．两个平面互相垂直(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面互相垂直的判定定理：[问题思考]1．若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：不一定垂直．例如，a1∥a2∥a3∥…，且a1，a2…α，l与这组平行直线垂直．有可能直线l在这个平面内或与平面斜交．2．在直线与平面垂直的判定定理中为什么强调一个平面内的两条相交直线？提示：(1)定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视，因为它体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”能够相互转化的数学思想．(2)两条相交直线可以确定这个平面，虽然两条平行直线也可以确定这个平面，但由于平行线的传递性，直线垂直于平面内两条平行线时不能判定其和这个平面垂直．如图：aα，bα，a∥b，l⊥a，l⊥b，但l不垂直于α.3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，折痕AD与桌面垂直吗？提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时，AD才与桌面所在的平面垂直．讲一讲1．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.[尝试解答] 证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD, AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.(1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①面内的两条相交直线；②都垂直．(2)要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的．练一练1．如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴BD⊥平面SAC.讲一讲2.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.[尝试解答] 证明：法一：取BC的中点D，连接AD、SD.∵∠ASB＝∠ASC＝60°，且SA＝SB＝SC，∴AS＝AB＝AC.∴AD⊥BC.又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，∴BD＝SD.∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2.由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD.又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.又AD 平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.法二：同法一证得AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS即为二面角A­BC­S的平面角．∵∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD＝22，AD＝22，∴SD2＋AD2＝SA2.∴∠ADS＝90°.∴平面ABC⊥平面BSC.常用的两个平面互相垂直的判定方法：(1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．对于判定定理，可简述为“线面垂直，则面面垂直”．练一练2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.证明：∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，又CD 平面ABC，∴CD⊥B1B.又∵AB∩B1B＝B，∴CD⊥平面AA1B1B.又∵CD 平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，则BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？并说明理由．[巧思] 由条件可知AQ⊥QD.根据半圆上的圆周角是直角．将BC边是否存在点的问题转化为以AD为直径的圆是否与BC边有公共点的问题来解决．[妙解] ∵PA⊥平面ABCD，若PQ⊥QD，则QD⊥平面PAQ.∴AQ⊥QD.当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一个点Q，使PQ⊥QD.当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个点Q，使PQ⊥QD.当0<a<2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )A．有1个B．有2个C．无数个D．不存在解析：选C 由面面垂直的判定知，过l任作一平面都与α垂直．2．已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是( )A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，nβC．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β解析：选D 选择适合条件的几何图形观察可得，A中α与β相交或平行；B中α，β相交，但不一定垂直；C中α∥β或α与β相交．3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．4．如图，已知：PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中垂直的平面共有________对．解析：平面PBC⊥平面PAC；平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面ABC.5．空间四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则AC与BD的位置关系是________．解析：如图，设E为BD的中点，连接AE，CE.∵AB＝AD，BC＝CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面AEC.又∵AC 平面AEC，∴BD⊥AC.答案：垂直6．已知四面体ABCD中，BC＝AC，BD＝AD，BE⊥CD于E，求证：CD⊥平面ABE.证明：取AB中点M，连接MD，MC.∵BC＝AC，BD＝AD，∴CM⊥AB，DM⊥AB.又CM∩DM＝M，∴AB⊥平面CDM.∵CD 平面CDM，∴CD⊥AB.又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定解析：选B 由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．2．在三棱锥A­BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有( )A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCDD．平面ABC⊥平面BCD解析：选C 由AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B⇒AD⊥平面BCD，AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B 如图，连接A1D、B1C，由ABCD­A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是( )A．若m⊥α，则m∥lB．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥lD．若m∥l，则m⊥α解析：选B A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是( )A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF解析：选A ∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.二、填空题6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．解析：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC 平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.答案：垂直7．如图所示，底面ABCD是矩形．PA⊥平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有________对．解析：图中互相垂直的面共有6对，即平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD.答案：68．