2020届一轮复习(文)人教A版九直线与圆(提升卷)单元检测

单元检测九 直线与圆(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )

A．1 B．－1

C．－2或－1 D．－2或1

答案 D

解析 ①当a＝0时，y＝2不合题意．

②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝a＋2a，则a＋2a＝a＋2，得a＝1或a＝－2.

2．经过直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是( )

A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0

C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0

答案 C

解析 联立两条直线的方程得 2x－3y＋2＝0，3x－4y－2＝0，解得x＝14，y＝10.所以l1，l2的交点坐标是(14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线方程为4x－2y＋c＝0(c≠7)，因为4x－2y＋c＝0过l1与l2的交点(14,10)，所以c＝－36，所以所求直线方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.故选C.

3．坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是( )

A.－45，85 B.－45，－85

C.45，－85 D.45，85

答案 A

解析 直线x－2y＋2＝0的斜率k＝12，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得 x02－2×y02＋2＝0，y0＝－2x0，解得 x0＝－45，y0＝85，即所求点的坐标是－45，85.故选A.

4．已知△ABC的顶点A(0,1)，B(4,3)，C(1，－1)，则AB边上的中线的方程是( )

A．x＋2y－3＝0 B．3x＋y－4＝0

C．3x－y－4＝0 D．3x－y＋3＝0

答案 C

解析 AB的中点为(2,2)，又由C(1，－1)，得AB边上的中线方程为y－2＝3(x－2)，化简得3x－y－4＝0.故选C.

5．若直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是( )

A.0，14 B.0，18

C.－∞，14 D.－∞，18

答案 D

解析 ∵把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax－by＋1＝0上，∴－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－2b－142＋18≤18，当b＝14时，ab取得最大值18.

6．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )

A.79 B．－13

C．－79或－13 D．－79或13

答案 C

解析 由已知可得|－3a－4＋1|a2＋1＝|6a＋3＋1|a2＋1，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，

解得a＝－79或a＝－13.

7．已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的所有取值构成的集合是( )

A．{1，－1,3，－3} B．{5，－5,3，－3}

C．{1，－1} D．{3，－3}

答案 A

解析 由题意得两圆心之间的距离d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1,3，－3.故选A.

8．已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是( )

A．R B.－∞，233

C.－233，233 D.－233，0

答案 C

解析 圆C：x＋k22＋(y＋1)2＝1－34k2，因为过点P作圆C的切线有两条，所以点P在圆C外，从而 k2＋12＋9>1－34k2，1－34k2>0，解得－233

9．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )

A．52－4 B.17－1

C．6－22 D.17

答案 A

解析 圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径，即3－22＋4＋32－1－3＝52－4.

10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋a＝0，圆C与直线x＋2y－4＝0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，则实数a的值为( )

A．－45 B.12 C.85 D.15

答案 C

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于OA⊥OB，

所以x1x2＋y1y2＝54x1x2－(x1＋x2)＋4＝0.(*)

联立直线和圆的方程，消去y得5x2－8x＋4a－16＝0，

x1＋x2＝85，x1x2＝4a－165，

代入(*)式得a＝85.

11．已知点M(2，－3)，点N(－3，－2)，直线ax－y－a＋1＝0与线段MN相交，则实数a的取值范围是( )

A．－34≤a≤4 B．－4≤a≤34

C．a≤－34或a≥4 D．a≤－4或a≥34

答案 D

解析 ∵直线ax－y－a＋1＝0与线段MN相交，∴点M，N在直线ax－y－a＋1＝0的两侧，或在直线ax－y－a＋1＝0上，又M(2，－3)，N(－3，－2)，∴(2a＋3－a＋1)(－3a＋2－a＋1)≤0，∴(a＋4)(－4a＋3)≤0，∴(a＋4)(4a－3)≥0，∴a≥34或a≤－4.

12．对于函数y＝f(x)，y＝g(x)，若存在x0，使f(x0)＝－g(－x0)，则称M(x0，f(x0))，N(－x0，g(－x0))是函数f(x)与g(x)的一对“雷点”．已知f(x)＝－x2－4x－3，g(x)＝kx＋1，若函数f(x)与g(x)恰有一对“雷点”，则实数k的取值范围为( )

A.－1，－13 B.－1，－13

C.－43∪－1，－13 D.－43∪－1，－13

答案 C

解析 令y＝－x2－4x－3，整理得(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)，它表示圆心为(－2,0)，半径为1的半圆(x轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示．

由g(x)＝kx＋1知，g(x)的图象为过定点P(0,1)的直线l，易求得直线l与y轴右侧半圆相切时的斜率k＝－43，直线PA，PB的斜率分别为－1，－13，故实数k的取值范围为－43∪－1，－13.故选C.

第Ⅱ卷(非选择题 共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．直线xcos α＋y＋b＝0(α，b∈R)的倾斜角的取值范围是__________．

答案 0，π4∪3π4，π

解析 ∵直线的斜率k＝－cos α，α∈R，

∴－1≤k≤1，

∴直线的倾斜角的取值范围为0，π4∪3π4，π.

14．当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m的值为________．

答案 －1

解析 直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2,1)，所以当PQ与直线垂直时，点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大，即m·2－13－2＝－1，所以m＝－1.

15．已知动直线l：(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝9相交，则相交弦中的最短弦的长度为________．

答案 2

解析 由(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0，可得2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0.令 2x＋y＋4＝0，x－2y－3＝0，解得 x＝－1，y＝－2，即动直线l过定点A(－1，－2)．定点A显然在圆C内，故当CA⊥l时，相交弦最短，即－2－0－1－1×2＋λ2λ－1＝－1，解得λ＝－13，此时直线l：x＋y＋3＝0，所以最短弦的长度为29－422＝2.

16．已知在平面直角坐标系xOy中，圆O1：x2＋y2＝9，圆O2：x2＋(y－6)2＝16，若在圆O2内存在一定点M，过点M的直线l被圆O1，O2截得的弦分别为AB，CD，且|AB||CD|＝34，则定点M的坐标为________．

答案 0，187

解析 因为|AB||CD|＝34总成立，且知过两圆的圆心的直线截两圆弦长之比是68＝34，所以点M在两圆圆心的连线上．因为圆心连线的方程为x＝0，所以可设M(0，y0)，当直线l的斜率不存在时，显然满足题意，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋y0，因为|AB||CD|＝34，所以9－|y0|1＋k2216－|y0－6|1＋k22＝916，解得y0＝187或y0＝－18(此时点M在圆O2外，舍去)，故定点M的坐标为0，187.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知直线l过点(2,1)，且在x轴，y轴上的截距相等．

(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l在x轴、y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值．

解 (1)①当截距为0时，直线l：y＝12x，即x－2y＝0；

②当截距不为0时，设直线l：xt＋yt＝1，

将(2,1)代入，得t＝3，

所以直线l的方程为x＋y－3＝0.

综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.

(2)由题意得直线l：x＋y－3＝0，

所以a＋b＝3，

所以3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝63，当且仅当a＝b＝32时等号成立．

所以3a＋3b的最小值是63.

18．(12分)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．

(1)求公共弦AB所在的直线方程；

(2)求公共弦AB的长；

(3)求圆心在直线y＝－x上，且经过A，B两点的圆的方程．

解 (1)由 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，x2＋y2－2x＋10y－24＝0，

解得 x＝－4，y＝0或 x＝0，y＝2，即A(－4,0)，B(0,2)，

所以直线AB的方程为x－2y＋4＝0.

(2)由(1)得|AB|＝25.