数学：《1.2-3-空间几何体的直观图》课件(必修2)

思考3:画一个水平放置的平面图形的直 观图，关键是确定直观图中各顶点的位 置，我们可以借助平面坐标系解决这个 问题. 那么在画水平放置的直角梯形的 直观图时应如何操作？
y
D
C
y′ C′
D′
A
Bx
A′
B′ x′
思考4:你能用上述方法画水平放置的正 六边形的直观图吗？
y FM E
x
A
o
D
BN C
y′
Hale Waihona Puke F′ M E′A′
o′
D′ x′
B′ N C′
F′
E′
A′ D′
B′
C′
思考5:上述画水平放置的平面图形的直 观图的方法叫做斜二测画法，你能概括 出斜二测画法的基本步骤和规则吗？
（1）建坐标系，定水平面；
（2）与坐标轴平行的线段保持平行；
（3）水平线段等长，竖直线段减半.
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图，如果把一个圆水平放 置，看起来像什么图形？在实际画图时 有什么办法？
知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置，从适当的 角度观察，给人以平行四边形的感觉， 如图.比较两图，其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化？哪些没 有发生变化？
思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 观图如下，比较两图，其中哪些线段之 间的位置关系、数量关系发生了变化？ 哪些没有发生变化？
正视图 侧视图 俯视图
z
y′
A′
B′
o′
x′
y
A
oB x
理论迁移
例 如图，一个平面图形的水平放 置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它 的底角为45°，两腰和上底边长均为1， 求这个平面图形的面积.

A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴， 而∠x′O′y′＝45°或135°. 【答案】C
4.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm， 若AB∥x轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________，若AB∥y 轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________.
【解析】画直观图时，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图 中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
【答案】4 cm 2 cm
题型探究 类型一 画水平放置的平面图形的直观图 【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中
点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′， 使∠x′O′y′＝45°.
3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若 O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.
【解析】由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且 OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10. 【答案】10
4.如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮 挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图.
[课堂小结]
1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻
找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，
从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者
(3)画正四棱锥的顶点：在Oz上取点P，使PO′等于三视图中 相应的高度； (4)成图：连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D， 整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示.

错因分析：坐标轴上的点 O，B，C 画得正确，点 A 的直观位 置画错了． 应该依据点 A 到 y 轴的距离不变， 到 x 轴的距离减半的 方法确定 A′的位置．
正解：如图所示，作∠C′O′B′＝45° ，其中 O′B′是水平 的， O′B′＝4， O′D′＝3， O′C′＝1， 过点 D′作∠B′D′A′ ＝135° ，使 A′D′＝1，顺次连接 O′A′，A′B′，B′C′， 所得四边形即为四边形 OABC 的直观图．
2．由下列几何体的三视图画出直观图．
【解析】 (1)画轴．画 x′轴、y′轴和 z′轴，使∠x′O′y′＝45° (或 135° )，∠x′O′z′＝90° ，如图①所示． (2)画底面．按 x′轴、y′轴画正五边形的直观图 ABCDE. (3)画侧棱．过点 A，B，C，D，E 分别作 z′轴的平行线，并 在这些平行线上分别截取 AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都等 于正五棱柱的侧棱长． (4)成图．顺次连接 A′，B′，C′，D′，E′，加以整理， 去掉辅助线，改被遮挡部分为虚线．如图②所示．
误区解密 因不会作图而出错 【例 4】 画出如图四边形 OABC 的直观图(图中数据已经给出)．
错解： 以 O 为原点， OB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy， 如图①，作∠C′O′B′＝45° ，其中 O′B′是水平的，O′B′ ＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过 D′作∠B′D′A′＝90° ，使 A′D′＝1，顺次连接 O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形 O′A′B′C′即为四边形 OABC 的直观图，如图②.
2．立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面 x′O′y′ 垂 直 的 轴 O′z′ ， 且 平 行 于 O′z′ 的 线 段 长 度 ____________．其他同平面图形的画法．

Z
y
D QC
MO
Nx
AP B
3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
Z
D
A
C y
B
D
M
Q NC
O
x
AP B
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
y
CEG
A O B
x
DF H
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
知识探究（二):空间几何体的直观图的画法
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
xOz 90 .
Z
y
O
x
2画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
轴上取线段PQ,使PQ=1.5cm;分别过点M 和N作y轴的平行
线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
S
C
A
B
y C
M
A
o B xA
C B
画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
练习：已知一个几何体的三视图如下， 这个几何体的结构特征如何？试用斜二 测画法画出它的直观图.
正视图 侧视图 俯视图
z
y′
A′