已知点O为三棱锥P­ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的__________心．解析：如图，由PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；若PA⊥BC，又PO⊥面ABC，∴BC⊥PO.∴BC⊥面PAO.∴BC⊥AO.同理AC⊥OB.∴O是△ABC的垂心；若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．答案：外垂内三、解答题9.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接OE.如图．因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10．(北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F 为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.第2课时垂直关系的性质[核心必知]1．直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直的性质定理⎪⎬⎪α⊥βα∩β＝lα⇒[问题思考]1．由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个 平面的两个平面平行吗？提示：可能平行，也可能相交．如图．2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？ 提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于另一个平面．讲一讲1.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.[尝试解答] 证明：如图所示，连接AB 1，B 1C ，BD .∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面A B1C.∴EF∥BD1.线面垂直的性质除了线面垂直的性质定理外，常用的还有：①若线垂直于面，则线垂直于面内的线．②若一条直线同时垂直于两个平面，则这两个平面平行．③若一条直线垂直于一个平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面．利用这些性质可以证明线线平行、线线垂直、面面平行及线面垂直．练一练1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON ∥12CD ∥12AB .∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形． ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB .∴M 是AB 的中点.讲一讲2．已知平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面PBC ，E 为垂足． (1)求证：PA ⊥平面ABC ；(2)当E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形． [尝试解答] (1)如图，在平面ABC 内取一点D ， 作DF ⊥AC 于点F ，平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF ⊥平面PAC . 又PA平面PAC ，∴DF ⊥AP .作DG ⊥AB 于点G ，同理可证DG ⊥AP ，DG 、DF 都在平面ABC 内且交点为D ， ∴PA ⊥平面ABC .(2)连接BE 并延长，交PC 于点H . ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC ⊥BE . 又已知AE 是平面PBC 的垂线，∴PC ⊥AE .又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．练一练2．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)连接PG，BD.由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD.∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.讲一讲3.如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.求证：(1)平面SBC⊥平面KBD；(2)平面SBC不垂直于平面SDC.[尝试解答] (1)连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.(2)假设平面SBC⊥平面SDC.∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB.∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：练一练3．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB.证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，∴BC⊥AB.4．如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.已知：平面α∩平面β＝AB，α⊥γ，β⊥γ，求证：AB⊥γ. [证明] 法一：如图(1)，∵α⊥γ于BC，β⊥γ于BD，在γ内过一点P作直线n⊥BD，过P作直线m⊥BC，则m⊥α，n⊥β.∵α∩β＝AB，∴m⊥AB，n⊥AB.又m∩n＝P，∴AB⊥γ.法二：假设AB不垂直于γ，∵α⊥γ于BC，在α内作AB1⊥BC，则AB1⊥γ，在β内作AB2⊥BD，又β⊥γ于BD，∴AB2⊥γ.上述作法与过一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故AB不垂直于γ是不可能的，因此AB⊥γ.[尝试用另外一种方法解题]法三：如图(2)，在平面α内作直线m⊥BC，∵α⊥γ，α∩γ＝BC，∴m⊥γ.同理在平面β内作直线n⊥BD，则n⊥γ.∴m∥n.∵nβ，∴m∥β.又mα，α∩β＝AB，∴m∥AB，∴AB⊥γ.法四：过A作AB1⊥γ于B1.∵α⊥γ，且点A∈α，∴AB1α，同理AB1β.∴AB1α∩β，∴AB1与AB重合，即AB⊥γ.1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( )A．n∥α B．n∥α或nαC．nα或n与α不平行 D．nα解析：选A ∵lα，且l与n异面，∴nα.又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：①过P与l垂直的直线在α内；②过P与β垂直的直线在α内；③过P与l垂直的直线必与α垂直；④过P与β垂直的平面必与l垂直．其中正确的命题是( )A．② B．③ C．①④ D．②③解析：选A 因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直，①③④的情况则可能成立，也可能不成立．3．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：选A ∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．4．如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部解析：选A 由AC⊥AB，AC⊥BC1，知AC⊥平面ABC1.AC面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．5．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC、△COB、△ABC、△AOD、△BOD、△COD共6个．答案：66．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明：∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，AC平面ABC，MN平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.一、选择题1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC ．m ∥β且l ⊥mD ．α∥β且α⊥γ解析：选A ∵m ⊥γ，m α，l γ，∴α⊥γ，m ⊥l ；B 错，有可能m β；C 错，有可能m β；D 错，有可能α与β相交．2．(浙江高考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β解析：选C 逐一判断可知，选项A 中的m ，n 可以相交，也可以异面；选项B 中的α与β可以相交；选项D 中的m 与β的位置关系可以平行、相交、m 在β内，故选C.3．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝1，PE ⊥DE ，则PE 的长为( ) A.292 B.135 C.175 D.1195解析：选B 如图所示，连接AE .