第2章 傅里叶变换.

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2

r ' J 0 (r ' )dr'

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)

( )
∑ x n e n= M
M
()
j ωn
= 0
(2) 序列x(n)不满足绝对可和条件，但满足平方可和条件：
n = ∞
∑ x(n)
∞
2
<∞
则
n = ∞
∑
∞
x(n )e jωn均方收敛于X e jω ，即
( )
j n
M →∞ －π
lim
∫
π
X e jω －
( ) ∑ x(n)e ω
M n=M 2
∑e
j ωn
jω ( M 1) 1 1 e jMω 1 sin ωM / 2 2 = = e jω sin ω / 2 M 1 e M 1 sin ωM / 2 jω H (e ) = M sin ω / 2
H (e jω ) = ( M 1) ω + arg sin ωM / 2 . arg sin ω / 2 2
ω < ωc π ≤ ω ≤ π .
其它
sin (ωc n ) hLP ( n ) = πn
∞ < n < ∞
h[n ]
0
图中 , ω c = π / 3 .
可见，1. 理想低通滤波器是非因果的。 1 2. hLP ( n )以 趋于零，但hLP ( n ) 不是绝对可和的序列。 n
理想LPF的h[n]是无穷长的，即对应IIR 滤波器， 但无法实现。 FIR 滤波器 → IIR 滤波的近似 结果 :"Gibbs 现象" hM [n] = ∑ h[k ]δ [n k ]
序列h(n )绝对可和，级数
n
∑ h(n )e ＝＝
∞
∞
j ωn

2.4快速傅里叶变换2.4.1快速傅里叶变换（FFT）算法原理2.4.2 FFT算法2.4.3其它FFT算法2.4.4 Chirp-z变换2.4.5 Hartley变换（DHT）2.4.6付立叶变换总结2.4.7线性调频z变换及其在电力谐波分析中的应用2.4快速傅里叶变换2.4.1快速傅里叶变换（FFT ）算法原理 1） 离散傅里叶变换（DFT ）的运算量z 有限长序列x (n )的离散傅里叶变换定义为：[]∑−===10)()()(N n nkN W n x n x DFT k X )1,1,0(−=N k LNj N eW π2−=，一般x (n )与均为复数。

N W 其中z 每计算一个X (k )的值，必须要进行N 次复数相乘和1−N 次复数相加。

z 由于X (k)一共有N 个点，所以全部计算需要次复数相乘和次复数相加。

2N )1(−N N 2N z 由于每一个复数相乘需要4次实数相乘和2次实数相加。

所以全部计算需要4个实数相乘和次实数相加。

计算量与成正比。

2N )12(2−N N z 例如设每次乘法需要100nS ，则1000个点的计算约需要0.1S 。

2） 系数计算的化简nk Nj nk NeW π2−=z 系数是一个周期函数，具有周期性和对称性。

nkN nk N nk N j nN Nj k N n Nj k N n NW W eeeW−−−−−−−−=×===1)(22)(2)(πππzkN k N k Nj N N j N k Nj N k NW W e e e W−=×−===−−+−+1222)2(2)2(πππz3） DFT 分组计算原理z 设有序列x (n )，其长度为。

则可以将x (n )分为偶数项与奇数项两组，即：M N 2=12 , ,1 ,0 )()12()()2(21−=⎩⎨⎧=+=N r r x r x r x r x L 则有：[]∑∑∑∑∑∑∑−=−=−=+−=−=−=−=+=++=+===12212021120)12(12021011)()( )12()2( )()( )()()(N r rk Nk NN r rk NN r k r NN r rk Nn N n nkNn N n nk NN n nk NWr x W Wr x Wr x Wr x W n x Wn x W n x n x DFT k X 为奇数为偶数nN n N jn NjnN W eeW 222222===−−ππ考虑到有：∑∑−=−=+=+=120212212021)()()()()(N r kN rk N N r k N rk N k X W k X W r xWWr x k X 因此有：其中与分别为和的)(1k X )(2k X )(1r x )(2r x 2N 点的DFT（以N/2为周期）：∑∑−=−===1202120211)2()()(N r rk N N r rkN Wr x Wr x k X∑∑−=−=+==1202120222)12()()(N r rk N N r rk N Wr x Wr xk Xrk N k N r N W W 2)2(2=+z 考虑到：，有：∑∑−=−=+==+1201120)2(211)()()2(N r rkN N r k N r N Wr x Wr x k N X)()2(11k X k N X =+即： )()2(22k X k N X =+同理有：kN k N N N k N N W W W W −==+2)2(z 考虑到：，有：)()()(21k X W k X k X k N +=12 , ,1 ,0−=N k L ， )2()2( )2(2)2(1k N X W k N X k N X k N N +++=++，)()(21k X W k X k n −=12 , ,1 ,0−=N k L4） 分组DFT 的计算量4)2(22N N =2N z 每一个点的DFT 只需要次复数相乘运算；)2(222N N =2N 两个点的DFT 需要次复乘；点的DFT 合成N 点DFT 时，在蝶形结前需要2N 2N 次复乘； 两个2)1(2222N N N N N ≈+=+总共需要次复乘。

常用信号傅里叶变换（ ） 升余弦脉冲 常用信号傅里叶变换（4）-升余弦脉冲 傅里叶变换
f(t)
πt 1 + cos( ) Ts
Ts t
ωTs Sa ( ) 2 ↔ 2Ts ωTs 2 1− ( ) F(ω) π
0
- Ts
0
f(t)
0
ωs t Sa ( ) ωs 2 ↔ 1 + cos( πω ) π 1 − ( ωs t ) 2 ωs π
1 P = s (t ) = lim T →∞ T
2
∫
T /2
−T / 2
s 2 (t ) d t
能量信号和功率信号 为有限值， 称为能量信号 若E为有限值，则 s(t)称为能量信号； 为有限值 称为能量信号； 为有限值， 称为功率信号 若E→∞，P为有限值，则 s(t)称为功率信号。 ， 为有限值 称为功率信号。
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 傅里叶变换 分析变换1
信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换 傅里叶
∞
F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
-∞ ∞
F ( f ) = ∫ f (t )e − j2πft dt = F (ω ) ω = 2 πf
-∞
1 ∞ jω t f (t ) = ∫-∞ F (ω )e dω 2π = ∫ F ( f )e
F (ω ) = 2 π ∑ Fnδ (ω − nω s )
n =-∞
∞
周 T,ωs = 2π / T 期
安庆师范学院物理与电气工程学院 8
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 ） 常用周期信号傅里叶级数（1）理想单位冲击函数序列 傅里叶级数
df (t ) ↔ ( jω ) F (ω ) dt