高一数学一元二次不等式解法经典例题

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知识改变命运 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a1(xa)(x)01a

[

]

AaxBxa．＜＜．＜＜11aa

CxaDxxa．＞或＜．＜或＞xaa11

分析比较与的大小后写出答案． a1a

解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a1aaxA11aa

例有意义，则的取值范围是．2 xx2x6

分析 求算术根，被开方数必须是非负数．

解 据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．

例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．

解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知 精品word 你我共享

知识改变命运 baa()()1211122×得

ab1212，．

例4 解下列不等式

(1)(x－1)(3－x)＜5－2x

(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2

(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)

(4)3x231325113122xxxxxx＞＞()()

分析 将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．

答 (1){x|x＜2或x＞4}

(2){x|1x}≤≤32

(3)

(4)R

(5)R

说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．

例不等式＋＞的解集为5 1x11x

[ ]

A．{x|x＞0} 精品word 你我共享

知识改变命运 B．{x|x≥1}

C．{x|x＞1}

D．{x|x＞1或x＝0}

分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．

解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞， 1x000111122xxxxx

∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．

说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．

例与不等式≥同解的不等式是6 0xx32

[ ]

A．(x－3)(2－x)≥0

B．0＜x－2≤1

C．≥230xx

D．(x－3)(2－x)≤0

解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()xxx32020

故排除A、C、D，选B．

解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x320x3(x3)(2x)02x3x

两边同减去2得0＜x－2≤1．选B．

说明：注意“零”． 精品word 你我共享

知识改变命运 例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x1x2}aaxx1

[

]

Aa BaCa Da．＜．＞．＝．＝－12121212

分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()axx111

[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}

可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a10a12a1112a

答 选C．

说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．

例解不等式≥．8 237232xxx

解 先将原不等式转化为

3723202xxx≥

即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，2123212314782222xxxxxxxx002xx12(x)022

∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，

即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．

说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．

例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a精品word 你我共享

知识改变命运 ＋2

≤，若，求的范围．0}BAa

分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关

系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．BAa

解 易得A＝{x|1≤x≤4}

设y＝x2－2ax＋a＋2(*)

(1)BBA0若＝，则显然，由Δ＜得

4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．

(2)B(*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：

应有≤≤≤≤从而{x|xxx}{x|1x4}12

12a12042a4a2014 12a22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤aa22187

综上所述得的范围为－＜≤．a1a187

说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．

例10 解关于x的不等式 精品word 你我共享

知识改变命运 (x－2)(ax－2)＞0．

分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论．

解 1° 当a＝0时，原不等式化为

x－2＜0其解集为{x|x＜2}；

2 a02(x2)(x)0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22aa

{x|2ax2}＜＜；

3 0a12(x2)(x)0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22aa

{x|x2x}＜或＞；2a

4° 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；

5 a12(x2)(x)0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22aa

{x|xx2}＜或＞．2a

从而可以写出不等式的解集为：

a＝0时，{x|x＜2｝；

a0{x|2ax2＜时，＜＜｝；

0a1{x|x2x}＜＜时，＜或＞；2a

a＝1时，{x|x≠2}；

a1{x|xx2}＞时，＜或＞．2a 精品word 你我共享

知识改变命运 说明：讨论时分类要合理，不添不漏．

例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．

分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：

解法一 由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：

－＝α＋β，＝α·β．baca

即＝－α＋β＜，＝α·β＞．baca()00

∵a＜0，∴b＞0，c＜0．

又×，baacbc

∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②bccaac(1)111

对＋＋＜化为＋＋＞，cxbxa0xx022bcac

由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111xx002bcac

∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．xx0cxbxa0{x|xx}22bcac11

解法二 ∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程． 精品word 你我共享

知识改变命运 且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，

∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cxbxa0{x|xx} 211

说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．

例解关于的不等式：＜－∈．12 x1a(aR)xx1

分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．

解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00xxaxax111

进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0．

(1)当a＞0时，不等式化为

(x)(x1)01{x|a1ax1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；aaaa11

(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；

(3)a0(x)(x1)01{x|x1x}＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．aaaaaa111

综上所述，原不等式解集为：

当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a0{x|a1ax1}a0{x|x1}a0{x|xx1}aa1

例13 (2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．

分析 可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元精品word

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知识改变命运 二次不等式．

由可解得＜－或＞，．(1)x1x4(2)

答 填{x|x＜－1或x＞4}．

例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则

[ ]

A．(UA)∩B＝R

B．A∪(UB)＝R

C．(UA)∪(UB)＝R

D．A∪B＝R

分析 由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即

A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即

B＝{x|5－a＜x＜5＋a}

∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6

∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．

答 选D．

说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查

高者未必贤，下者未必愚克