2020学年度辽宁省鞍山市高一数学第一学期期末考试试卷
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辽宁省鞍山市2020学年度高一数学第一学期期末考试试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分．第Ⅰ卷1至2页和第Ⅱ卷3至4页. 共150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于A ．{}|34x x x >或≤B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x <≤D ．{}|21x x --<≤2．给出下列三个函数：①()1+=x x f ，②()xx f 1=，③()2x x f =中在区间()+∞,0上递增的函数有A ．0个B ．1个C ．2 个D ．3个3．右图为一棱长为1的正方体，下列各点在正方体外的是 A ．（1，0，1） B ．（52，51-，51）C ．（51，21，21）D ．（1，21，31） 4．已知点()3,1-A ，()3,1-B ，则直线AB 的斜率是A ．31B ．31- C ．3D ．3-5．一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形（如右图），如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为A ．61 B ．31 C ．21 D ．16．0.70.52log 0.6,log0.5,0.8a b c -===的大小关系是 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<A BC D MN P A 1B 1C 1D 1yxA ． OyxB ．OyxC ．OyxD ．Oxzy7．设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间 A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）8．函数22(,2]()log (2,)x x f x x x ⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足()4f x =的x 的值是A ．2B ．16C ．2或16D ．2-或169．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在（—∞，0]上是减函数且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是 A ．（—∞，2）B ．（2，+∞）C ．（—∞，—2） （2，+∞）D ．（—2，2）10．圆022222=--++y x y x 和圆012422=++-+y x y x 的公切线的条数为 A ．1B ．2C ．3D ．411．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．106B ．206C ．306D ．40612．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N ，，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知直线03=-+y x l ：，则点()11，-A 关于l 的对称点的坐标为 ． 14．函数x x f a log )(=的反函数为)(1x fy -=，则=--)2log (1a f．15．若直线10ax y ++=与圆22(1)(2)2x y -++=相切，则实数=a ．A 'GFEDC BA16．如图,正ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于G ,已知ED A '∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:①过动点'A 作平面ABC 上的垂线，垂足一定在线段AF 上; ②恒有平面BCED GF A 平面⊥'; ③三棱锥FED A -'的体积有最大值; ④异面直线E A '与BD 不可能垂直. 其中正确的命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）如图，正三棱锥S ABC -的侧棱长为a ，底面边长为a 2，在侧棱,,SA SB SC 上分别取,,A B C '''三点,使12SA SA '=, 13SB SB '=, 14SC SC '=, 过,,A B C '''三点作截面将棱锥分成上、下两部分, 求这两部分的体积比．18、(本小题满分12分)某学校拟建一块周长为400m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？19、(本小题满分12分)已知)0()(2≠+=x xax x f ，讨论)(x f 的奇偶性，并说明理由。
20、(本小题满分12分)如图, 在直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，5AB =,4=BC ，41=AA ，点D 是AB 的中点，（1）求证：1BC AC ⊥； （2）求证：11//CDB AC 平面；SC'B'A'CBA— 3 —21、(本小题满分12分)已知圆C ：4)3(22=-+y x ，一动直线l 过)0,1(-A 与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N ．（Ⅰ）求证：当l ⊥m 时，l 过圆心C ；（Ⅱ）当32=PQ 时，求直线l 的方程．22、(本小题满分14分）设函数⎩⎨⎧≥<+-+-=.1,log .1,48)14()(2x x x a x a x x f a（Ⅰ）当21=a 时，求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）若函数)(x f 是（-∞，+∞）上的减函数，求实数a 的取值范围.参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分.DCBDA DCCDB BB二、填空题：每小题4分，满分16分.13．(2，4) 14．2215．－1 16．①②③ 三、解答题 17．解:121=⋅'⋅'=∆''∆SC CB C S B S S S SBC C B S ………….. 4’ 设点A '到平面SBC 的距离为h ', A 点到平面SBC 的距离为h ．12SA SA '=, 12h h '∴=． ………….. 8’C QP O Axy·· lm1131243SB C S A B C A SB C S ABC A SBCSBC S h V V V V S h ''∆''''''----∆'⋅===⋅． …………..10’故三棱锥被分成的两部分的体积比为1:23．…………..12’18．解：设中间区域矩形的长、宽分别为x 、y ，中间的矩形区域面积为S ．….2’则半圆的周长为2yπ，因为操场周长为400，所以224002yx π+⨯=，即 2400x y π+=．400π（0<x<200,0<y<）………….. 4’∴()()[]ππππ200001001000022002240022≤--=-=-⋅==x x x x x xy S ，..……..8’ 当100=x 时有最大值，此时π200=y ．答：略． …………..12’19．解: 当0=a 时，2)(x x f =，对),0()0,(+∞⋃-∞∈x ，恒有)()(x f x f =- )(x f ∴为偶函数………….. 6’当0≠a 时 a f a f -=-+=1)1(,1)1( 02)1()1(02)1()1(≠=--≠=-+∴a f f f f)1()1()1()1(-≠--≡∴f f f f 且此时，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数…………..12’20．证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -，∵底面三边长3=AC ，5=AB ，4=BC ∴BC AC ⊥，………….. 2’又直三棱柱111C B A ABC -中 1CC AC ⊥， 且C CC BC =1111B BCC CC BC 平面，⊂∴11B BCC AC 平面⊥………….. 4’ 而111B BCC BC 平面⊂∴1BC AC ⊥； ………….. 6’ （Ⅱ）设1CB 与B C 1的交点为E ，连结DE ，../………… 8’∵ D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，∴ 1//AC DE ， …………..10’ ∵ 1CDB DE 平面⊂，11CDB AC 平面⊄，∴11//CDB AC 平面 ...12’ 21．解：（Ⅰ） l 与m 垂直，且31-=m k ，3=∴l k ，又3=AC k ， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．……………..4’（Ⅱ）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意 ……………..6’ ②当直线l 与x 轴不垂直时, 设l 为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ，因为32=PQ ，所以134=-=CM ，则由11|3|2=++-=k k CM ，得34=k……………..10’∴ 直线l ：0434=+-y x ． 从而所求的直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x ……………..12’22．解：（Ⅰ） 21=a 时, ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,log .1,3)(212x x x x x x f当1<x 时,x x x f 3)(2-=是减函数,所以2)1()(-=>f x f ,即1<x 时,)(x f 的值域是),2(+∞-.……………..3’当1≥x 时,x x f 21log )(= 是减函数,所以0)1()(=≤f x f ,即1≥x 时,)(x f 的值域是]0,(-∞………….. 5’ 于是函数)(x f 的值域是R =+∞--∞),2(]0,(………….. 6’（Ⅱ） 若函数)(x f 是（-∞，+∞）上的减函数,则下列①②③三个条件同时成立:①当1<x ,48)14()(2+-+-=a x a x x f 是减函数, 于是,1214≥+a 则.41≥a………….. 8’ ②1≥x 时,x x f 21log )(= 是减函数,则.10<<a………….. 10’ ③0481)14(12≥+-⋅+-a a ,则.31≤a ………….. 12’ 于是实数a 的取值范围是]31,41[.………….. 14’。
