哈工大概率论参考答案习题

习 题 一

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：

（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A‘出现奇数点’；

（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A‘两次点数之和为10’，B‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；

（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A‘球的最小号码为1’；

（4）将,ab两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A‘甲盒中至少有一球’；

（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A‘通过汽车不足5台’，B‘通过的汽车不少于3台’。

解 （1）123456{,,,,,}Seeeeee其中ie‘出现i点’1,2,,6i，

135{,,}Aeee。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

{(4,6),(5,5),(6,4)}A；

{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S

(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}

{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A

（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),Sabababababba

(,,),(,,,),(,,)}baabba，其中‘’表示空盒；

{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}Aabababbaba。

（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}SAB。

2．设,,ABC是随机试验E的三个事件，试用,,ABC表示下列事件：

（1）仅A发生；

（2）,,ABC中至少有两个发生； （3）,,ABC中不多于两个发生；

（4）,,ABC中恰有两个发生；

（5）,,ABC中至多有一个发生。

解 （1）ABC

（2）ABACBC或ABCABCABCABC；

（3）ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；

（4）ABCABCABC；

（5）ABACBC或ABCABCABCABC；

3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)iAi表示第i件产品是正品，试用iA表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。

解 （1）123AAA；（2）123AAA；（3）123123123AAAAAAAAA；（4）121323AAAAAA。

4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。

解 设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则

4104126()0.50410250PPA

5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求

（1）5只全是好的的概率；

（2）5只中有两只坏的的概率。

解 （1）设A‘5只全是好的’，则

537540()0.662CPAC；

（2）设B‘5只中有两只坏的’，则

23337540()0.0354CCPBC.

6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求

（1）3个球的最小号码为5的概率；

（2）3个球的最大号码为5的概率.

解 （1）设A‘最小号码为5’，则

253101()12CPAC； （2）设B‘最大号码为5’，则

243101()20CPBC.

7．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；

（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

解 （1）设A‘他们的生日都不相同’，则

365()365rrPPA；

（2）设B‘至少有两个人的生日在同一个月’，则

212223214121141241212441()1296CCPCCCPCPB；

或

412441()1()11296PPBPB.

8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解 设A‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则

2676(22)()0.011077CPA.

9．将,,,,,,CCEEINS等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少

解1 设A‘恰好排成SCIENCE’

将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：

字母C在7个位置中占两个位置，共有27C种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有25C种占法，字母,,INC剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为22753!1260CC，而A中的基本事件只有一个，故

227511()3!1260PACC；

解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有1n个，第二种元素有2n个…，第k种元素有kn个12()knnnn，将这n个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为

12!!!!knnnn，

对于本题有

141()7!7!12602!2!PA.

10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A‘三个数字中不含0和5’，2A‘三个数字中不含0或5’，3A‘三个数字中含0但不含5’.

解 3813107()15CPAC.

333998233310101014()15CCCPACCC，

或

182231014()1()115CPAPAC，

2833107()30CPAC.

11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A‘每堆各成一双’的概率.

解 n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共(2)!(2)!2!2!2!(2!)nnn‘每堆各成一双’共有!n种情况，故

2!()(2)!nnPAn

12．设事件A与B互不相容，()0.4,()0.3PAPB，求()PAB与()PAB

解 ()1()1()()0.3PABPABPAPB

因为,AB不相容，所以AB，于是

()()0.6PABPA

13．若()()PABPAB且()PAP，求()PB.

解 ()1()1()()()PABPABPAPBPAB 由()()PABPAB得

()1()1PBPAp

14．设事件,AB及AB的概率分别为,,pqr，求()PAB及()PAB

解 ()()()()PABPAPBPABpqr

()()()()()1()()()PABPAPBPABPAPBPAPAB

11qpqrpr.

15．设()()0.7PAPB，且,AB仅发生一个的概率为，求,AB都发生的概率。

解1 由题意有

0.5()()()PABABPABPAB

()()()()PAPABPBPAB

0.72()PAB，

所以

()0.1PAB.

解2 ,AB仅发生一个可表示为ABAB，故

0.5()()()()2(),PABPABPAPBPAB

所以

()0.1PAB.

16．设()0.7,()0.3,()0.2PAPABPBA，求()PAB与()PAB.

解 0.3()()()0.7()PABPAPABPAB，

所以

()0.4PAB，

故

()0.6PAB；

0.2()()()0.4PBPABPB.

所以

()0.6PB

()1()1()()()0.1PABPABPAPBPAB

17．设ABC，试证明()()()1PAPBPC

[证] 因为ABC，所以

()()()()()()()1PCPABPAPBPABPAPB

故 ()()()1PAPBPC. 证毕.

18．对任意三事件,,ABC，试证

()()()()PABPACPBCPA.

[证] ()()()()()()PABPACPBCPABPACPABC

()PABAC{()}()PABCPA. 证毕.

19．设,,ABC是三个事件，且1()()(),()()04PAPBPCPABPBC，1()8PAC，求,,ABC至少有一个发生的概率。

解 ()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC

因为 0()()0PABCPAB，所以()0PABC，于是

315()488PABC

20．随机地向半圆202yaxx（a为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于/4的概率.