宁夏回族自治区银川市兴庆区银川一中2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

2019-2020学年宁夏银川一中高二（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题（每题5分，共60分）1. 若sin α=−513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B.−125C.512D.−5122. 已知a >b >0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B.1a>1bC.|a|<|b|D.2a >2b3. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ） A.2，4，6，8 B.2，6，10，14 C.5，8，11，14 D.5，10，15，204. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差5. 在下列函数中，同时满足“①在区间(0, π2)上递增，②以2π为周期，③是奇函数”的是（ ） A.y ＝|tan x| B.y ＝cos xC.y ＝tan x2D.y ＝−tan x6. 在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM →=2MA →，CN →=2NA →，则BC →⋅OM →的值为( )A.−15B.−9C.−6D.07. 函数y=1+x+sin xx2的部分图象大致为()A. B.C. D.8. 已知a，b∈R，且a−3b+6＝0，则2a+18b的最小值为（）A.1 4B.4C.52D.39. 执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A.52 B.32C.12D.110. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C =( ) A.π2 B.π3C.π4D.π611. 已知数列{a n }为等差数列，若a11a 10<−1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为（ ） A.21 B.20 C.19 D.1812. 设函数f(x)是定义在(0, +∞)上的单调函数，且对于任意正数x ，y 有f(xy)＝f(x)+f(y)，已知f(12)=−1，若一个各项均为正数的数列{a n }满足f(S n )=f(a n )+f(a n +1)−1(n ∈N ∗)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }中第18项a 18＝（ ） A.136B.9C.18D.36二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知向量a →=(1, 2)，b →=(2, −2)，c →=(1, λ)．若c → // (2a →+b →)，则λ＝________．14. 已知tan (α−5π4)=15，则tan α＝________．15. 若x ，y 满足约束条件{x +2y −5≥0x −2y +3≥0x −5≤0，则z =x +y 的最大值为________．16. 数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n+2＝a n+1+a n ，它的通项公式为a n =√5[(1+√52)n−(1−√52)n ]，根据上述结论，可以知道不超过实数√5(1+√52)14的最大整数为________． 三、解答题：17. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−35,−45)．(1)求sin (α+π)的值；(2)若角β满足sin (α+β)=513，求cos β的值．18. 已知向量a →=(m, cos 2x)，b →=(sin 2x, n)，设函数f(x)=a →⋅b →，且y =f(x)的图象过点(π12, √3)和点(2π3, −2)． (1)求m ，n 的值；(2)将y =f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g(x)的图象．若y =g(x)的图象上各最高点到点(0, 3)的距离的最小值为1，求函数y =g(x)的单调增区间．19. 解关于x 的不等式：ax 2−(a +1)x +1<0(a <1)．20. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin (A +C)=8sin 2B2． (1)求cos B ；(2)若a +c =6，△ABC 的面积为2，求b ．21. 设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)；{b n }是等比数列，公比q >0，其前n 项和为T n (n ∈N ∗)．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． (1)求S n 和T n ；(2)若S n +(T 1+T 2+……+T n )=a n +4b n ，求正整数n 的值．22. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为θ(0<θ<π2)的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝α，（1）请用θ，α来表示矩形ABCD的面积．，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积（2）若θ=π3参考答案与试题解析2019-2020学年宁夏银川一中高二（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题（每题5分，共60分）1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】C二、填空题（每题5分，共20分）13.【答案】 12 14. 【答案】 32 15. 【答案】 9 16.【答案】 377三、解答题： 17.【答案】解：(1)由角α的终边过点P (−35,−45)得sin α=−45， 所以sin (α+π)=−sin α=45．(2)由角α的终边过点P (−35,−45)得cos α=−35， 由sin (α+β)=513， 得cos (α+β)=±1213．由β=(α+β)−α，得cos β=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α， 所以cos β=−5665或cos β=1665． 18. 【答案】解：(1)已知：a →=(m,cos 2x)，b →=(sin 2x,n)， 则：f(x)=a →⋅b →=m sin 2x +n cos 2x ， y =f(x)的图象过点(π12, √3)和点(2π3, −2)，则：{12m +√32n =√3−√32m −12n =−2解得：{m =√3n =1，即：m =√3，n =1(2)由(1)得：f(x)=√3sin 2x +cos 2x =2sin (2x +π6)， f(x)向左平移φ个单位得到：g(x)=2sin(2x+2φ+π6)，设g(x)的对称轴x=x0，最高点的坐标为：(x0, 2)因为到点(0, 3)的距离的最小值为1，则√1+x02=1，解得：x0=0，则g(0)=2，解得：φ=π6，所以g(x)=2sin(2x+π2)=2cos2x．令：−π+2kπ≤2x≤2kπ(k∈Z)则单调递增区间为：[−π2+kπ,kπ](k∈Z)19.【答案】（1）当a＝0时原不等式为：−x+1<0，所以x>1；（2）当a≠0时，不等式为：(ax−1)(x−1)=a(x−1a)(x−1)<0，当a<0时，不等式两边同除以a得(x−1a )(x−1)>0，此时不等式的解为x<1ax>1；当0<a<1时，不等式两边同除以a得(x−1a)(x−1)<0，此时不等式的解为1<x<1a；综上所述：当a<0不等式的解集为(−∞,1a)∪(1,+∞)；当a＝0时原不等式解集为(1, +∞)；当0<a<1时原不等式解集为(1,1a)．20.【答案】解：(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2B2，故sin B=4(1−cos B)．上式两边平方，整理得17cos2B−32cos B+15=0，解得cos B=1（舍去），cos B=1517．(2)由cos B=1517得sin B=817，故S△ABC=12ac sin B=417ac．又S△ABC=2，则ac=172．由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2−2ac cos B =(a+c)2−2ac(1+cos B)=36−2×172×(1+1517)=4．所以b=2．21.【答案】解：(1)设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2−q−2=0．∵q>0，可得q=2．故b n=2n−1，T n=1−2n1−2=2n−1；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1．故a n=n，S n=n(n+1)2；(2)由(1)，可得T1+T2+……+T n=(21+22+⋯+2n)−n=2×(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2．由S n+(T1+T2+⋯+T n)=a n+4b n，可得n(n+1)2+2n+1−n−2=n+2n+1，整理得：n2−3n−4=0，解得n=−1（舍）或n=4．∴n的值为4．22.【答案】在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα在Rt△OAD中，OA=DAtanθ=BCtanθ=sinαtanθ，AB=OB−OA=cosα−sinαtanθ，设矩形ABCD的面积为S，则S=AB⋅BC=sinα(cosα−sinαtanθ)=12sin2α−1tanθsin2α，注意：化简得S=12√1+1tan2θsin(2α+ϕ)−12tanθ，（其中tanϕ=1tanθ）（没有化简到这步不扣分）因为0<θ<π2,0<2α<π，所以tanθ>0，即ϕ为锐角．由（1）知当2α+ϕ=π2时，面积S取得最大值，此时2α=π2−ϕ．所以tan2α=tan(π2−ϕ)=1tanϕ=tanθ，所以2α＝θ．也就是说当α=θ2时面积S取得最大值．第二问题中给出θ=π3，所以α=π6时S max=12√1+1323=√36．。

宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2019—2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“0,0a x >>”是“0x a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.方程x 2+2y 2=4所表示的曲线是( ）A.焦点在x 轴的椭圆B.焦点在y 轴的椭圆 C 。

抛物线 D.圆3。

中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋18＝0上的等轴双曲线的方程为( ）A ．x 2－y 2＝6 B ．x 2－y 2＝－6 C ．x 2－y 2＝18 D ．x 2－y 2＝－18的周长为（），则经过焦点，弦且的两个焦点为已知椭圆2121212228,,)5(125.4ABF F AB F F F F a y a x ∆=>=+A ．10B ．20C ．2错误!D ．4错误! 5。

给出如下四个命题：①均为真命题；”为真命题，则若“q p q p ,∨②;122,122,”则”的否命题为“若则“若-≤≤->>b a b a b a b a ③;1,1,02002””的否定是““≤+∈∃≥+∈∀x x R x x x R x ④.210”的充要条件”是““≥+>xx x 其中不正确的命题是 ( )A 。

①② B.②③C.①③D.③④6。

已知抛物线C ：y 2=8x 焦点为F ,点P 是C 上一点,O 为坐标原点,若△POF 的面积为2，则｜PF ｜等于( ) A.25B 。

3C 。

27 D 。

4的取值范围是（）轴上的椭圆，则实数表示焦点在如果方程a x a y a x 16.7222=++3.>a A 2.-<a B 23.-<>a a C 或 263.-<<->a a D 或的取值范围是（）”是真命题，则对“k kx kx R x 01,.82<--∈∀04-.≤≤k A 04-.<≤k B 04-.≤<k C 04.<<-k D （）两点，则于的直线交抛物线且倾斜角为的焦点，过为抛物线设==︒AB B A C F x y C F ,303:.92A 。

