三角函数的图象及其应用

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

（一）知识回顾

1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.

如下表所示.

x

ωx＋φ

y＝

Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A

0

2.函数y＝sin

x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

方法一

画出y＝sin

x的图象

步骤1

__________________________ ⇓

得到y＝sinx＋φ的图象 步骤2

__________________________ ⇓

得到y＝sinωx＋φ的图象 步骤3

__________________________ ⇓

得到y＝Asinωx＋φ的图象 步骤4

方法二

画出y＝sin x的图象 步骤1

______________________________ ⇓

得到y＝sin ωx的图象 步骤2

______________________________ ⇓

得到y＝sinωx＋φ的图象 步骤3

______________________________ ⇓

得到y＝Asinωx＋φ的图象 步骤4

以上两种方法的区别：方法一先平移再伸缩；方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.

（二）例题讲解

题型一 三角函数的图象及变换 例1 已知函数y＝2sin2x＋π3.

(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.

(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sin X.

列表：

X －π6 π12 π3 7π12

5π6

X 0 π2

π 3π2 2π

y＝sin X 0 1 0 －1

0

y＝2sin2x＋π3 0 2 0 －2

0

描点连线，得图象如图所示：

(3)将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin 2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin2x＋π3的图象．

变式1 设f(x)＝12cos2x＋3sin xcos x＋32sin2x (x∈R)．

(1)画出f(x)在－π2，π2上的图象；

(2)求函数的单调增减区间；

(3)如何由y＝sin x的图象变换得到f(x)的图象？

解 y＝12·1＋cos 2x2＋32sin 2x＋32·1－cos 2x2

＝1＋32sin 2x－12cos 2x＝1＋sin2x－π6.

(1)(五点法)设X＝2x－π6，

则x＝12X＋π12，令X＝0，π2，π，3π2，2π，

于是五点分别为π12，1，π3，2，7π12，1，5π6，0，13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．

(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，

得单调增区间为－π6＋kπ，kπ＋π3，k∈Z.

由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，

得单调减区间为π3＋kπ，kπ＋5π6，k∈Z.

(3)把y＝sin x的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin2x－π6＋1的图象．

题型二 求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：

(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．

例2 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|

解 由图象可知A＝2，T＝8.

∴ω＝2πT＝2π8＝π4.

方法一 由图象过点(1,2)，

得2sinπ4×1＋φ＝2，

∴sinπ4＋φ＝1.∵|φ|

∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.

方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．

∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4，

∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.

变式1 (2011·宁波模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|

(1)求f(x)的解析式及x0的值；

(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f(4θ)的值．

解 (1)由题意可得：

A＝2，T2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，

f(x)＝2sin12x＋φ，f(0)＝2sin φ＝1，

由|φ|

f(x0)＝2sin12x0＋π6＝2，

所以12x0＋π6＝2kπ＋π2，x0＝4kπ＋2π3 (k∈Z)，

又∵x0是最小的正数，∴x0＝2π3.

(2)f(4θ)＝2sin2θ＋π6

＝3sin 2θ＋cos 2θ，

∵θ∈0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，

∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－79，

sin 2θ＝2sin θcos θ＝429，

∴f(4θ)＝3×429－79＝46－79.

题型三 三角函数模型的简单应用

例3 已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：

t 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99

1.5

经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

解 (1)由表中数据，知周期T＝12，

∴ω＝2πT＝2π12＝π6，

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5； 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，

∴A＝0.5，b＝1，∴y＝12cos π6t＋1.

(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，

∴12cos π6t＋1>1，∴cos π6t>0，

∴2kπ－π2

即12k－3

∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，

得0≤t<3，或9

∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.

变式1 交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6表示，求：

(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．

解 (1)t＝0时，E＝2203sin π6＝1103(伏)．

(2)T＝2π100π＝0.02(秒)．

(3)当100πt＋π6＝π2，t＝1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏．

（三）巩固练习

1．(2011·池州月考)要得到函数y＝sin2x－π4的图象，可以把函数y＝sin 2x的图象( )

A．向左平移π8个单位

B．向右平移π8个单位

C．向左平移π4个单位

D．向右平移π4个单位

2．已知函数f(x)＝sinωx＋π4 (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是 ( )

A.π2 B.3π8 C.π4 D.π8

3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 ( )

A．向左平移π8个单位长度

B．向右平移π8个单位长度

C．向左平移π4个单位长度

D．向右平移π4个单位长度

4．(2011·太原高三调研)函数y＝sin2x－π3的一条对称轴方程是 ( )

A．x＝π6 B．x＝π3 C．x＝π12 D．x＝5π12

5．(2011·六安月考)若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 ( )

A．1 B.2 C.3 D．2

6．将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )

A．y＝sin 12x B．y＝sin12x－π2

C．y＝sin12x－π6 D．y＝sin2x－π6

7．(2011·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 (

)

A．y＝sinx＋π6

B．y＝sin2x－π6

C．y＝cos4x－π3

D．y＝cos2x－π6

8．为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象 ( )

A．向左平移5π12个单位长度

B．向右平移5π12个单位长度

C．向左平移5π6个单位长度

D．向右平移5π6个单位长度

9．(2009·辽宁)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)等于

(

)

A．－23 B．－12

C.23 D.12

10．(2011·烟台月考)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )