空间几何体的直观图画法

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8.2 立体图形的直观图 （斜二测画法）

【要点梳理】

要点一、平行投影（选讲）

1．中心投影

我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．

2．平行投影

我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．

3．中心投影与平行投影的区别与联系

（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．

（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．

要点二、斜二测画法

在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．

斜二测画法的步骤：

（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．

（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．

要点诠释：

用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．

灵江中学数学学科讲学稿 第一章 空间几何体

1 1.2.3 空间几何体的直观图

【学习目标】1、掌握斜二测画法的步骤及主要特点；

2、能够解决相关问题.

【重点】掌握斜二测画法的步骤，能够画出简单的平面图形和几何体的直观图

【难点】利用斜二测画法解决相关问题

【基础内容】

1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图

（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，原点O.画直观图时，分别画x’轴和y’轴，交点O’，使 ，它们确定的平面表示水平面；

（2）画线：已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成 的线段；

（3）取长度：平行x轴的线段，在直观图中 ，平行于y轴的线段，在直观图中 .

2、立体几何图形的直观图画法

（1）画轴：画x轴、y轴、z轴，其中x轴 和y轴如平面图形的斜二测画法（∠xOy= ），

z轴过O点垂直于底面（∠xOz= ）；

（2）画底面：同平面图形的斜二测画法；

（3）画侧棱（画高）：保证直观图中几何体的高（垂直底面的高度）保持 ；

（4）成图：将各顶点连线，注意看不见的地方用 .

【例题示范】

例：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.（课本P16）

（阅读课本画图步骤，了解用斜二测画法画图的基本方法.）

灵江中学数学学科讲学稿 第一章 空间几何体

2 【前置作业】

1、用斜二测画法画下列放置的平面图形的直观图.

（1）

（2）

【研讨探究】

探究一：用斜二测画法画平面图形的直观图（能够画出任何简单图形的直观图）

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11.1 空间几何体

11.1.1 空间几何体与斜二测画法

学

习

目 标

核 心 素 养

1.了解空间几何体的概念．(一般)

2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)

3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(难点)

4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(易错点) 1.通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的数学核心素养.

2.借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象的核心素养.

1．空间几何体

如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．

2．直观图

立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图．

3．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)．

(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变． 2 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半．

(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．

4．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤

(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)．

(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴．

图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段．

(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)．

注意：水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆．

1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )

高一上学期立体几何知识点

一、点、线（直线、射线、线段）、平面

1平面的表示方法平行四边形（平面a平面ABCD,平面AC）或三角形二、立体图形的画法

斜二测

1、x不变、y一半、夹角45度

2、斜二测和原图形的面积比为f 4

2直观图

2-1直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观

图通常是在平行投影下画出的空间图形。2-2斜二测法做空间几何体的直观图

⑴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,即取/xOy=90°；

⑵画直观图时，把它画成对应的轴O‘x‘、O'y,取/x‘O‘y'=45°或135°,它们确定的平面表示水平平面；

⑶在坐标系x‘o'y‘中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。结论：采用

2

斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的—

4

看不到的线用虚线（或者不画）

需要有立体感。（想垂直就垂直，想在里就在里，想在外就在外。）三、立体图形之间的关系。

1点和线的位置关系（点在线上，点在线外）

2点和面的位置关系（点在面上，点在面外）

3线和线的位置关系（平行、相交、异面）

4线和面的位置关系（线在面上，线面平行，线面相交（线面垂直））

5面和面的位置关系（平行、相交（重合））

四、各种角的范围

1、 异面直线所成的角的取值范围是

2、 直线与平面所成的角的取值范围是

3、 斜线与平面所成的角的取值范围

4、 二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是五、射影定理

㈠空间几何体的类型

1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。

棱柱 多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面