2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i2．，则f′（x0）等于（）A．2B．1C．D．03．若实数a＝+，b＝2，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．不确定4．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）5．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法B．①﹣综合法，②﹣分析法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法6．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣47．若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个9．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．204811．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）12．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）二、填空题（共4小题）.14．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为．15．（+x）dx＝．16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2．问该商品零售价定为元时毛利润最大（毛利润＝销售收入﹣进货支出）．17．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则+的最小值为．三、解答题（共7小题，共70分）18．求函数f（x）＝x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．19．设x＞0，y＞0，且x+y＝1，求证（1+）（1+）≥9．20．已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．22．设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．23．已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．24．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（1）求a，b的值．（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i 解：复数＝＝2﹣i，故它的共轭复数为2+i，故选：A．2．，则f′（x0）等于（）A．2B．1C．D．0解：∵，∴＝f′（x0）＝故选：C．3．若实数a＝+，b＝2，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．不确定解：∵＝10+2，＝20又2＜10，∴10+2＜20，即＜∴+＜2，即a＜b故选：A．4．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）解：函数f（x）＝（x﹣3）e x，∴f′（x）＝e x+（x﹣3）e x＝（x﹣2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝2；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴f（x）的单调增区间是（2，+∞）．故选：C．5．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法B．①﹣综合法，②﹣分析法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：B．6．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．7．若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵两个球体的形状相同，大小不一定相同，故两个球体一定属于相似体；∵两个长方体的形状不一定相同，故两个长方体不一定属于相似体；∵两个正四面体的形状，一定相同，故两个正四面体一定属于相似体；∵两个正三棱柱的形状不一定相同，故两个正三棱柱不一定属于相似体；∵两个正四棱锥的形状不一定相同，故两个正四棱锥不一定属于相似体；故一定属于相似体的个数是2个，故选：C．9．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：C．10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．2048解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．故选：A．11．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．12．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球解：因为2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9，4+5＝9，4+6＝10，5+6＝11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3＝6，2×4＝8，2×5＝10，2×6＝12，3×4＝12，3×5＝15，3×6＝18，4×5＝20，4×6＝24，5×6＝30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），则函数f（x）关于直线x＝3对称，c＝e ln4＝4，f（c）＝f（4）＝f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若＝，b＝log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．解：因为复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，可得：，解得：m∈（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．15．（+x）dx＝．解：（+x）dx＝dx+xdx，其中dx表示个单位圆，其面积为×π×12＝，xdx＝（x2）＝0，∴（+x）dx＝，故答案为：．16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2．问该商品零售价定为30元时毛利润最大（毛利润＝销售收入﹣进货支出）．解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L（p）＝pQ﹣20Q＝Q（p﹣20）＝（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）＝﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）＝﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）＝0，解得p＝30或p﹣﹣130（舍去）．此时，L（30）＝23000．因为在p＝30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故答案为：3017．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则+的最小值为5+2．解：y＝ln（x+b）的导数为y′＝，由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，∵a、b为正实数，则+＝（a+b）（+）＝2+3++≥5+2＝5+2．当且仅当a＝b，即a＝，b＝3﹣时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．求函数f（x）＝x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．解：∵（1，2）为曲线f（x）＝x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k＝f′（1）＝（3x2﹣2x+1）|x＝1＝2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x．∴y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB＝×2×4＝4，g（x）＝x2围与直线x＝2，x轴围成的区域的面积S＝x2dx＝x3＝，∴y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形的面积为：S′＝S△AOB﹣S＝4﹣＝．19．设x＞0，y＞0，且x+y＝1，求证（1+）（1+）≥9．【解答】证明：要证（1+）（1+）≥9成立，﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为x＞0，y＞0，且x+y＝1，所以y＝1﹣x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）只需证明（1+）（1+）≥9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即证（1+x）（2﹣x）≥9x（1﹣x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即证2+x﹣x2≥9x﹣9x2，即证4x2﹣4x+1≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即证（2x﹣1）2≥0，此式显然成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）20．已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．解：（1）f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），令f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）＝0，解得x＝2，x＝﹣2，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增16单调递减﹣16单调递增∴f（x）极大值为f（﹣2）＝16，f（x）极小值为f（2）＝﹣16；（2）由（1）知，f（﹣2）＝16，f（2）＝﹣16，又f（﹣3）＝9，f（3）＝﹣9∴f（x）最大值为f（﹣2）＝16，f（x）最小值为f（2）＝﹣16．21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝1+4＝5，f（3）＝1+4+8＝13，f（4）＝1+4+8+12＝25，∴f（5）＝1+4+8+12+16＝41．（2）∵f（2）﹣f（1）＝4＝4×1，f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4，由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（n）﹣f（n﹣1）＝4（n﹣1），f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n﹣2）﹣f（n﹣3）＝4•（n﹣3），…f（2）﹣f（1）＝4×1，∴f（n）﹣f（1）＝4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．（3）当n≥2时，＝＝（﹣），∴+++…+＝1+（1﹣+﹣+…+﹣）＝1+（1﹣）＝﹣．22．设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x＝﹣处取得极小值，且为﹣，由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）．23．已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】（I）解：函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）＝f′（x）＝2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）＝＝，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）＝2（x﹣1﹣lnx﹣a）＝0，解得a＝x﹣1﹣lnx，令u（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2＝（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）＝1＞0，u（e）＝2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）＝0，令a0＝x0﹣1﹣lnx0＝v（x0），其中v（x）＝x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）＝1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0＝v（1）＜a0＝v（x0）＜v（e）＝e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a＝a0时，有f′（x0）＝0，f（x0）＝u（x0）＝0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）＝0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）＝0；又当x∈（0，1]，f（x）＝﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．24．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（1）求a，b的值．（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【解答】解；（1）f′（x）＝3ax2+b，∵函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．∴f′（2）＝12a+b＝0，f（2）＝8a+2b+c＝c﹣16．解得a＝1，b＝﹣12．（2）由（1）可得：f（x）＝x3﹣12x+c，f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），∴x＝﹣2时，f（x）有极大值28，∴（﹣2）3﹣12×（﹣2）+c＝28，解得c＝12．∴f（x）＝x3﹣12x+12，列出表格：x[﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2） 2 （2，3] f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：在x＝2处取得极小值12﹣16＝﹣4．又f（﹣3）＝21．∴f（x）在[﹣3，3]上的最小值是﹣4．。

宁夏银川一中2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题(每小题5分,共60分)1．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝是（ ）A ．:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥B ．:p x R ⌝∃∈，210x x ++≠C ． :p x R ⌝∀∈，210x x ++>D ．:p x R ⌝∃∈，210x x ++< 2．为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革。

学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性 ( ) A ．都相等，且为181 B ．不全相等 C ．都相等，且为92350 D ．都不相等 3．“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的 ( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某同学10次数学检测成绩统计如下：95,97,94,93,95,97, 97,96,94,93，设这组数的平均数为a ，中位数为b ，众 数为c ，则有( )A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4, 则输出s 的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．106．若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1422=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．127．已知双曲线12222=-by a x 的离心率为513，则它的渐近线为（ ）A ．513y x =±B ．135y x =±C ．125y x =±D ．512y x =±8．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示 的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分 且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均 成绩的概率为（ ） A ．53 B ．95C ．52D ．439．已知曲线122=+by a x 和直线01=++by ax （b a ,为非零实数）在同一坐标系中，它们的图象可能为（ ）10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(3,2)A，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．D ．11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对),(y x ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对),(y x 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.假如统计结果是56=m ，那么可以估计π≈（ ） A ．2578 B ．1756C ．722D ．928 12．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．12B 1C ．12D ．1 二、填空题（每小题5分，共20分）13．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是__________.14．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是8，标准差是2，则=xy __________.15．已知点F 1、F 2分别是椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 2作倾斜角为π4的直线交椭圆于A 、B 两点，则△F 1AB 的面积为__________.16．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线与抛物线交于B A ,两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦AB 中点的轨迹方程为__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分）在平面直角坐标系中,记满足3,3≤≤q p 的点()q p ,形成区域A .(1)若点()q p ,的横、纵坐标均在集合{}5,4,3,2,1中随机选择，求点()q p ,落在区域A 内的概率(2)点()q p ,落在区域A 内均匀出现，求方程022=+-q x x 有两个不相等实数根的概率18.（12分）已知命题p ：方程2212x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：R x ∈∀,不等式22230x mx m +++>恒成立.（1）若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 19．（12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（x 元）试销1天，得到如表单价x （元）与销量y （册）数据：(1)根据表中数据，请建立y 关于x 的回归直线方程：(2)预计今后的销售中，销量y （册）与单价x （元）服从（l ）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，515160i ii x y==∑，5212010i i x ==∑20．(12分)2018年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有680人．(1)求频率分布于直方图中a 的值，及评分等级不满意的人数；(2)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由. ⎪⎭⎫ ⎝⎛=100: 满意程度的平均分满意率注21．(12分)抛物线x y 42=的焦点为F ，斜率为正的直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点，满足FB AF 2=．(1)求直线l 的斜率；(2)过焦点F 与l 垂直的直线交抛物线于D C 、两点，求四边形ABCD 的面积． 22．(12分)已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.高二期中考试理科数学参考答案一、选择题：(每小题5分，共60分)13.7 14. 60 15. 34 16. )1(22-=x y 三、解答题：17．试题解析：（1）根据题意，点（p ，q ），在|p|≤3，|q|≤3中，即如图所在正方形区域， 其中p 、q 都是整数的点有6×6=36个，点M （x ，y ）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x 、y 都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3， 点M （x ，y ）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点， 所以点M （x ，y ）落在上述区域的概率416691=⨯=p （2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36； 若方程022=+-q x x 有两个实数根，则有△=4-4q>0， 解可得q<1，表示q=1下方的部分，其面积为24，即方程022=+-q x x 有两个实数根的概率，3236242==P 18．解：（Ⅰ）因为对任意实数x 不等式22230x mx m +++>恒成立， 所以0)32(442<+-=∆m m ，解得　31<<-m ，．…………2分 又“q ”是真命题等价于“q ”是假命题，．…………3分所以所求实数m 的取值范围是(][)∞+-∞-，31, ．…………4分 （Ⅱ）201222<<=+m x my x 轴上的椭圆，所以表示焦点在因为方程，……6分恰有一真一假”为真命题，等价于”为假命题，““q p q p q p ,∨∧，………7分⎩⎨⎧≥-≤<<3120m m m q p 或假时，真当，无解…………9分32,01312,0<≤≤<-⎩⎨⎧<<-≥≤m m m m m q p 或，则或真时，假当，…………11分 (][)3,20,1 -的取值范围是综上所述，实数m ．…………12分19.解：（1）1819202122205x ++++==，6156504845525y ++++==515160i ii x y==∑，5212010i i x ==∑1221ˆni ii nii x y nx ybxnx =-=-=-∑∑2516052052404201052010-⨯⨯-===--⨯，ˆˆ52(4)20132ay bx =-=--⨯= 所以y 对x 的回归直线方程为：ˆˆ4132yx =-+． （2）设获得的利润为W ，2(12)41801584W x y x x =-=-+-，因为二次函数241801584W x x =-+-的开口向下， 所以当22.5x =时，W 取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．20（1）由频率分布直方图知，0.0350.0200.0140.0040.0020.075,++++= 由100.075)1a ⨯+=（解得0.025a =， 设总共调查了N 个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N ⨯⨯+=，解得2000N =人. 不满意的频率为10(0.0020.004)0.06⨯+=，所以共有20000.06120⨯=人，即不满意的人数为120人..（2）所选样本满意程度的平均得分为：450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，估计市民满意程度的平均得分为80.7，所以市民满意指数为80.70.8070.8100=>， 故该项目能通过验收.21.（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设()11,A x y ， ()22,B x y ，所以124y y m +=，124y y =-．①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得．812=m与又 42,0=∴>m m 所以直线AB 的斜率是22=AB k ． (2)CD AB ⊥∴直线CD 的斜率42-=CD k 直线CD 的方程)1(42--=x y ，将直线CD 的方程与抛物线的方程联立,消去y 得：01342=+-x x 设()),(,,4433y x D y x C3443=+x x 3623443=+=++=∴p x x CD由（1）知 2421==+m y y 2522422)(2121=+⨯=++=+∴y y m x x 2922521=+=++=p x x AB 8136292121=⨯⨯=∙=CD AB S ABCD22.设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+ 故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32。