∵PA ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，∴PA ⊥BD .又∵BD ⊥PE ，PA ∩PE ＝P ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥AE .∴AE ＝3×45＝125.所以在Rt △PAE 中，由PA ＝1，AE ＝125，得PE ＝135.4．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，直线a α，直线b β，且a 不与l 垂直，b 不与l 垂直，那么a 与b ( )A ．可能垂直，不可能平行B ．可能平行，不可能垂直C ．可能垂直，也可能平行D ．不可能垂直，也不可能平行解析：选B 当a ，b 都平行于l 时，a 与b 平行，假设a 与b 垂直，如图所示，由于b 与l 不垂直，在b 上任取一点A ，过点A 作b ′⊥l ，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D 在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD的长为________ cm.解析：如图，连接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，∴AD＝122＋42＝410 cm.又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，∴CA⊥β.∴△CAD为直角三角形．∴CD＝CA2＋AD2＝32＋42×10＝169＝13(cm)．答案：138．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，m∥n，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.其中正确的命题的序号是________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：如图，命题①显然错误．设α∩β∩γ＝m，过m上任意一点，在γ内作n⊥m，则直线n既不垂直于α，又不垂直于β.命题②正确．∵α∥β，∴α与β无公共点，∴直线m与直线n也无公共点．又m∈γ，n∈γ，∴m∥n.命题③错误．虽然直线m不垂直于α，但m有可能垂直于平面α内的一条直线，于是α内所有平行于这条直线的无数平行线都垂直于m.命题④正确．由直线与平面平行的判定定理可知∵n∥m，mα，mβ，nα，nβ，∴必有n∥α，n∥β.∴应填②④.答案：②④三、解答题9．如图，A，B，C，D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．解：(1)设AB中点为O，连接OC、OD，则OC⊥AB，∵平面ADB⊥平面ABC，平面ADB∩平面ABC＝AB.∴OC⊥面ADB.∵OD平面ADB，∴OC⊥OD.即∠COD＝90°.在等边△ADB中，AB＝2，∴OD＝ 3.在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2，∴OC＝1.在Rt△COD中，CD＝OC2＋OD2＝2.(2)当△ADB在转动过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，∴AB⊥平面COD.∴AB⊥CD.当△ADB转动到与△ABC共面时，仍然有AB⊥CD.故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD.10．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD.∵PA⊥平面ABC，CD平面ABC，∴PA⊥CD，又CD⊥AD.∴CD⊥平面PAD.∵PD平面PAD.∴CD⊥PD.∴CD⊥EN.又CD⊥ME，∴CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥AB.(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，取PD的中点K，连接AK，KN，则KN 12DC AM，且AK⊥PD.∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC.又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.。

1 简单几何体学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．知识点一两平面平行和直线与平面垂直的概念思考1 如何定义两平面平行？思考2 如何判定直线与平面垂直？梳理(1)________________的两个平面平行．(2)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则这条直线与这个平面垂直．知识点二旋转体与多面体知识点三常见的旋转体及概念思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？思考2 能否由圆锥得到圆台？梳理特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．知识点四常见的多面体及相关概念思考观察下列多面体，试指明其类别．梳理(1)棱柱①定义要点：(ⅰ)两个面________________；(ⅱ)其余各面都是________________；(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都________________．②相关概念：底面：两个________________的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：相邻______________的公共边．顶点：底面多边形与________的公共顶点．③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱柱：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、…….(ⅱ)直棱柱：侧棱________于底面的棱柱．(ⅲ)正棱柱：底面是________________的直棱柱．(2)棱锥①定义要点：(ⅰ)有一个面是________________；(ⅱ)其余各面是三角形；(ⅲ)这些三角形有一个________________．②相关概念：底面：除去棱锥的侧面余下的那个________________．侧面：除底面外的其余__________面．侧棱：相邻两个________的公共边．顶点：________的公共顶点．③记法：如三棱锥S－ABC.④分类及特殊棱锥：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有________、__________、__________、……，(ⅱ)正棱锥：底面是______________，且各侧面________的棱锥．(3)棱台①定义要点：用一个______________________的平面去截棱锥，________与________之间的部分．②相关概念：上底面：原棱锥的________．下底面：原________的底面．侧棱：相邻的________的公共边．顶点：________与底面的公共顶点．③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱台：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、……，(ⅱ)正棱台：由________________截得的棱台．类型一旋转体的概念例1 下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3类型二多面体及其简单应用例2 (1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．(提示：可以证明BC綊MN)引申探究若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？反思与感悟(1)棱柱的识别方法①两个面互相平行．②其余各面都是四边形．③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(2)棱锥的识别方法①有一个面是多边形．②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．④对几类特殊棱锥的认识(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．(3)棱台的识别方法①上、下底面互相平行．②各侧棱延长交于一点．跟踪训练2 下列说法正确的是( )A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C．棱锥的侧面可以是四边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面1．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个2．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台3．