高三几何光学习题

立体几何专题练习卷

一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）

1．正方体DCBAABCD111的棱长为a，则异面直线1AB与1BC所成的角的大小是__________．

2．已知某铅球的表面积是2484cm，则该铅球的体积是___________2cm．

3．若圆锥的侧面积为20，且母线与底面所成的角为4arccos5，则该圆锥的体积为___________．

4．在长方体1111ABCDABCD中，若12,1,3ABBCAA，则1BC与平面11BBDD所成的角可用反三角函数值表示为____________．

5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A位于东经O12127'，北纬O318'，B位于东经O12127'，北纬O255'，则AB、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．

6．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15 2cm，则此圆锥的体积为__________3cm．

7．若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是_____________．

8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，ABC、、为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC____________.

ABC

9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为__________cm.

（精确到0.1cm）

10．如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45，容器的高为10cm．制作该容器需要铁皮面积为

__________cm2．（衔接部分忽略不计，结果保留整10cm20cm第9题

10cm 数）

11．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的

母线与底面所成的角的大小是__________ .

高三几何体练习题

在高三的几何学学习中，复习各种几何体的性质和计算方法是非常重要的。几何体是由点、线、面组成的物体，包括了常见的球体、圆柱体、长方体、圆锥体等等。本文将提供几个高中几何体的练习题，以帮助高三学生巩固相关知识。

1. 长方体ABCDA'B'C'D'的棱长为3cm，求其体积和表面积。

解：长方体体积的计算公式为 V = l × w × h，表面积的计算公式为

S = 2lw + 2lh + 2wh。根据题意可知，长方体的棱长为3cm，那么长、宽、高都为3cm。代入计算公式得到：V = 3cm × 3cm × 3cm = 27cm³，S = 2 × 3cm × 3cm + 2 × 3cm × 3cm + 2 × 3cm × 3cm = 54cm²。

2. 圆锥体的侧面积为40π，半径为5cm，求其高和体积。

解：圆锥体的侧面积的计算公式为 S = πrl，体积的计算公式为 V =

1/3πr²h。根据题意可知，圆锥的侧面积为40π，半径为5cm。首先求得斜高l，代入计算公式得到：40π = π × 5cm × l，整理得到 l = 8cm。然后求得高h，代入计算公式得到：V = 1/3π × 5cm² × h，整理得到 h =

24cm。所以圆锥体的高为24cm，体积为 V = 1/3π × (5cm)² × 24cm =

200π cm³。

3. 有一个直径为6cm的球，求其体积和表面积。

解：球体的体积的计算公式为 V = 4/3πr³，表面积的计算公式为 S =

4πr²。根据题意可知，球的直径为6cm，半径r为3cm。代入计算公式得到：V = 4/3π × (3cm)³ = 36π cm³，S = 4π × (3cm)² = 36π cm²。 4. 一个圆柱对于直径的比是3:4，如果该圆柱的高度为10cm，求其体积和表面积。

解：首先求得圆柱的半径r，根据题意可知，直径的比是3:4，所以半径的比也是3:4。设小圆柱的半径为3x，大圆柱的半径为4x，根据比例关系可得 3x + 4x = 10，解得 x = 1。所以小圆柱的半径为3cm，大圆柱的半径为4cm。代入计算公式得到：V = π × (4cm)² × 10cm = 160π

优质文本

1 / 6 A B C

第1题图 A B C

D

第1题图 立体几何大题

1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．

（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．

2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。

（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；

（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.

3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.

4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．

5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.

（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.

6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。

（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；

（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。

高三立体几何试题及答案

一、选择题

1. 若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内任意直线的关系是（ ）。

A. 垂直

B. 平行

C. 相交

D. 不确定

答案：A

2. 已知一个正四面体的棱长为a，求其体积。

A. \(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)

B. \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^3\)

C. \(\frac{\sqrt{2}}{3}a^3\)

D. \(\frac{\sqrt{3}}{6}a^3\)

答案：B

二、填空题

3. 若一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其对角线的长度为______。

答案：\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

4. 已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，则其体积为______。

答案：\(\frac{1}{3}\pi r^2 h\)

三、解答题

5. 已知一个球的半径为R，求球的表面积。

解：球的表面积公式为\(4\pi R^2\)。 答案：球的表面积为\(4\pi R^2\)。

6. 已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。

解：圆柱的体积公式为\(\pi r^2 h\)。

答案：圆柱的体积为\(\pi r^2 h\)。

四、证明题

7. 证明：若直线a与直线b平行，直线b与平面α平行，则直线a与平面α平行。

证明：由直线a与直线b平行，可得直线a与直线b在任何平面上都不相交。又因为直线b与平面α平行，所以直线b与平面α内任意直线都不相交。因此，直线a与平面α内任意直线都不相交，故直线a与平面α平行。

答案：证明完毕。

8. 证明：若直线a与平面α垂直，直线b与平面α垂直，则直线a与直线b平行。

证明：由直线a与平面α垂直，可得直线a与平面α内任意直线都垂直。同理，直线b与平面α内任意直线都垂直。因此，直线a与直线b在平面α内都垂直于同一组直线，故直线a与直线b平行。

答案：证明完毕。