直接证明与间接证明
一、直接证明
内容 综合法 分析法
定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 ，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止．
实质 由因导果(顺推证法) 执果索因
框图
表示
文字语言 因为…所以…或由…得… 要证…只需证…即证… 二、间接证明
反证法：假设原命题不成立 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．
例1：用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设
( )
A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°
解：假设为：“三个内角都大于60°”．选B。
例2：若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则 ( )
A．F(x)、G(x)均为偶函数 B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数
C．F(x)与G(x)均为奇函数 D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数
解：由F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)知F(x)＝F(－x)，G(－x)＋G(x)＝0.选D。
例3：命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：
“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了 ( )
A．分析法 B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法
解：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
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1. 直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析 ________
⑴综合法：从已知的条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到 推出要证明的结论为止.
(2) 分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成 立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.
(3) 综合法与分析法的推证过程如下：
综合法一一I已知条件?…?…? I结论I;
分析法一一［结论?••• ?••• ?|已知条件.
2. 间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假 设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
［小题体验］
1. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X” )
(1) 综合法是直接证明，分析法是间接证明. ( )
(2) 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件. ( )
(3) 用反证法证明结论“ a > b”时，应假设“ aw b”.( )
(4) 反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾. ( )
答案：(1)x (2)X ⑶V ⑷X
2. 设a= lg 2+ lg 5, b= ex(xv 0)，贝U a与b的大小关系为 _________ .
答案：a> b
3. 下列条件：①ab> 0,②abv 0,③a> 0, b> 0，④av 0, bv 0，其中能使-+ 7> 2
a b 成立的条件的个数是 ______________ .
解析：要使b+ a > 2成立， 第四节 直接证明与间接证明 a b
则b> 0，即a与b同号，
a
故①③④均能使b+b>2成立.
答案：3
必过易措关
1.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲 证）……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证
明的数学问题成立.
1 直接证明与间接证明
基础梳理
一、直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的
、 、 等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明，常用直接证明方法 和
1：综合法：一般的，利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。
综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知1→可知2→„结论”。
2：分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的 条件，直至最后，把证明的结论归结为判定一个 为止，这种证明方法叫做分析法，
分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知1→需知2→„已知”。
说明：在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它。
二、间接证明：
1：反证法：一般的，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明力原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
在反证法中，经过正确的推理后：“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与 矛盾，与 矛盾，或与 矛盾。
2：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是： ， 。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n成立。
说明：1.归纳法: 由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.
2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明：
①当n=n0（每第一个值）时成立；②假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题成立；这就证明了命题对n0以后的所有正整数都成立。
第2 节直接证明与间接证明
最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明
的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.
知识梳
理 1.直接证明
内容 综合法 分析法
利用已知条件和某些从要证明的结论出发，逐步寻
数学定义、公理、定求使它成立的充分条件，
理等，经过一系列的直到最后把要证明的结论归结
推理论证，最后推导为判定一个明显成立的条件
出所要证明的结论成 (已知条件、定理、定义、公 定义
立 理等)为止
实质 由因导果 执果索因
Q⇐P1→P1⇐P2 P⇒Q1→Q1⇒Q2
→…→Qn⇒Q 框图表示 得到一个明显 →…→成立的条件
因为……所以……要证……只需证……
文字语言
或由……得…… 即证……
2.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一
种常用的间接证明方法.
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假
设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不
成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；
③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
诊断自
1.思考辨析(在括号内打“√”测或“×”)
(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充
要条件.( )
(2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a
(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )
(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用
综合法展现解决问题的过程.( )
解析 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成
立的充分条件.
(2)应假设“a≤b”.
2.若 a，b，c为实数，且 a