下面有关棱台说法中，正确的是( )A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是( ) A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．答案精析问题导学知识点一思考1 两平面无公共点．思考2 直线和平面内的任何一条直线都垂直．梳理(1)无公共点(2)任何一条直线知识点二平面曲线旋转面旋转体平面多边形多面体知识点三思考1 不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．思考2 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．梳理半圆的直径曲面圆心球面球心矩形的一边曲面一条直角边曲面垂直于底边的腰曲面旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴不垂直于旋转轴知识点四思考(1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．梳理(1)①(ⅰ)互相平行(ⅱ)四边形(ⅲ)互相平行②互相平行两个侧面侧面④(ⅰ)三棱柱四棱柱五棱柱(ⅱ)垂直(ⅲ)正多边形(2)①(ⅰ)多边形(ⅲ)公共顶点②多边形三角形侧面侧面④(ⅰ)三棱锥四棱锥五棱锥(ⅱ)正多边形全等(3)①平行于棱锥底面底面截面②截面棱锥侧面侧面④(ⅰ)三棱台四棱台五棱台(ⅱ)正棱锥题型探究例1 ④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．跟踪训练1 C例2 3解析①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；根据棱锥的概念知，③正确；根据棱台的概念知，④正确；棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．正确的个数为3.(2)解①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.引申探究解如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．跟踪训练2 B [A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．]当堂训练1．D [由棱柱的定义知，①③为棱柱．]2．D [由旋转体的结构特征知，D正确．]3．B [由棱台的结构特征知，B正确．]4．B [中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．]5．2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故答案为2.。

6.2 垂直关系的性质学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简单问题(重点)；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系(重、难点).知识点一 直线与平面垂直的性质定理①线面垂直⇒线线平行(1)垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？提示 共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面. (2)过一点有几条直线与已知平面垂直？⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l⇒a ⊥β(1)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，对吗？提示正确.若设α∩β＝l，aα，bβ，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)如果α⊥β，过β外的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α，对吗？提示错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.题型一直线与平面垂直的性质及应用【例1】如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.【训练1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明因为AB⊥平面PAD，AE平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.题型二平面与平面垂直的性质及应用【例2】如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB.证明(1)∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵平面MOC，OM平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.规律方法(1)证明或判定线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；④若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练2】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明(1)连接BD，∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，又∵G是AD的中点，∴BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD且两平面交于AD，∴BG⊥平面PAD.(2)连接PG，由(1)可知BG⊥AD，∵△PAD是正三角形，G是AD中点，所以PG⊥AD，BG∩PG ＝G，所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.方向1 证明直线和直线平行【例3－1】如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，aα，a⊥AB.求证：a∥l.证明∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.方向2 证明直线和直线垂直【例3－2】如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，∴BC⊥AB.方向3 证明直线和平面垂直【例3－3】 如图所示，正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直，AF ∥BE ，AF ⊥EF ，AF ＝EF ＝12BE .求证：EA ⊥平面ABCD .证明 设AF ＝EF ＝a ，则BE ＝2a . 过A 作AM ⊥BE 于M ， ∵AF ∥BE ，∴AM ⊥AF . 又∵AF ⊥EF ，∴AM ∥EF . ∴四边形AMEF 是正方形. ∴AM ＝a ，EM ＝MB ＝a . ∴AE ＝AB ＝2a .∴AE 2＋AB 2＝EB 2，∴AE ⊥AB .又∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AE 平面ABEF ， ∴EA ⊥平面ABCD .方向4 证明平面和平面垂直【例3－4】 如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，AB ⊥AC ，DC ⊥BC .求证：平面ABD ⊥平面ACD .证明 ∵平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，在平面ABC 内，作AE ⊥BC 于点E ， 如图，则AE ⊥平面BCD .又CD 平面BCD ，∴AE ⊥CD . 又BC ⊥CD ，AE ∩BC ＝E ，AE ，BC 平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ，又AB 平面ABC ，∴AB ⊥CD . 又AB ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，AC 、CD平面ACD.∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.规律方法(1)无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.(2)在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性.课堂达标1.已知平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A.l∥γB.l⊂γC.l与γ斜交D.l⊥γ解析如图，在γ内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥β，因为lβ，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ.答案 D2.设平面α与平面β垂直，交线为l，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么( )A.a与b可能垂直，但不可能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能垂直，也不可能平行解析由题意，当a∥l，l∥b时，a∥b，故A，D错；若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，由面面垂直的性质定理得AB⊥α，∵aα，∴AB⊥a，又a⊥b，AB∩b＝A，∴a⊥β⇒a⊥l.这和a与l不垂直相矛盾.∴不可能a⊥b.故B错，故选C.答案 C3.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个.解析若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题.答案 24.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________.①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.答案①③5.如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.证明因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF 平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.又因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.又因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.课堂小结1.垂直关系之间的相互转化2.平行关系与垂直关系之间的相互转化基础过关1.平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是( )A.平行B.异面C.垂直D.不相交解析因为平面α∥平面β，直线a∥α，所以a∥β或aβ.若aβ，则a⊥b，若a∥β，设过a的平面与平面β的交线为c，则a∥c，由b⊥c知a⊥b.综上知a⊥b.答案 C2.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是( )A.①② .③④C.①④D.②③解析①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.答案 D3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案 C4.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.解析 ∵侧面PAC ⊥底面ABC ，交线为AC ，∠PAC ＝90°(即PA ⊥AC )， ∴PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，∴PB ＝PA 2＋AB 2＝1＋4＝ 5. 答案55.如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点.若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，则线段MN 的长等于________.解析 取CD 的中点G ，连接MG ，NG .因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2， 所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2. 因为平面ABCD ⊥平面DCEF ， 所以MG ⊥平面DCEF ，可得MG ⊥NG ， 所以MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6. 答案66.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧棱BB 1的中点，求证：平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C .证明 因为E 是BB 1的中点， 所以B 1E ＝BE .又因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有A 1B 1＝BC ，∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°， 所以△A 1B 1E ≌△CBE ， 所以A 1E ＝CE .如图，取A 1C 的中点F ，连接EF ，取AC 的中点G ，连接FG ，GB . 在△AA 1C 中，GF ∥AA 1，GF ＝12AA 1，而点E 是BB 1的中点，所以BE 綊12AA 1，所以GF 綊BE ，所以四边形BEFG是平行四边形，所以BG∥EF.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，所以BG⊥AC.又因为平面ABC⊥平面AA1C1C，AC是两平面的交线，所以BG⊥平面AA1C1C，所以EF⊥平面AA1C1C，又因为EF平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面AA1C1C.7.如下图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，又∵AE平面SAB，∴BC⊥AE，又SB⊥AE，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC，又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.又AF平面AEF，∴SC⊥AF.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴SA⊥CD.又AD⊥CD，SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD，又∵AG平面SAD，∴DC⊥AG.由(1)有SC⊥平面AEF，又AG平面AEF，∴SC⊥AG，又SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SCD，又∵SD平面SCD，∴AG⊥SD.能力提升8.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )A.①与② .①与③C.②与③D.③与④解析由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.答案 B9.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有( )A.3对B.4对C.5对D.6对解析∵PA、AD、AB两两垂直，∴平面PAD、平面PAB、平面ABCD两两垂直有3对.又∵BC⊥BA，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB，同理平面PDC⊥平面PAD.答案 C10.设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为________.解析①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有lβ；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在.答案 111.如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.解析取AB的中点D，连接PD，∵PA＝PB，∴PD⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.E，F(E与A，D求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB平面ABC，EF平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD平面ABD，∴BC⊥AD.∵AB⊥AD，BC，AB平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又AC平面ABC，∴AD⊥AC.13.如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点.(1)若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；(2)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点.证明(1)因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，AC ⊥BC，BC平面ABC，所以BC⊥平面PAC，又M，N分别为AE，AP的中点，所以MN∥PE，又PE∥CB，所以MN∥BC，即MN⊥平面PAC，又MN平面CMN，所以平面CMN⊥平面PAC.(2)因为PE∥CB，BC平面ABC，PE平面ABC，所以PE∥平面ABC，设平面PAE∩平面ABC＝l，则PE∥l.又MN∥平面ABC，MN平面PAE，所以MN∥l.所以MN∥PE，因为M是AE的中点，所以N为PA的中点.。